[PDF] Baccalauréat S Spécialité Index des exercices de spé

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?BaccalauréatS Spécialité? Index des exercicesde spécialité de septembre 1999 à juin 2012

Tapuscrit : DENISVERGÈS

NoLieu et dateArithmé-

tiqueEspace

SurfacesTransfor-

mations

1Polynésie juin 2012×

2Métropole juin 2012×

3Centres étrangers juin 2012××

4Asie juin 2012×

5Antilles-Guyane 2012××

6Liban mai 2012×

7Amérique du Nord mai 2012×

8Pondichéry avril 2012×

9Amérique du Sud novembre 2011××

10Nouvelle-Calédonie novembre 2011××

11Métropole septembre 2011××

12Antilles-Guyane septembre 2011××

13Polynésie juin 2011×

14Métropole juin 2011×

15La Réunion juin 2012××

16Centres étrangers juin 2011×××

17Asie juin 2011××

18Antilles-Guyane 2011×

19Liban mai 2011×

20Amérique du Nord mai 2011×

21Pondichéry avril 2011×

22Amérique du Sud novembre 2010×

23Nouvelle-Calédonie novembre 2010×

24La Réunion septembre 2010×

25Métropole septembre 2010×

26Polynésie juin 2010×

27La Réunion juin 2010×

28Métropole juin 2010×

29Centres étrangers juin 2010×

30Asie juin 2010×

31Antilles-Guyane juin 2010×

32Amérique du Nord juin 2010××

33Liban juin 2010××

34Pondichéry avril 2010××

35Nouvelle Calédonie novembre 2009×

36Amérique du Sud novembre 2009×

37Antilles-Guyane septembre 2009××

38Polynésie septembre 2009×

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

NoLieu et dateArithmé-

tiqueEspace

SurfacesTransfor-

mations

39Métropole septembre 2009×

40Amérique du Nord juin 2009×

41Liban juin 2009×

42Polynésie juin 2009×

43Centres étrangers juin 2009××

44Asie juin 2009×

45Métropole juin 2009×

46Antilles - Guyane juin 2009××

47La Réunion juin 2009××

48Pondichéry avril 2009××

49Nouvelle-Calédonie décembre 2008×

50Amérique du Sud novembre 2008×

51Métropole La Réunion septembre 2008××

52Antilles-Guyane septembre 2008××

53Polynésie juin 2008×××

54La Réunion juin 2008××

55Métropole juin 2008××

56Centres étrangers juin 2008×

57Asie juin 2008×

58Antilles-Guyane juin 2008×

59Amérique du Nord mai 2008××

60Liban mai 2008×××

61Pondichéry avril 2008×

62Nouvelle-Calédonie mars 2008×

63Nouvelle-Calédonie décembre 2007×

64Amérique du Sud novembre 2007×

65Métropole-La Réunion septembre 2007×

66Antilles-Guyane septembre 2007×

67Polynésie juin 2007×

68La Réunion juin 2007×

69Métropole juin 2007×

70Centres étrangers juin 2007×

71Asie juin 2007×

72Antilles-Guyane juin 2007×

73Amérique du Nord juin 2007×

74Liban juin 2007××

75Pondichéry avril 2007×

76Nlle-Calédonie mars 2007×

77Nlle-Calédonie novembre 2006×

78Amérique du Sud novembre 2006×

79Métropole septembre 2006×

80Polynésie juin 2006×

Exercices de spécialité2

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

NoLieu et dateArithmé-

tiqueEspace

SurfacesTransfor-

mations

81La Réunion juin 2006×

82Métropole juin 2006×

83Centres étrangers juin 2006×

84Asie juin 2006×

85Antilles-Guyane juin 2006×

86Amérique du Nord juin 2006×

87Pondichéry avril 2006×

88Nlle-Calédonie novembre 2005××

89Amérique du Sud novembre 2005×

90Métropole septembre 2005××

91Amérique du Nord juin 2005×

