Exercices corrigés sur les séries de Fourier PDF

Exercices corrigés sur les séries de Fourier

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f(x) ={1??x2]0;[

0??x=:

1 k=0(1)k

2k+ 1;1∑

k=01 (2k+ 1)2;1∑ n=11 n

2;1∑

n=1(1)n1 n 2: 1 n=1(1)n n

2+ 1;1∑

n=11 n 2+ 1: f(x) = (x)2; x2[0;2[:

1∑

n=1(1)n n

2;1∑

n=11 n 2: x ′(t) +x(t) =f(t): f(t) =8 t 2

2??t2[0;[;

t3 2 2 +2 2 ??t2[;2[: (f1~f2)(x) =1

2∫

1(xy)f2(y)dy:

k(x) =1 k k1∑ l=0l m=le imx: k(x) =8 :1 k

1coskx

1cosx??x̸22Z;

k??x22Z: ??? ???? ????k?(2)1∫

φk(x)dx= 1?

??? ???? ????"2]0;[?(2)1∫ jxj2[";]φk(x)dx!0???????k! 1? a n(f) =2 0 f(t)cos(nt)dt= 2∫ 0 cos(nt)dt2 0 tcos(nt)dt={ 2 n

2(1(1)n)??n̸= 0;

??n= 0:

SF(f)(t) =

2 k14 (2k+ 1)2cos((2k+ 1)t): ?? ???? ????? ??R? a

0(f) =1

2 0 f(t)dt=1 2 0 t2dt=1 t3 3 2 0 =82 3 ?? ??????? ????? ????n1? a n(f) =1 2 0 t2cos(nt)dt 1 t

2sin(nt)

n 2 0 2 0

2tsin(nt)

n dt} =2 t( cos(nt) n 2)] 2 0 2

0cos(nt)

n 2dt} =2 2 n

2+[sin(nt)

n 3] 2 0} 4 n 2 b n(f) =1 2 0 t2sin(nt)dt 1 t2cos(nt) n 2 0 2 0

2tcos(nt)

n dt} 1 42
n

2tsin(nt)

n 2] 2 0

2∫

0sin(nt)

n 2dt} =4 n +2 cos(nt) n 3] 2 0 =4 n

SF(f)(t) =42

3 + 4∑ n1( cos(nt) n

2sin(nt)

n f(t+) +f(t) 2 ={f(t)??t̸22Z;

22??t22Z:

b n(f) =2 0 sin(nt)dt=[ cos(nt) n 0 =2 1(1)n n =8 :4 n ??n??? ??????;

0??n??? ????:

SF(f)(t) =1∑

k=04 (2k+ 1)sin((2k+ 1)t): ????t????f(t+) +f(t) 2 =f(t): ??? ????t==2? ?? ? ? sin ((2k+ 1)t)= sin( 2 +k) = (1)k;????1∑ k=0(1)k (2k+ 1)= 4 f( 2 4 1

2∫

jf(t)j2dt=1 2 1 n=1jbn(f)j2=8 21
k=01 (2k+ 1)2;????1∑ k=01 (2k+ 1)2=2 8 1 n=11 n

2=1∑

k=01 (2k+ 1)2+1∑ k=11 (2k)2=2 8 +1 4 1 n=11 n

2;????1∑

n=11 n 2=4 3 2 8 =2 6 1 n=1(1)n1 n

2+1∑

k=11 (2k)2=1∑ k=11 (2k+ 1)2=2 8 ;????1∑ n=1(1)n1 n 2=2 8 1 4 2 6 =2 12 c n(f) =1

2∫

eteintdt 1

2∫

e(1in)tdt 1 2[ e(1in)t 1in] 1 2( e(1in)e(1in) 1in) 1 2( (1)nee 1in) sh (1)n 1in:

SF(f)(t) =c0(f) +∑

n1( cn(f)eint+cn(f)eint) sh n2Z(1)n

1ineint={et??t2];[

ch??t=: ??? ????t= 0? ?? ??????? ? 1 = sh n2Z(1)n 1in; sh= 1 +1∑ n=1(1)n(1 1in+1

1 +in)

=1 +1∑ n=02(1)n

1 +n2;

1∑

n=0(1)n

1 +n2=1

2 sh+ 1) ????t=? ?? ??????? ? ch=sh n2Z1 1in; th=∑ n2Z1

1in=1 +1∑

n=02

1 +n2;

1∑

n=01

1 +n2=1

2 th+ 1) a

0(f) =1

2 0 (x)2dx=1 y2dy=1 y3 3 =22 3 ??? ???? ????n1? a n(f) =1 2 0 (x)2cos(nx)dx 1 y2cos(ny+n)dy (1)n y2cos(ny)dy (1)n 4 n 2(1)n 4 n 2;

SF(f)(x) =2

3 + 41∑ n=1cosnx n 2 ????x2R?SF(f)(x) =f(x)?

2=f(0) =2

3 + 41∑ n=11 n

2??0 =f() =2

3 + 41∑ n=1(1)n n 2:

1∑

n=11 n 2=2 6 ??1∑ n=1(1)n n 2=2 12 f(t) =a0 2 +1∑ n=1(ancosnt+bnsinnt)??x(t) =A0 2 +1∑ n=1(Ancosnt+Bnsinnt) x ′(t) =1∑ n=1(nBncosntnAnsinnt): xquotesdbs_dbs7.pdfusesText_13

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0??x=:

2k+ 1;1∑

2;1∑

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1∑

2;1∑

2??t2[0;[;

2∫

1(xy)f2(y)dy:

1coskx

1cosx??x̸22Z;

φk(x)dx= 1?

2(1(1)n)??n̸= 0;

SF(f)(t) =

0(f) =1

2sin(nt)

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SF(f)(t) =42

2sin(nt)

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SF(f)(t) =1∑

2∫

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2∫

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SF(f)(t) =c0(f) +∑

1ineint={et??t2];[

1 +in)

1 +n2;

1∑

1 +n2=1

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1 +n2;

1∑

1 +n2=1

0(f) =1

SF(f)(x) =2

2=f(0) =2

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