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  • Quels sont les trois facteurs ?

    Les facteurs de production regroupent les moyens de production durables qui contribuent à la production : le travail, le capital et, parfois, la terre.

  • Quels sont les différents facteurs ?

    On distingue deux types de facteurs de production essentiels à l'activité productive : les facteurs primaires et les facteurs secondaires. Les facteurs primaires correspondent aux ressources naturelles, au travail et au capital. Les facteurs secondaires correspondent à l'information et au capital humain.
  • facteur n. Employé(e) des postes chargé(e) de distribuer le courrier à domicile. facteur n.m. Fabricant d'instruments de musique autres que les instruments à cordes
Régression sur variables qualitatives Analyse de la variance

Introduction

Analyse de la variance `a un facteur

Analyse de la variance `a deux facteurs

Compl´ements

R´egression sur variables qualitatives

Analyse de la variance

Magalie Fromont

ENSAI Deuxi`eme ann´ee - Mod`eles de r´egression

2010-2011

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Introduction

Analyse de la variance `a un facteur

Analyse de la variance `a deux facteurs

Compl´ements

Introduction

Dans ce chapitre, on ´etudie des cas particuliers de r´egression lin´eaire o`u :

La variable `a expliquerYestquantitative,

La ou les variables explicatives potentielles sontqualitatives. ?→tr`es fr´equent en pratique. Exemples des donn´ees du Cirad et d"Air Breizh. Magalie FromontR´egression sur variables qualitatives - Analyse de la variance

Introduction

Analyse de la variance `a un facteur

Analyse de la variance `a deux facteurs

Compl´ements

Mod´elisation

Estimation des param`etres

Equation d"analyse de la variance

Tests sous hypoth`ese gaussienne

Analyse de la variance `a un facteur

Cas d"une variable `a expliquer quantitativeYet d"une variable explicative qualitative potentielle. Objectif : d´eterminer si la variable explicative qualitative consid´er´ee a un effet - significatif - surY.

D´efinition

La variable qualitative consid´er´ee est souvent appel´eefacteur. On suppose qu"elle prend ses valeurs dans un ensemble fini `a I

´el´ements appel´esniveaux (du facteur).

?Une premi`ere analyse graphique : boˆıtes `a moustaches (boxplot). Magalie FromontR´egression sur variables qualitatives - Analyse de la variance

Introduction

Analyse de la variance `a un facteur

Analyse de la variance `a deux facteurs

Compl´ements

Mod´elisation

Estimation des param`etres

Equation d"analyse de la variance

Tests sous hypoth`ese gaussienne

Analyse de la variance `a un facteur

1 2 3

15 20 25

Données du Cirad

Bloc

Hauteur des eucalyptus

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Introduction

Analyse de la variance `a un facteur

Analyse de la variance `a deux facteurs

Compl´ements

Mod´elisation

Estimation des param`etres

Equation d"analyse de la variance

Tests sous hypoth`ese gaussienne

Analyse de la variance `a un facteur

E N S W

40 60 80 100 120 140

Données d'Air Breizh (1996-1998)

Direction du vent

Concentration maximale ozone

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Introduction

Analyse de la variance `a un facteur

Analyse de la variance `a deux facteurs

Compl´ements

Mod´elisation

Estimation des param`etres

Equation d"analyse de la variance

Tests sous hypoth`ese gaussienne

Analyse de la variance `a un facteur

Ensoleillé Nuageux

40 60 80 100 120 140

Données d'Air Breizh (1996-1998)

Nébulosité

Concentration maximale ozone

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Introduction

Analyse de la variance `a un facteur

Analyse de la variance `a deux facteurs

Compl´ements

Mod´elisation

Estimation des param`etres

Equation d"analyse de la variance

Tests sous hypoth`ese gaussienne

Analyse de la variance `a un facteur

Pouri= 1...I, on notenile nombre d"observations deY correspondant aui`eme niveau du facteur, et pourj= 1...n i,yij d´esigne laj`eme observation deYpour lei`eme niveau du facteur.

Soitn=?

I i=1nile nombre total d"observations.

D´efinition

Si ni>0pour tout i, on dira que le plan d"exp´erience est complet. Si n1=...=nI, on dira que le plan d"exp´erience est

´equilibr´e.

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Introduction

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Compl´ements

Mod´elisation

Estimation des param`etres

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Mod´elisation

Mod`ele d"ANOVA `a un facteur

Les observationsyij,i= 1...I,j= 1...nisont suppos´ees ˆetre issues du mod`ele Y ij=μ+αi+εij,?i= 1...I j= 1...n i, o`u les variablesε ijv´erifient les conditions standards : - (C

1)E[εij] = 0,

- (C

2)cov(εij,εi?j?) = 0,

- (C

3)var(εij) =σ2.