92Antilles-Guyane juin 2005×

93Asie juin 2005×

94Centres étrangers juin 2005×

95Métropole juin 2005×

96La Réunion juin 2005×

97Liban juin 2005×

98Polynésie juin 2005×

99Pondichéry juin 2005×

100Nlle-Calédonie nov. 2004×

101Amérique du Sud nov. 2004×

102Antilles septembre 2004××

103Métropole septembre 2004×

104Polynésie septembre 2004×

105Amérique du Nord mai 2004×

106Antilles-Guyane juin 2004×

107Asie juin 2004×

108Centres étrangers juin 2004×

109Métropole juin 2004×

110Liban juin 2004×

111Polynésie juin 2004×

112Pondichéry avril 2004×

113La Réunion juin 2004×

114Amérique du Sud nov. 2003×

115Nouvelle Calédonie nov. 2003×

116Antilles-Guyane sept. 2003×

117Métropole septembre 2003×

118Polynésie septembre 2003×

119Amérique du Nord juin 2003×

120Antilles-Guyane juin 2003×

121Asie juin 2003×

122Centres étrangers juin 2003×

Exercices de spécialité3

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

NoLieu et dateArithmé-

tiqueEspace

SurfacesTransfor-

mations

123Métropole juin 2003××

124La Réunion juin 2003×

125Liban juin 2003×

126Polynésie juin 2003×

127Pondichéry juin 2003×

128Amérique du Sud déc. 2002×

129Nouvelle Calédonie nov. 2002×

130Antilles-Guyane sept. 2002×

131Métropole septembre 2002×

132Amérique du Nord juin 2002×

133Antilles-Guyane juin 2002×

134Asie juin 2002×

135Centres étrangers juin 2002×

136Métropole juin 2002×

137La Réunion juin 2002×

138Polynésie juin 2002×

139Pondichéry juin 2002×

140Nouvelle Calédonie déc. 2001×

141Amérique du Sud déc. 2001×

142Antilles-Guyane sept. 2001×

143Métropole septembre 2001×

144Polynésie septembre 2001×

145Amérique du Nord juin 2001×

146Antilles-Guyane juin 2001×

147Asie juin 2001×

148Centres étrangers juin 2001×

149Métropole juin 2001×

150Liban juin 2001×

151Polynésie juin 2001×

152Pondichéry juin 2001×

153Nouvelle-Calédonie déc. 2000×

154Amérique du Sud nov. 2000×

155Métropole septembre 2000×

156Polynésie septembre 2000×

157Amérique du Nord juin 2000×

158Antilles-Guyane juin 2000××

159Asie juin 2000×

160Centres étrangers juin 2000×

161Métropole juin 2000×

162La Réunion juin 2000×

163Liban juin 2000××

164Polynésie juin 2000×

Exercices de spécialité4

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

NoLieu et dateArithmé-

tiqueEspace

SurfacesTransfor-

mations

165Pondichéry juin 2000×

166Nlle-Calédonie déc. 1999×

167Amérique du Sud nov. 1999×

168Antilles-Guyane sept. 1999×

169Métropole sept. 1999×

170Sportifs haut-niveau sept. 1999×

Exercices de spécialité5

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

1 Polynésie juin 2012

Partie A

On considère l"équation (E) : 25x-108y=1 oùxetysont des entiers relatifs.

1.Vérifier que le couple (13 ; 3) est solutionde cette équation.

2.Déterminer l"ensemble des couples d"entiers relatifs solutions de l"équation (E).

Partie B

Dans cette partie,adésigne un entier naturel et les nombrescetgsont des entiers naturels vérifiant la

relation 25g-108c=1.

On rappelle le petit théorème de Fermat :

Sipest un nombre premier etaun entier non divisible parp, alorsap-1est congru à 1 modulopque l"on noteap-1≡1 [p].

