[PDF] Recueil dannales en Mathématiques Terminale S – Enseignement

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Recueil d"annales en Mathématiques

Terminale S - Enseignement obligatoire

Géométrie (barycentre et produit scalaire dans l"espace)

Frédéric Demoulin

1

Dernièrerévision : 3 juin 2010

Document diffusé via le site

www.bacamaths.netde Gilles Costantini2

1. frederic.demoulin (chez) voila.fr

2. gilles.costantini(chez) bacamaths.net

Annales Terminale SGéométrie (barycentreet produit scalaire dans l"espace)

Tableaurécapitulatif desexercices

?indique que cette notion a été abordée dans l"exercice

VFèdreparam.centregéom.bilités

Session 2010

1Libanjuin 2010?

2Indeavril 2010???

Session 2009

3Amérique du Sudnov 2009???

4Nouvelle-Calédonienov 2009????

5Antilles-Guyanesept 2009???

6France / La Réunionsept 2009??

7Polynésiesept 2009???

8Amérique du Nordjuin 2009??

9Centres étrangersjuin 2009?

10France (sujet initial)juin 2009????

11La Réunionjuin 2009??

12Libanjuin 2009???

13Polynésiejuin 2009?????

14Indeavril 2009???

Session 2008

15Nouvelle-Calédoniemars 2009??

16Amérique du Sudnov 2008????

17Nouvelle-Calédonienov 2008??

18Polynésiesept 2008?

19Antilles-Guyanejuin 2008???

20Asiejuin 2008??

21Centres étrangersjuin 2008????

22Francejuin 2008??

23Polynésiejuin 2008??

24Amérique du Nordmai 2008???

25Indeavril 2008???

Session 2007

26Nouvelle-Calédoniedéc 2007???

27Amérique du Sudnov 2007??

28Polynésiesept 2007??

29Antilles-Guyanejuin 2007?

30Francejuin 2007??

31Libanjuin 2007???

32Polynésiejuin 2007?????

33Indeavril 2007?????

Session 2006

34Nouvelle-Calédoniemars 2007???

35Francesept 2006??

36Polynésiesept 2006?

37Centres étrangersjuin 2006??

38Francejuin 2006??

39La Réunionjuin 2006?????

40Polynésiejuin 2006??????

41Indeavril 2006????

F. DemoulinPage 1

Annales Terminale SGéométrie (barycentreet produit scalaire dans l"espace)

VFèdreparam.centregéom.bilités

Session 2005

42Amérique du Sudnov 2005????

43Antilles-Guyanesept 2005????

44Francesept 2005?

45Asiejuin 2005???

46La Réunionjuin 2005?

47Polynésiejuin 2005?????

48Indeavril 2005??

Session 2004

49Nouvelle-Calédonienov 2004????

50Amérique du Nordjuin 2004???

51Antilles-Guyanejuin 2004???

52Asiejuin 2004??

53Francejuin 2004????

Session 2003

54Nouvelle-Calédoniemars 2004????

55Amérique du Sudnov 2003???

56Nouvelle-Calédonienov 2003???

57Polynésiesept 2003???

58Asiejuin 2003???

59Francejuin 2003??

60La Réunionjuin 2003???

61Polynésiejuin 2003??

Session 2001

62Nouvelle-Calédonienov 2001??

63Amérique du Nordjuin 2001??

64Centres étrangersjuin 2001??

65Francejuin 2001???

F. DemoulinPage 2

Annales Terminale SGéométrie (barycentreet produit scalaire dans l"espace)

Exercice 1 Liban, juin 2010 (4 points)

L"espace est muni d"un repère orthonormal

O;-→ı;-→?;-→k

On noteDla droite passant par les pointsA(1 ;-2 ;-1) etB(3 ;-5 ;-2).

1. Montrer qu"une représentation paramétrique de la droiteDest :

?x=1+2t y= -2-3t z= -1-tavect? R

2. On noteD?la droite ayant pour représentation paramétrique :

?x=2-k y=1+2k z=kaveck? R Montrer que les droitesDetD?ne sont pas coplanaires.

3. On considère le planPd"équation 4x+y+5z+3=0.

a. Montrer que le planPcontient la droiteD. b. Montrer que le planPet la droiteD?se coupent en un pointCdont on précisera les coordonnées.

4. On considère la droiteΔpassant par le pointCet de vecteur directeur-→w(1 ; 1 ;-1).

a. Montrer que les droitesΔetD?sont perpendiculaires. b. Montrer que la droiteΔcoupe perpendiculairement la droiteDen un pointEdont on précisera les coordonnées.

