[PDF] Fiches de Mathematiques : BAC STAV´ - CNRS

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Fiches de Math

´ematiques : BAC STAVC. Chesneau246810

0.4 0.2 0.2 0.4 0.6

0.808 Mai 2018

Table des matières

Table des matières

1 QUELQUES RAPPELS 4

2 LIMITES5

3 DÉRIVÉES6

4 TABLEAUX DE CONTINGENCE 7

5 FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN 8

6 FONCTION EXPONENTIELLE 9

7 PRIMITIVES ET INTÉGRALES 10

8 PROBABILITÉS CONDITIONNELLES ET INDÉPENDANCE 12

9 LOI BINOMIALE13

10 LOI NORMALE14

11 INTERVALLE DE FLUCTUATION ASYMPTOTIQUE ET

INTERVALLE DE CONFIANCE 17

12 SUITES ARITHMÉTIQUES ET GÉOMÉTRIQUES 19

13 SUITES ET ALGORITHMIQUE : BOUCLE "TANT QUE" 20

C. Chesneau 3

Fiches de Mathématiques : BAC STAV

1

QUELQUES RAPPELS

Opération sur les Inégalités; signe deax+bet signe deax2+bx+c. A) Opérations sur les Inégalités :Pour tout nombrea:x < y)x+a < y+a

Pour tout nombre:::::k >0:x < y)kx < ky

Pour tout nombre:::::k <0:x < y)kx > ky(::on::::::::change::le::::sens de l"inégalité!)

Sixetysont de:::::même signe alors :x < y)1x

>1y (:::on:::::::change::le:::::sens de l"inégalité!)

Six >0ety >0:x < y)x2< y2

Six >0ety >0:x < y)px <

py

Sifcroissante :xy)f(x)f(y)

Sifdécroissante :xy)f(x)f(y)B) Signe de :ax+bOn cherche d"abord la valeur dexqui annuleax+b:ax+b= 0,x=ba

.x

Signe de

ax+b1 ba+1Signe de(a)0Signe deaC) Signe de :ax2+bx+c(a6= 0)

On calcule le DISCRIMINANT:

::::::::::::::::::: =b24ac.

1) Si<0: pas de solution et le trinôme est toujours du signe dea.x

Signe de

ax

2+bx+c1+1Signe dea2) Si = 0, on a une racine double :x0=b2a.x

Signe de

ax+b1x

0+1Signe dea0Signe dea3) Si>0, on a2racines :x1=bp

2aetx2=b+p

2a(x1< x2).x

Signe de

ax

2+bx+c1x

1x

2+1Signe dea0Signe de(a)0Signe deaC. Chesneau 4

Fiches de Mathématiques : BAC STAV

2

LIMITES

A) Limite d"une SOMME :Sifa une limite ena ` ` `+1 1+1Siga une limite ena `0+1 1+1 1 1Alorsf+ga une limite ena `+`0+1 1+1 1F.IF.I : Forme Indéterminée.

B) Limite d"un PRODUIT :Sifa une limite ena ` ` `+1 10Siga une limite ena `0+1 1 1 1+1ou1Alorsfga une limite ena ``0+1si` >0

1si` <01si` >0

+1si` <01+1F.IPour un produit : on applique la règle des signes.

C) Limite d"un QUOTIENT :Sifa une limite ena ` ` ` `+1ou1 10Siga une limite ena `06= 0 0+0+1ou1`10Alors

fg a une limite ena``

0+1si` >0

1si` <0+1si` <0

1si` >00 +1ou1F.I F.I:::::::::::

EXEMPLE:::limx!+1x2= +1;limx!1x2= +1;limx!+1x3= +1;limx!1x3=1 lim x!+11x = 0;limx!11x = 0;limx!0+1x = +1;limx!01x =1 D) ASYMPTOTES :Silimx!af(x) =1alors la droite d"équationx=aest une asymptote ::::::::verticale à(C). Silimx!1f(x) =balors la droite d"équationy=best une asymptote ::::::::::horizontale à(C).(C)étant la courbe représentative de la fonctionf.

On étudie le SIGNE de :f(x)g(x).

Sif(x)g(x)0alors(Cf)est située:::::::::au-dessus de(Cg). Sif(x)g(x)0alors(Cf)est située::::::::::en-dessous de(Cg).C. Chesneau 5

Fiches de Mathématiques : BAC STAV

3

DÉRIVÉES

Dérivées usuelles et opérations sur les dérivées. A) Dérivés des fonctions usuelles :Fonctions Dérivées

f(x) =a(constante)f0(x) = 0f(x) =x f0(x) = 1f(x) =ax+b f0(x) =af(x) =x2f0(x) = 2xf(x) =x3f0(x) = 3x2f(x) =xnf0(x) =nxn1f(x) =1x

(x6= 0)f0(x) =1x

2f(x) =px(x0)f0(x) =12

pxB) Opérations sur les dérivées :

Fonctions Dérivées

f+g f0+g0kf kf0fg f0g+fg0f g f

0gfg0g

21
f f0f 2f

22ff0C) Tangentes :

Sifest dérivable enaalors une équation de la tangente à(Cf)enaest : y=f0(a)(xa) +f(a):

f0(a)représente le::::::::::coefficient:::::::::directeur de la tangente à(Cf)ena.Sif0(a) = 0alors la tangente à(Cf)enaest PARALLÈLE à l"axe des abscisses.