1.Soitxun entier naturel.

Démontrer que six≡a[7] etx≡a[19], alorsx≡a[133].

2.1.On suppose quean"est pas un multiplede 7.

Démontrer quea6≡1 [7] puis quea108≡1 [7].

En déduire que?a25?g≡a[7].

2.On suppose que a est un multiplede 7.Démontrer que?a25?g≡a[7].

3.On admet que pour tout entier naturela,?a25?g≡a[19].

Démontrer que?a25?g≡a[133].

Partie C

On note A l"ensemble des entiers naturelsatels que : 1?a?26. Un message, constitué d"entiers appartenant à A, est codé puis décodé.

La phase de codage consiste à associer, à chaque entierade A, l"entierrtel quea25≡r[133] avec

0?r<133.

La phase de décodage consiste à associer àr, l"entierr1tel quer13≡r1[133] avec 0?r1<133.

1.Justifier quer1≡a[133].

2.Un message codé conduit à la suite des deux entiers suivants :128 59.

Décoder ce message.

Exercices de spécialité6

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

2 Métropole juin 2012

Le plan complexe est muni d"un repère orthonormédirect?

O,-→u,-→v?

On désigne par A, B et C les points d"affixes respectives z

A=-1+i,zB=2i etzC=1+3i.

etDla droite d"équationy=x+2.

1.Prouver que les points A, B et C appartiennentà la droiteD.

Sur une figure que l"on fera sur la copie en prenant 2 cm pour unitégraphique,placer les pointsA,

B, C et tracer la droiteD.

2.Résoudre l"équation (1+i)z+3-i=0 et vérifier que la solution de cette équation est l"affixe d"un

point qui n"appartient pas à la droiteD. Dans la suite de l"exercice, on appellefl"application qui, à tout pointMd"affixezdifférente de -1+2i, fait correspondre le pointM?d"affixe1 (1+i)z+3-i. Le but de l"exercice est de déterminer l"image parfde la droiteD. (1+i)z+3-i.

1.Déterminer la nature et les éléments caractéristiques de latransformationg.

2.Calculer les affixes des points A1, B1et C1, images respectives pargdes points A, B et C.

3.Déterminer l"imageD1de la droiteDpar la transformationget la tracer sur la figure.

4.Soithl"application qui, à tout pointMd"affixeznon nulle, fait correspondre le pointM2d"affixe1

z.

1.Déterminer les affixes des pointsh(A1),h(B1)eth(A1)et placer ces points sur la figure.

2.Démontrer que, pour tout nombre complexe non nulz, on a :

?1 z-12???? =12?? |z-2|=|z|.

3.En déduire que l"image parhde la droiteD1est incluse dans un cercleCdont on précisera

le centre et le rayon. Tracer ce cercle sur la figure.

4.Démontrer que tout point du cercleCqui est distinct de O est l"image parhd"un point de la

droiteD1.

5.Déterminer l"image par l"applicationfde la droiteD.

Exercices de spécialité7

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

3 Centres étrangersjuin 2012

Les cinq questions sont indépendantes.

Pour chaque question une affirmation est proposée. Indiquersi elle est vraie ou fausse en justifiant la

réponse. Une réponse non justifiée ne sera pas prise en compte.

Toute trace de recherche sera valorisée.

1.On considère l"équation (E) : 3x-2y=1, oùxetysont des entiers relatifs.

Affirmation: les solutionsde l"équation (E) sont les couples (9+2k; 13+3k), aveckappartenant

à l"ensembleZdes entiers relatifs.

2.Soitnun entier naturel. On considère les deux entiersaetbdéfinis par :

a=3n+1 etb=2n+3. Affirmation: le PGCD deaetbest égal à 7 si et seulement sinest congru à 2 modulo 7.

3.Soitnun entier naturel. On considère les deux entiersaetbdéfinis par :

a=2n2+7n+21 etb=2n+2. Affirmation: pour tout entier natureln, le quotient et le reste de la division euclidienne deapar bsont respectivement égaux àn+2 etn+17.