F. DemoulinPage 3

Annales Terminale SGéométrie (barycentreet produit scalaire dans l"espace)

Exercice 2 Inde, avril 2010 (5 points)

L"espace est muni d"un repère orthonormal

O;-→ı;-→?;-→k

Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une démonstration de la ré-

ponse choisie. Dans le cas d"une proposition fausse,la démonstrationpourraconsister à fournir un contre-exemple.

1. La droite de représentation paramétrique

?x=t+2 y= -2t z=3t-1,t? Rest parallèle au plan dont une équation carté- sienne estx+2y+z-3=0.

2. Les plansP,P?etP??d"équations respectivesx-2y+3z=3, 2x+3y-2z=6 et 4x-y+4z=12 n"ont

pas de point commun.

3. Les droites de représentations paramétriques respectives

?x=2-3t y=1+t z= -3+2t,t? Ret ?x=7+2u y=2+2u z= -6-u,u?

Rsont sécantes.

4. On considère les pointsA(-1 ; 0 ; 2),B(1 ; 4 ; 0) etC(3 ;-4 ;-2).

Le plan (ABC) a pour équationx+z=1.

5. On considère les pointsA(-1 ; 1 ; 3),B(2 ; 1 ; 0) etC(4 ;-1 ; 5).

On peut écrireCcomme barycentre des pointsAetB.

F. DemoulinPage 4

Annales Terminale SGéométrie (barycentreet produit scalaire dans l"espace) Exercice 3 Amériquedu Sud, novembre 2009 (6 points)

L"espace est muni d"un repère orthonormal

O;-→ı;-→?;-→k

. On prend 1 cm comme unité. Partie A - Restitutionorganisée de connaissances SoitDle point de coordonnées (xD;yD;zD) etPle plan d"équationax+by+cz+d=0, oùa,betcsont des réels qui ne sont pas tous nuls. Démontrer que la distance du pointDau planPest donnée par : d(D;P)= ?axD+byD+czD+d?? ?a2+b2+c2

PartieB

On considère les pointsAde coordonnées (3 ;-2 ; 2),Bde coordonnées (6 ;-2 ;-1),Cde coordonnées (6 ; 1 ; 5)

etDde coordonnées (4 ; 0 ;-1).

1. Démontrer que le triangleABCest rectangle. En déduire l"aire du triangleABC.

2. Vérifier que le vecteur

-→nde coordonnées (1 ;-2 ; 1) est normal au plan (ABC).

Déterminer une équation du plan (ABC).

3. Calculer la distance du pointDau plan (ABC).

Déterminer le volume du tétraèdreABCD.

Partie C

SoitQle plan d"équationx-2y+z-5=0.

1. Déterminer la position relative des deux plansQet (ABC).

2.Qcoupe les droites (DA), (DB) et (DC) respectivement enE,FetG.

Déterminer les coordonnées deEet montrer queEappartient au segment [DA].

3.Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d"initiative, même non fructueuse, sera

prise en compte dans l"évaluation.

Déterminer le volume du tétraèdreEFGD.

F. DemoulinPage 5

Annales Terminale SGéométrie (barycentreet produit scalaire dans l"espace) Exercice 4 Nouvelle - Calédonie, novembre 2009 (5 points)

L"espace est rapporté au repère orthonormal

A;-→AB;--→AD;-→AE

On considère le cubeABCDEFGHreprésenté ci-dessous, à rendre avec la copie. On désigne parI,JetKles milieux respectifs des segments [BC], [BF] et [HF].

1. Déterminer les coordonnées des pointsI,JetK.

2. Démontrer que le vecteur

-→n(2 ; 1 ; 1) est orthogonal à-→IKet à-→IJ. En déduire qu"une équation du plan (IJK) est 4x+2y+2z-5=0.

3. a. Déterminer un système d"équations paramétriques de ladroite (CD).

b. En déduireque le point d"intersectionRdu plan (IJK) et de la droite(CD) est le point de coordonnées

?3

4; 1 ; 0

c. Placer le pointRsur la figure.

4. Tracer sur la figure la section du cube par le plan (IJK). On peut répondre à cette question sans avoir traité

les précédentes.

5. a. Montrer que la distance du pointGau plan (IJK) est?

6 4. b. SoitSla sphère de centreGpassant parF. Justifier que la sphèreSet le plan (IJK) sont sécants.

Déterminer le rayon de leur intersection.

