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ATTENTION : les solutions données ici ne sont pas complètes (il manque la justification, qu'on a

donnée pendant le cours) !

1. Exercice dans le polycopié

Une classe de 30 élèves, 12 filles et 18 garçons, doit élire un comité composé d'un président, un

vice-président et un secrétaire. a) Combien de comités peut-on constituer ? [30]

3 = 30 × 29 × 28 = 24360

b) Combien de comités peut-on constituer sachant que le poste de secrétaire doit être occupé par

une fille ? 12 × [29]

2 = 12 × 29 × 28 = 9744

c) Quel est le nombre de comités comprenant l'élève X ? 29 × 28 + 29 × 28 + 29 × 28 = 2436

d) Quel est le nombre de comités pour lesquels le président est une fille et le secrétaire un

garçon ? 12 × 18 × 28 = 6048

e) Quel est nombre de comités pour lesquels le président et le vice-président sont de sexes

différents ? 12 × 18 × 28 + 18 × 12 × 28 = 12096

EXERCICES SERIE APPLICATIONS EN LIGNE

2. Exercice 1 :

Combien y a-t-il de possibilités d'aligner 12 élèves ? À raison de 10 secondes par permutations,

combien de temps faudrait-il pour épuiser toutes les possibilités ?

12 ! = 479 001 600  55440 jours (environ 150 ans)

3. Exercice 2 :

À l'occasion du championnat mondial de football, un père a donné un album d'images

autocollantes à collectionner à chacun de ces 3 enfants. Ensuite, il a acheté 30 images

autocollantes différentes et il veut les leur distribuer. De combien de façons peut-il le faire ?

3

30 = 205 891 132 094 649 façons

Si le père veut que chacun de ces enfants ait au moins une image autocollante, de combien de façon peut-il distribuer les images autocollantes ? 3

30 est le nombre total d'applications. Il y a 3 applications " sur un enfant », 3 × 230 applications

" sur au plus deux enfants ». Le nombre d'applications " sur exactement trois enfants » (c'est-à-

dire surjectives) est 3

30 - 3 × 230 + 3 = 205 887 910 869 180

(Complément : combien d'applications surjectives y a-t-il d'un ensemble de cardinal n vers un ensemble de cardinal 3 ?) 3 n - 3 × 2n + 3

4. Exercice 3 :

Dénombrer les anagrammes du mot PATRICE. 7 ! = 5040 Dans chacun des cas suivants, dénombrer les anagrammes du mot PATRICE : a) commençant et finissant par une consonne. 4 × 3 × 5 ! = 1440 b) commençant et finissant par une voyelle. 3 × 2 × 5 ! = 720 c) commençant par une consonne et finissant par une voyelle. 4 × 3 × 5 ! = 1440 d) commençant par une voyelle et finissant par une consonne. 3 × 4 × 5 ! = 1440

5. Exercice 4 :

Montrer que si l'on choisit n+1 entiers distincts compris entre 1 et 2n, alors au moins deux sont consécutifs. Définissons des tiroirs les couples C i = { i , i + 1 } (dans le tiroir Ci on peut mettre seulement les nombres i et i +1). Il y a n tiroirs et n+1 entiers à mettre dans les tiroirs (cela

correspond à choisir). Donc forcément il y a au moins un tiroir avec deux entiers dedans, ce qui

équivaut au fait qu'on a choisi deux entiers consécutifs.

D'AUTRES EXERCICES

6. Exercice 6

Un cadenas possède un code à 3 chiffres, chacun des chiffres pouvant être un chiffre de 1 à 9.

a)

Combien y a-t-il de codes possibles ? 93 = 729

b) Combien y a-t-il de codes se terminant par un chiffre pair ? 9 × 9 × 4 = 324 c) Combien y a-t-il de codes contenant au moins un chiffre 4 ? 93 - 83 = 217 (83 = # codes sans le chiffre 4) d) Combien y a-t-il de codes contenant exactement un chiffre 4 ? 8 × 8 + 8 × 8 + 8 × 8 = 192 Dans la suite on souhaite que le code comporte obligatoirement 3 chiffres distincts. a) Combien de codes possibles ? 9 × 8 × 7 = 504 b) Combien de codes possibles se terminent par un chiffre impair ? 5 × 8 × 7 = 280 c) Combien de codes possibles contiennent exactement une seule fois le chiffre 6 ? 8 × 7 + 8 ×

7 + 8 × 7 = 168

7. Exercice 7

Combien de mots à 5 lettre peut-on écrire en n'utilisant que les lettres A,T,E,S ? 45 = 1024 Combien de ces mots commencent avec une voyelle ? 2 × 4

4 = 512

Combien de ces mots ne contiennent pas de voyelle ? 2

5 = 32

Combien de ces mots contiennent au moins une A ? 4

5 - 35 = 781

8. Exercice 8

Six personnes choisissent mentalement un nombre entier compris entre 1 et 6.

1) Combien de résultats peut-on obtenir ? 6

6 = 46656

2) Combien de résultats ne comportant pas deux fois le même nombre peut-on obtenir ? [6]

6 = 6 !

= 720

9. Exercice 9

Si un tiroir contient 50 chaussettes rouges et 50 chaussettes noires, combien suffit-il d'extraire de

chaussettes pour être sûr d'obtenir au moins une paire d'une même couleur ? 3, parce que une

application de {1,2,3} sur {R,N} ne peut pas être injective. Combien de chaussettes faut-il tirer pour être sûr d'obtenir les 2 couleurs ? 51. Si on a 50 paires distinctes de chaussettes, combien faut-il en tirer pour en avoir au moins une paire ? 51, parce que une application de {1,...,51} sur {p1,...,p50} ne peut pas être injective.quotesdbs_dbs9.pdfusesText_15

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