4.Dans le plan muni d"un repère orthonormaldirect, on considère le point A d"affixe 3+4i.

On notesla similitudedirectesde centre A, de rapport?

2 et d"angleπ4.

Affirmation: la similitudedirecte réciproques-1a pour écriture complexe : z ?=1-i

2z+-1+7i2.

5.Dans le plan muni d"un repère orthonormal direct, on considère les points A, B, C et D d"affixes

respectivesa=1+2i,b=4-i,c=1-2?

3+i(3+?3) etd=4+?3+4i?3.

Affirmation: la similitudedirecte qui transformeA en C et B en D a pour angleπ 3.

Exercices de spécialité8

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

4 Asie juin 2012

Le plan est muni d"un repère orthonormaldirect?

O,-→u,-→v?

Partie A - Détermination d"une similitude directe On considère les points A et B d"affixes respectives : z A=-1 2+i? 3

2etzB=-?3+i.

1.1.Écrire les nombres complexeszAetzBsous forme exponentielle.

2.Placer les points A et B dans le repère. On prendra 1 cm comme unité graphique.

2.1.Déterminer l"écriture complexe de la similitudedirectefde centre 0 qui transformele point

A en B.

2.Préciser les éléments caractéristiquesde la similitudef.

Partie B. Étude d"une transformation

Le but de cette partie est d"étudier la transformationg=s◦f, oùfdésigne la similitude définie dans la

partie A etsla réflexion d"axe?

O ;-→u?

1.SoitMunpoint quelconquedu plan.OndésigneparM?l"imagedu pointMpar la transformation

g. On notezetz?les affixes respectives des pointsMetM?, et zcelle du conjugué dez.

1.Démontrer l"égalité :z?=2e-iπ

6z.

2.On pose C =g(A) et D =g(C). Calculer les affixes respectivesdes pointsC et D, puisplacer les

points C et D sur la figure.

3.Quelle est la nature du triangleOAC?

4.Démontrer que les vecteurs--→OA et--→OD sont colinéaires.

2.Danscettequestion,toutetrace derechercheoud"initiative,mêmenonaboutie,serapriseencompte

dans l"évaluation.

Déterminer la nature de la transformationg◦get préciser ses éléments géométriques.

Exercices de spécialité9

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

5 Antilles-Guyane juin 2012

Les quatre questionssont indépendantes.

1.1.Vérifier que le couple (4; 6) est une solutionde l"équation

(E) 11x-5y=14.

2.Déterminer tous les couples d"entiers relatifs (x; y) vérifiant l"équation (E).

2.1.Démontrer que, pour tout entier natureln,

2

3n≡1 (mod 7).

2.Déterminer le reste de la division euclidienne de 20112012par 7.

3.On se place dans le plan complexe. Déterminer la nature et leséléments caractéristiques de la

transformationfqui à tout pointMd"affixezassocie le pointM?d"affixez?tel que : z ?=3

2(1-i)z+4-2i.

4.On considère l"algorithmesuivant où Ent?A

N? désigne la partie entière deAN.

A et N sont des entiers naturels

Saisir A

N prend la valeur 1

Tant que N??

A Si A

N-Ent?AN?

=0 alors Afficher N etANFin si

N prend la valeur N + 1

Fin Tant que.

Quels résultats affiche cet algorithmepour A = 12? Que donne cet algorithmedans le cas général?

Exercices de spécialité10

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

6 Liban mai 2012

On se place dans le plan complexe muni d"un repère orthonormaldirect?

O,-→u,-→v?

On noteznla suite de nombres complexes, de terme initialez0=0, et telle que : z n+1=1+i

2zn+1, pour tout entier natureln.

Pour tout entier natureln, on noteAnle point d"affixezn.