A B CDE F GH z y z

F. DemoulinPage 6

Annales Terminale SGéométrie (barycentreet produit scalaire dans l"espace) Exercice 5 Antilles - Guyane, septembre 2009 (5 points)

L"espace est muni d"un repère orthonormal

O;-→ı;-→?;-→k

On considère les pointsA(1 ;-1 ; 4),B(7 ;-1 ;-2) etC(1 ; 5 ;-2).

1. a. Calculer les coordonnées des vecteurs

-→AB,-→ACet-→BC. b. Montrer que le triangleABCest équilatéral. c. Montrer que le vecteur -→n(1 ; 1 ; 1) est un vecteur normal au plan (ABC). d. En déduire quex+y+z-4=0 est une équation cartésienne du plan (ABC).

2. SoitDla droite de représentation paramétrique :

?x= -2t y= -2t-2 z= -2t-3oùt? R a. Montrer que la droiteDest perpendiculaire au plan (ABC).

b. Montrer que les coordonnées du pointG, intersection de la droiteDet du plan (ABC), sont (3 ; 1 ; 0).

c. Montrer queGest l"isobarycentre des pointsA,BetC.

3. SoitSla sphère de centreGpassant parA.

a. Donner une équation cartésienne de la sphèreS. b. Déterminer les coordonnées des points d"intersectionEetFde la droiteDet de la sphèreS.

F. DemoulinPage 7

Annales Terminale SGéométrie (barycentreet produit scalaire dans l"espace) Exercice 6 France / La Réunion, septembre 2009 (5 points)

L"espace est muni d"un repère orthonormal

O;-→ı;-→?;-→k

1. On désigne parPle plan d"équationx+y-1=0 et parP?le plan d"équationy+z-2=0.

Justifier que les plansPetP?sont sécants et vérifier que leur intersection est la droiteDdont une repré-

sentation paramétrique est : ?x=1-t y=t z=2-t, oùtdésigne un nombre réel.

2. a. Déterminer une équation du planRpassant par le pointOet orthogonal à la droiteD.

b. Démontrer que le pointI, intersection du planRet de la droiteD, a pour coordonnées (0 ; 1 ; 1).

3. SoientAetBles points de coordonnées respectives

-12; 0 ;12 et (1 ; 1 ; 0). a. Vérifier que les pointsAetBappartiennent au planR. b. On appelleA?etB?les points symétriques respectifs des pointsAetBpar rapport au pointI. Justifier que le quadrilatèreABA?B?est un losange. c. Vérifier que le pointSde coordonnées (2 ;-1 ; 3) appartient à la droiteD. d. Calculer le volume de la pyramideSABA?B?. On rappelle que le volume V d"une pyramide de base d"aire b et de hauteur h est : V=1

3b×h.

F. DemoulinPage 8

Annales Terminale SGéométrie (barycentreet produit scalaire dans l"espace)

Exercice 7 Polynésie,septembre 2009 (4 points)

On considère le cubeOABCDEFGd"arête de longueur 1 représenté ci-dessous. Il n"est pas demandé de rendre le graphique complété avec la copie. Soient les pointsPetQtels que--→OP=2--→OAet--→OQ=4--→OC. On appelleRle barycentre des points pondérés (B;-1) et (F; 2).

L"espace est muni du repère orthonormal

O;--→OA;--→OC;--→OD

1. a. Démontrer que le pointRa pour coordonnées (1 ; 1 ; 2).

b. Démontrer que les pointsP,QetRne sont pas alignés. c. Quelle est la nature du trianglePQR?

2. a. Démontrer qu"une équation du plan (PQR) est 4x+2y+z-8=0.

b. Vérifier que le pointDn"appartient pas au plan (PQR).

3. On appelleHle projeté orthogonal du pointDsur le plan (PQR).

a. Déterminer un système d"équations paramétriques de la droite (DH). b. Déterminer les coordonnées du pointH. c. Démontrer que le pointHappartient à la droite (PR). A BCD E FG O

F. DemoulinPage 9

Annales Terminale SGéométrie (barycentreet produit scalaire dans l"espace) Exercice 8 Amérique du Nord, juin 2009 (5 points) On considère un cubeABCDEFGHd"arête de longueur 1. ABC DEF I JG H K On noteIle centre de la faceADHE,Jcelui de la faceABCDetKle milieu du segment [IJ]. L"espace est rapporté au repère orthonormal?