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Compl´ements

Mod´elisation

Estimation des param`etres

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Mod´elisation

Ecriture sous forme matricielle

Recodage (disjonctif complet) du facteur en variables indicatrices (dummy variables).

Matrice d"incidence :A= (

?1,?2,...,?I) i.e.

A=((((((((((((

1 0. . .0

1 0. . .0

0 1. . .0

0 1. . .0

0 0. . .1

0 0. . .1)))))))))))).

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Mod´elisation

Estimation des param`etres

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Mod´elisation

Mod`ele :Y=Xβ+εavec

-Y= (Y

11,...,Y1n1,...,YI1,...,YInI)?

-β= (μ,α1,...,αI)? -ε= (ε11,...,ε1n1,...,εI1,...,εInI)?, -X= ( ?,A), i.e.

X=((((((((((((

1 1 0. . .0

1 1 0. . .0

1 0 1. . .0

1 0 1. . .0

1 0 0. . .1

1 0 0. . .1)))))))))))).

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Mod´elisation

Identifiabilit´e et contraintes

Probl`eme: le mod`ele n"est pas identifiable. Contre-exemple pour l"unicit´e. La matriceXn"est pas de plein rang... Solution: contrainte lin´eaire identifiante sur les coefficients→ reparam´etrisation du mod`ele.

1Contrainte de type analyse par cellule :μ= 0. On pose alors

1,...,αI)?etX=A.

2Contrainte de type cellule de r´ef´erence :αir= 0 pour unir

choisi dans{1,...,I}. Choix de SAS et R par d´efaut.

3Contrainte d"orthogonalit´e :?Ii=1niαi= 0.

4Contrainte de type somme :?Ii=1αi= 0.

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Mod´elisation

Estimation des param`etres

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Estimation des param`etres

Contrainteμ= 0

Mod`ele :Y=Xβ+εavecβ= (α

1,...,αI)?etX=A.

X ?X=(((((n

10...0

0n 2...0

0 0...n

I )et (X ?X)-1=((((( 1 n10...0 0 1 n2...0

0 0...

1 nI Estimateur des moindres carr´es ordinaires deβ ˆβ= (X?X)-1X?Y= (ˆα1,...,ˆαI) o`u ˆαi=¯Yi•=1 ni ?nij=1Yijpour touti. Magalie FromontR´egression sur variables qualitatives - Analyse de la variance

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Mod´elisation

Estimation des param`etres

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Analyse de la variance `a un facteur

Estimation des param`etres

Remarque : l"estimateurˆβest intuitif !

Proposition

ˆβest un estimateur sans biais deβde varianceσ2diag?1 n1,...,1 nI minimale parmi les estimateurs lin´eaires sans biais deβ. Le vecteur des valeurs ajust´ees est d´efini par

ˆY= (¯Y

1•,...,¯YI•)?,

et celui des r´esidus par : ˆε ij=Yij-¯Yi•.

Proposition

L"estimateur sans biais de la varianceσ2est?σ 2=1 n-I ?Ii=1?nij=1ˆε2ij=1 n-I ?Ii=1?nij=1(Yij-¯Yi•)2. Magalie FromontR´egression sur variables qualitatives - Analyse de la variance

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Estimation des param`etres

Contrainteαir= 0

Mod`ele :Y=Xβ+εavecβ= (μ,α

1,...,αir-1,αir+1,...,αI)?

etX= (?,?1,...,?ir-1,?ir+1,...,?I). Estimateur des moindres carr´es ordinaires deβ ˆβ= (X?X)-1X?Y= (ˆμ,ˆα1,...,ˆαir-1,ˆαir+1,...,ˆαI), avec

ˆμ=¯Y

ir•, ˆαi=¯Yi•-¯Yir•pouri? {1,...,ir-1,ir+ 1,...,I}.

Remarques :

- Vecteur des valeurs ajust´ees inchang´e carE(X) inchang´e i.e.ˆY= (¯Y

1•,...,¯YI•)?.

- Vecteur des r´esidus et estimateur sans biais deσ

2: idem aussi.