2.1.Montrer que le pointAn+1est l"image du pointAnpar une similitudedirectes, dont on défi-

nira le rapport, l"angle et le centreΩ, d"affixeω.

2.Démontrer que le triangleΩAnAn+1est isocèle rectangle.

3.1.Établir que, pour tout entier natureln, on a :ΩAn=?

2 2? n-1

2.À partir de quelle valeur denles pointsAnsont-ils situés à l"intérieur du disque de centreΩ

et de rayon 0,001?

4.Pour tout entier natureln, on noteanla longueurAnAn+1etLnla sommen?

k=0a k. L nest ainsi la longueur de la ligne polygonaleA0A1···AnAn+1. Déterminer la limite deLnquandntend vers+∞.

5.Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d"initiative, même non fruc-

tueuse, sera prise en compte dans l"évaluation. Démontrer que, pour tout entier natureln, les pointsAn,ΩetAn+4sont alignés.

Exercices de spécialité11

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

7 Amérique du Nord mai 2012

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormaldirect?

O,-→u,-→v?

SoitSla transformationdu plan qui, à toutMd"affixez, associe le pointM?d"affixez?telle que : z ?=5iz+6i+4.

Partie A

1.Déterminer la nature et les éléments caractéristique de la transformationS.

2.On notexetx?,yety?les parties réelles et imaginairesrespectives dezetz?.

Démontrer que :

?x?=-5y+4 y ?=5x+6

Partie B

Dans cette partie, on se place dans le cas où les coordonnéesxetydu pointMsont des entiers relatifs

tels que-3?x?5 et-3?x?5.

On noteEl"ensemble de ces pointsM.

On rappelle que les cordonnées (x?;y?) du pointM?, image du pointMpar la transformationS, sont x ?=-5y+4 ety?=5x+6.

1.1.Déterminer l"ensemble des couples d"entiers relatifs (a;b) tels que 4a+3b=5.

2.En déduire l"ensemble des pointsMdeEde coordonnées (x;y) tels que-3x?+4y?=37.

2.SoitMun point de l"ensembleEetM?son image par la transformationS.

1.Démontrer quex?+y?est un multiplede 5.

2.Démontrer quex?-y?etx?+y?sont congrus modulo 2.

En déduire que six?2-y?2est multiplede 2 alorsx?-y?etx?+y?le sont également.

3.Déterminer l"ensemble des pointsMdeCtels que :x?2-y?2=20.

Exercices de spécialité12

Baccalauréat SA. P. M. E. P.

8 Pondichéry avril2012

Partie A Restitutionorganisée de connaissance

Soita,b,c,ddes entiers relatifs etnun entier naturel non nul. Montrer que sia≡b(modn) etc≡d(modn) alorsac≡bd(modn).

Partie B Inverse de 23 modulo 26

On considère l"équation

(E) : 23x-26y=1, oùxetydésignent deux entiers relatifs.

1.Vérifier que le couple (-9 ;-8) est solutionde l"équation (E).

2.Résoudre alors l"équation (E).

3.En déduire un entieratel que 0?a?25 et 23a≡1 (mod 26).

Partie C Chiffrement de Hill

On veut coder un mot de deux lettres selon la procédure suivante : Étape 1Chaque lettre du mot est remplacée par un entier en utilisantle tableau ci-dessous :

ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ

On obtient un couple d"entiers(x1;x2)oùx1correspond à la première lettre du mot etx2correspond à

la deuxième lettre du mot.

Étape 2

(x1;x2)est transformé en?y1;y2?tel que :

S1)?y1≡11x1+3x2(mod 26)

y

2≡7x1+4x2(mod 26)avec0?y1?25 et 0?y2?25.

Étape 3

?y1;y2?est transformé en un mot de deux lettres en utilisant le tableau de correspondance donné dans l"étape 1.

Exemple : TE????

mot en clairétape1quotesdbs_dbs49.pdfusesText_49

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