A;-→AB;--→AD;-→AE

1. Déterminer les coordonnées des pointsI,JetKdans ce repère.

2. Démontrer que les pointsA,KetGne sont pas alignés.

3. a. Démontrer que le plan médiateur du segment [IJ] est le plan (AKG).

b. Déterminer une équation cartésienne du plan (AKG). c. Vérifier que le pointDappartient au plan (AKG).

4. Dans cette question, on veut exprimerKcomme barycentre des pointsA,DetG.

SoitLle centre du carréDCGH.

a. Démontrer que le pointKest le milieu du segment [AL].

b.Pour cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d"initiative, même non fructueuse,

sera prise en compte dans l"évaluation.

Démontrer queKest le barycentre des pointsA,DetGaffectés de coefficients que l"on précisera.

F. DemoulinPage 10

Annales Terminale SGéométrie (barycentreet produit scalaire dans l"espace) Exercice 9 Centres étrangers, juin 2009 (5 points) On se propose dans cet exercice, d"étudier des propriétés d"un solide de l"espace. L"espace est rapporté à un repère orthonormal

O;-→ı;-→?;-→k

On considère les pointsA(3 ; 4 ; 0),B(0 ; 5 ; 0) etC(0 ; 0 ; 5). On noteIle milieu du segment [AB].

1. Faire une figure où l"on placera les pointsA,B,C, etIdans le repère

O;-→ı;-→?;-→k

2. Démontrer que les trianglesOACetOBCsont rectangles et isocèles.

Quelle est la nature du triangleABC?

3. SoitHle point de coordonnées

?15

19;4519;4519

a. Démontrer que les pointsH,CetIsont alignés. b. Démontrer queHest le projeté orthogonal deOsur le plan (ABC). c. En déduire une équation cartésienne du planABC.

4. Calculs d"aire et de volume.

a. Calculer l"aire du triangleOAB. En déduire le volume du tétraèdreOABC. b. Déterminer la distance du pointOau plan (ABC). c. Calculer l"aire du triangleABC.

F. DemoulinPage 11

Annales Terminale SGéométrie (barycentreet produit scalaire dans l"espace) Exercice 10 France (sujet initial), juin 2009 (4 points) Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).

Pour chaque question, une seule des propositions est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, la

lettre correspondant à la réponse choisie. Il est attribué un point si la réponse est exacte, aucun point n"est enlevé

pour une réponse inexacte ou une absence de réponse. L"espace est rapporté à un repère orthonormal

O;-→ı;-→?;-→k

On considère les pointsA(1 ; 2 ;-1),B(1 ; 1 ; 0),C(9 ;-1 ;-2) etS(1 ; 1 ; 1). On admet qu"une équation du plan (ABC) estx+2y+2z-3=0.

1. Une représentation paramétrique de la droite (AB) est :

a. ?x=1-t y=2-4t z= -1+3t(tréel). b.?????x=1 y= -1-t z=3+t(tréel). c.?????x=1 y=1-2t z=2t(tréel).

2. Les coordonnées du pointS?symétrique du pointSpar rapport au plan (ABC) sont :

a. ?10

9;119;109

. b. ?5

9;19;19

. c. ?7

9;59;59

3. Le triangleABCest :

a. isocèle. b. rectangle enA. c. rectangle enB.

4. L"ensemble des pointsMde l"espace vérifiant

?--→MA---→MB+--→MC??? =9 est : a. un plan passant parS. b. une sphère passant parS. c. une sphère de centreS.

F. DemoulinPage 12

Annales Terminale SGéométrie (barycentreet produit scalaire dans l"espace)

Exercice 11 La Réunion, juin 2009 (5 points)

SoientA(1 ; 2 ; 0),B(2 ; 2 ; 0),C(1 ; 3 ; 0) etD(1 ; 2 ; 1) quatre points de l"espace muni d"un repère orthonormal

O;-→ı;-→?;-→k

Pdésigne le plan orthogonal à (BC) contenantA; Qdésigne le plan orthogonal à (DC) contenantA; Rdésigne le plan orthogonal à (BD) contenantA.

1. Montrer que le planPa pour équation cartésiennex-y+1=0.

On admet que le planQa pour équation cartésienne-y+z+2=0 et que le planRa pour équation carté-

sienne-x+z+1=0.

2. a. Résoudre le système

?x-y+1=0 -y+z+2=0 -x+z+1=0. b. Endéduirequel"intersection destroisplansP,QetRestunedroiteDpassantparlepointE(2; 3; 1). c. Vérifier que la droiteDest orthogonale au plan (BCD). En déduire une équation cartésienne du plan (BCD).