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Estimation des param`etres

Contrainte?Ii=1niαi= 0(αI=-1

nI ?I-1 i=1niαi)

Mod`ele :Y=Xβ+εavecβ= (μ,α

1,...,αI-1)?et

X=? ?,?1-n1 nI ?I,...,?I-1-nI-1 nI ?I Estimateur des moindres carr´es ordinaires deβ ˆβ= (ˆμ,ˆα1,...,ˆαI-1), avec ˆμ=¯Y••=1 n ?Ii=1ni¯Yi•, i=¯Yi•-¯Y••pouri? {1,...,I-1}. Remarque : vecteur des valeurs ajust´ees, vecteur des r´esidus et estimateur sans biais deσ

2inchang´es (E(X) inchang´e...)

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Estimation des param`etres

Contrainte?Ii=1αi= 0(αI=-?I-1

i=1αi)

Mod`ele :Y=Xβ+εavecβ= (μ,α

1,...,αI-1)?et

X= ( ?,?1-?I,...,?I-1-?I) Estimateur des moindres carr´es ordinaires deβ ˆβ= (ˆμ,ˆα1,...,ˆαI-1), avec ˆμ=1 I ?Ii=1¯Yi•, i=¯Yi•-1 I ?Ii=1¯Yi•pouri? {1,...,I-1}. Remarque : vecteur des valeurs ajust´ees, vecteur des r´esidus et estimateur sans biais deσ

2inchang´es (E(X) inchang´e...)

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Equation d"analyse de la variance

On rappelle ici l"´equation d"analyse de la variance usuelle :

SCT=SCE+SCR.

Elle s"exprime ici, puisque

?? E(X) quelle que soit la contrainte, sous la forme : ?Y-¯Y•• ??2=?ˆY-¯Y•• ??2+?Y-ˆY?2.

Interpr´etation :

SCE = variabilit´e inter cellules, dispersion des moyennes empiriques par cellules autour de la moyenne empirique globale

SCR = variabilit´e intra cellules.

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Tests sous hypoth`ese gaussienne

On suppose (C4) v´erifi´ee :εsuit une loi gaussienne.

Test d"effet du facteur

(H

0) :α1=...=αI= 0 contre (H1) :?(i,i?),αi?=αi?.

Cas particulier de test de validit´e de sous-mod`ele

Statistique de test :F(Y) =SCE/(I-1)

SCR/(n-I)=

?Ii=1ni(¯Yi•-¯Y••)2/(I-1) ?Ii=1? nij=1(Yij-Yi•)2/(n-I).

Loi sous (H

0) :F(Y)≂(H0)F(I-1,n-I).

R´egion critique du test de niveauα:{y,F(y)>f

I-1,n-I(1-α)}.

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Tests sous hypoth`ese gaussienne

Tableau d"analyse de la variance

VariationddlSCCMFPr(>F)

FacteurI-1SCESCE/(I-1)SCE/(I-1)

SCR/(n-I)

R´esiduellen-ISCRSCR/(n-I)

Totalen-1SCT

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Analyse de la variance `a deux facteurs

Cas d"une variable `a expliquerYquantitative et de deux variables explicatives qualitatives potentielles = deux facteurs dont le premier `aIniveaux, et le deuxi`eme `aJniveaux. Objectif : d´eterminer si les facteurs consid´er´es ont un effet - significatif - surY. ?Une premi`ere analyse graphique : trac´e des moyennes empiriques par cellules (profils). Magalie FromontR´egression sur variables qualitatives - Analyse de la variance

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Equation d"analyse de la variance

Tests sous hypoth`ese gaussienne

Analyse de la variance `a deux facteurs

Exemple des donn´ees d"Air Breizh

70 80 90 100 110

Direction du vent

Concentration maximale ozone moyenne

E N S W Nébulosité

Ensoleillé

Nuageux

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Analyse de la variance `a deux facteurs

Introduction

Exemple des donn´ees d"Air Breizh

70 80 90 100 110

Nébulosité

Concentration maximale ozone moyenne

Ensoleillé Nuageux Vent

E S N W Magalie FromontR´egression sur variables qualitatives - Analyse de la variance

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Analyse de la variance `a deux facteurs

Pour touti= 1...I,j= 1...J, on noteni,jle nombre

d"observations de la variableYcorrespondant auxi`eme etj`eme niveaux des deux facteurs consid´er´es, ety ijklaki`eme observation deYcorrespondant auxi`eme etj`eme niveaux des facteurs. On suppose quey ijkest l"observation d"une variable al´eatoireYijk.

Notations utiles :

n=? I i=1?Jj=1ni,jnombre total d"observations, ¯Y ij•=1 ni,j ?ni,jquotesdbs_dbs31.pdfusesText_37
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