EXEMPLE::: Soit la fonctionfdéfinie surRpar :f(x) =x33x2+ 2et(C)sa courbe. Donner l"équation de la tangente à(C)au point d"abscisse1.Ici :a= 1doncy=f0(1)(x1) +f(1). On cherche la dérivée def:f0(x) = 3x26xdonc :f0(1) = 31261 = 36 =3et f(1) = 133:12+ 2 = 13 + 2 = 0. Donc l"équation de la tangente au point d"abscisse1est : y :=3(x1) + 0 =3x+ 3:::::::::C. Chesneau 6

Fiches de Mathématiques : BAC STAV

4

T ABLEAUXDE CONTINGENC E

EXEMPLE::: On s"intéresse à la croissance des poules. On a un lot témoin : lot1, un lot2: vaccination par injection et un lot3: vaccination par voie orale. On obtient3catégories de poids : Inférieure, Intermédiaire et Supérieure. On a le tableau de CONTINGENCE ci-dessous représentant les modalités de2variables statistiques (catégorie de poids et type de vaccination) observées sur une population de90poules. A) Effectifs MARGINAUX des lignes et des colonnes :CATÉGORIES DE POIDS LOT Inférieure Intermédiaire Supérieure TOTAL

1 6 17 7 30

2 5 15 8 28

3 7 10 15 32

TOTAL18 42 30 90La colonne TOTAL contient les EFFECTIFS MARGINAUX LIGNES. La ligne TOTAL contient les EFFECTIFS MARGINAUX COLONNES. B) Construction du tableau donnant les PROFILS COLONNES et le PROFIL MARGINALdes colonnes :

CATÉGORIES DE POIDS

LOT Inférieure Intermédiaire Supérieure TOTAL 1 618

0;331742

0;40730

0;233090

0;332 518

0;281542

0;36830

0;272890

0;313 718

0;361042

0;241530

0;503290

0;36TOTAL1 1 1 1La colonne TOTAL contient les PROFILS MARGINAUX COLONNES.

Les colonnes Inférieure, Intermédiaire et Supérieure contiennent les PROFILS COLONNES. C) Représentation graphique ::::::::::::::::::: HISTOGRAMME:::::::::EMPILÉ::: On utilise les profils colonnes et le profil marginal colonnes représentés par des rectangles empilés dont les hauteurs sont les valeurs de la colonne. EXEMPLE::: Avec le tableau de contingence ci-dessus :Histogramme empilé 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8

1.0C. Chesneau 7

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5

F ONCTIONLOGARITHME NÉPÉRIEN

A) Ensemble de définition :]0;+1[,x >0.

EXEMPLE::: la fonctionf:f(x) = ln(x1)n"existe que si :x1>0soitx >1.

B) Limites :limx!+1lnx= +1

limx!0+lnx=1 limx!+1lnxx = 0C) Dérivées : (lnx)0=1x (x >0) (lnu(x))0=u0(x)u(x)(u(x)>0) (ln(ax+b))0=aax+b(ax+b >0)D) Propriétés : ln1 = 0 lne= 1 a >0etb >0:ln(ab) = lna+ lnb lnab = lnalnb ln(an) =nlna ln1a =lna lnpa=12 lnaE) Équations - Inéquations : a >0etb >0: lna= lnb,a=b lnalnb,ab lna Six >1alors :lnx >0:::::::::::::

EXEMPLES:::

(ln0;3 1;2 (0;3<1); ln0;3<0:(ln1;20;2 (1;2>1); ln1;2>0:

G) Tableau de variations deln(x):x

Variations

delnx0+111+1+1H) Courbe représentative delnx:-2246 2 1 1

2C. Chesneau 8

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6

F ONCTIONEXPONENTIELLE

A) Ensemble de définition :R=] 1;+1[.

B) Limites :limx!+1ex= +1

limx!1ex= 0 limx!+1e xx = +1C) Dérivées : (ex)0=ex eu(x)0=u0(x)eu(x) eax+b0=aeax+bD) Propriétés : e0= 1 e1=e e2;718à103près ea+b=eaeb eab=eae b (ea)n=ean ea=1e aE) Équations - Inéquations : a >0etb >0: ea=ea,a=b eaeb,ab ea< eb,a < b elnx=x(x >0) lnex=x(xréel)F) Signe deex:Pour tout réelx:ex>0 Si la fonctionuest définie :eu(x)>0G) Tableau de variations deex:x

Variations

deex1+100+1+1H) Courbe représentative deex:-2-112 2 4 6 8 10

12C. Chesneau 9

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7

PRIMITIVES ET INTÉGRALES

A) Définition :Fest une primitive defsur un intervalleI,F0(x) =f(x).

Si une fonctionfadmet une primitive, elle en admet une INFINITÉ :F(x)+k,kconstante.B) Primitives usuelles et opérations sur les primitives :

1) :::::::::Primitives::::des:::::::::fonctions::::::::usuellesFonctions Primitives f(x) = 0F(x) =a(constante)f(x) = 1F(x) =xf(x) =a F(x) =axf(x) =x F(x) =x22 f(x) =x2F(x) =x33 f(x) =xnF(x) =xn+1n+ 1f(x) =1x

2F(x) =1x

(x6= 0)f(x) =1x

F(x) = lnx(x >0)f(x) =1px

F(x) = 2px(x0)f(x) =aax+bF(x) = ln(ax+b)(ax+b >0)f(x) =eax+bF(x) =1a eax+bf(x) =exF(x) =ex2) ::::::::::Opérations::::sur:::les::::::::::primitivesFonctions Primitives f+g F+Gkf kFf

0fnfn+1n+ 1f

0f lnf(f >0)C) CALCUL INTÉGRAL :

1) SiFest une primitive de la fonctionf

sur l"intervalle[a;b]alors : Z b a f(x)dx= [F(x)]b a=F(b)F(a):2) Propriété de l"intégrale : Zquotesdbs_dbs49.pdfusesText_49

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