3. Déterminer une équation cartésienne pour chacun des plans (ABC), (ABD) et (ACD).

On admet que ces plans sont respectivement parallèles aux plans de repères ?O;-→ı;-→??,

O;-→ı;-→k

et?

O;-→?;-→k

4.Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d"initiative même non fructueuse, sera

prise en compte dans l"évaluation. a. Montrer que tout pointMde la droiteDest équidistant des plans (ABC), (ABD) et (ACD). b. Existe-t-il des points de l"espace équidistants des plans (ABC), (ABD), (ACD) et (BCD)?

F. DemoulinPage 13

Annales Terminale SGéométrie (barycentreet produit scalaire dans l"espace)

Exercice 12 Liban, juin 2009 (4 points)

deEpar rapport àF. Dans tout l"exercice, l"espace est rapporté au repère orthonormal

A;-→AB;--→AD;-→AE

A BC DE FG H I J

1. a. Déterminer les coordonnées des pointsIetJ.

b. Vérifier que le vecteur

DJest un vecteur normal au plan (BGI).

c. En déduire une équation cartésienne du plan (BGI). d. Calculer la distance du pointFau plan (BGI).

2. On noteΔla droite passant parFet orthogonale au plan (BGI).

a. Donner une représentation paramétrique de la droiteΔ. b. Montrer que la droiteΔpasse par le centreKde la faceADHE.

c. Montrer que la droiteΔet le plan (BGI) sont sécants en un point, notéL, de coordonnées

?2

3;16;56

d.Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, seraprise en compte dans l"évaluation.

Le pointLest-il l"orthocentre du triangleBGI?

F. DemoulinPage 14

Annales Terminale SGéométrie (barycentreet produit scalaire dans l"espace)

Exercice 13 Polynésie,juin 2009 (5 points)

L"espace est muni d"un repère orthonormal

O;-→ı;-→?;-→k

On considère les points :A(1 ;-1 ; 3),B(0 ; 3 ; 1),C(6 ;-7 ;-1),D(2 ; 1 ; 3) etE(4 ;-6 ; 2).

1. a. Montrer que le barycentre du système

{(A; 2) ; (B;-1) ; (C; 1)}est le pointE. b. En déduire l"ensembleΓdes pointsMde l"espace tels que :

2--→MA---→MB+--→MC

=2?21

2. a. Montrer que les pointsA,BetDdéfinissent un plan.

b. Montrer que la droite (EC) est orthogonale au plan (ABD). c. Déterminer une équation cartésienne du plan (ABD).

3. a. Déterminer une représentation paramétrique de la droite (EC).

b. Déterminer les coordonnées du pointFintersection de la droite (EC) et du plan (ABD).

4.Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d"initiative, même non fructueuse, sera

prise en compte dans l"évaluation.

Montrer que le plan (ABD) et l"ensembleΓ, déterminé à la question 1, sont sécants. Préciser les éléments

caractéristiques de cette intersection.

F. DemoulinPage 15

Annales Terminale SGéométrie (barycentreet produit scalaire dans l"espace)

Exercice 14 Inde, avril 2009 (4 points)

Dans un repère orthonormé de l"espace

O;-→ı;-→?;-→k

on considère les points :

Ade coordonnées (1 ; 1 ; 0),Bde coordonnées (2 ; 0 ; 3),Cde coordonnées (0 ;-2 ; 5) etDde coordonnées

(1;-5 ; 5).

Pourchacunedespropositions suivantes, diresielle estVRAIEouparFAUSSE enjustifiantchaquefoislaréponse :

Proposition1 :l"ensemble des pointsMde coordonnées (x;y;z) tels quey=2x+4 est une droite.

Proposition 2 :la transformation qui, à tout pointMde l"espace, associe le pointM?tel que---→MM?=--→MA+--→MB+

2--→MCest l"homothétie de centreG, oùGdésigne le barycentredusystème {(A; 1) ; (B; 1) ; (C; 2)} et de rapport 3.

Proposition3 :A,B,CetDsont quatre points coplanaires.

Proposition 4 :la sphère de centreΩde coordonnées (3 ; 3 ; 0) et de rayon 5 est tangente au plan d"équation

2x+2y+z+3=0.

F. DemoulinPage 16

Annales Terminale SGéométrie (barycentreet produit scalaire dans l"espace) Exercice 15 Nouvelle- Calédonie, mars 2009 (5 points)

L"espace est rapporté au repère orthonormal

O;-→ı;-→?;-→k

. On considère les points :

A(4 ; 0 ; 0),B(0 ; 2 ; 0),C(0 ; 0 ; 3) etE

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