[PDF] Espérance la condition d'existence de

View - Download Espérance

Previous PDF

Next PDF

Chapitre 7

Espérance

7.1 Introduction

L' espérance d'une variable aléatoire est, lorsqu'elle existe, la moyenne des va- leurs de cette variable, pondérées par leurs probabilités de réalisation . On voit bien comment traduire cette définition informelle dans le cas d'une variable aléatoire discrète X en posant : E X x X xP X x .(7.1) Cette formule n'a de sens que si la famille de réels xP X x x X est sommable, ce qui se traduit par la condition suivante pour l'existence de l'espérance de la v.a. discrète X x X x P X x .(7.2) Tant que l'on reste dans le cadre des variables aléatoires discrètes, cette définition est satisfaisante et permet d'établir toutes les propriétés de l'espérance [14, Chap. 5]. En bonne place parmi ces propriétés, figure l'additivité de l'espérance : si X et Y définies sur le même F ,P ont une espérance, il en va de même pour X Y et E X Y E X E

Y.(7.3)

Essayons de traduire la définition informelle ci-dessus dans le cas d'une variable aléatoire à densité f . Partant de (7.1), on remplace P X x par P X x,x d x probabilité " valant 1 f x d x » et on remplace la somme (ou série) par une intégrale, ce qui conduit à : E X xf x d x,(7.4)

1. Nous ne prétendons pas donner un sens rigoureux à cette probabilité d'appartenance à un

" intervalle infinitésimal », il s'agit juste d'une approche intuitive.

252Chapitre 7. Espérance

la condition d'existence de l'espérance étant tout simplement la convergence absolue de cette intégrale généralisée, ce qui vu la positivité de f , se traduit par x f x d x .(7.5) Cette définition malgré son analogie formelle avec (7.1) est loin d'offrir la même sou-

plesse pour établir les propriétés de l'espérance. Par exemple la preuve de l'additivité

est complètement hors de portée . En effet, si X et Y sont à densité, X Y peut n'être ni discrète ni à densité 2 , cf. l'exercice 6.13 pour un exemple, et alors le premier membre de (7.3) n'est même pas défini pour la v.a. Z X Y La solution donnée à ce problème par la théorie moderne des probabilités est la définition dans le cas général, de l'espérance de X comme une intégrale abstraite sur

Ω, relativement à la mesure

P E X X d P si� X d P (7.6) On peut donner une première idée de ce qu'est cette intégrale abstraite en considérant le cas d'une variable aléatoire X telle que X x 1 ,...,x n . Alors en notant A k X x k X x k X d P n k 1 x k P A k (7.7) ce qui traduit bien la définition informelle de E X comme la moyenne des valeurs de X pondérées par leurs probabilités de réalisation. Le passage au cas d'une variable aléatoire X quelconque revient précisément à construire une intégrale au sens de

Lebesgue sur

F ,P et cette théorie sort du cadre de ce livre. Il nous faut donc trouver une autre définition de E X . Cette définition doit per- mettre un traitement unifié de toutes les lois 3 . Rappelons qu'il existe des lois qui ne sont ni discrètes ni à densité et que la description la plus générale des lois de

variables aléatoires réelles est donnée par leur fonction de répartition, cf. le théo-

rème 5.30 et la remarque 6.17. Il est donc naturel de chercher à définir E X

à partir

de la fonction de répartition F t P X t . Nous allons motiver cette définition en nous restreignant au cas des variables aléatoires positives et en partant du cas simple où X est discrète avec X x 1 ,...,x n partie finie de R . Dans ce cas, la définition informelle de E X se traduit par la formule E X n k 1 x k P X x k Les figures 7.1 et 7.2 nous montrent comment exprimer cette moyenne pondérée à l'aide de F . Rappelons que dans ce cas, F présente en chaque x k un saut d'amplitude P X x k . L'interprétation graphique en terme d'aires donnée par la figure 7.2 nous permet d'écrire E X comme l'intégrale de Riemann ordinaire : E X xn 0 1 F t d t et aussi comme la fausse intégrale généralisée� 0 1 F t d t

2. Alors que la somme de deux variables aléatoires discrètes est

toujours une variable aléatoire discrète.

3. La définition informelle de

E X nous fait pressentir que E X ne doit dépendre que de la loi de X , ce qui est bien le cas dans les formules (7.1) et (7.4).

7.1. Introduction253

x k P X x k P X x k tx n x k x 1 0 F t 1

Figure

7.1 - Interprétation graphique des

x k P X x k , pour x k 0 E X t x n x 1 0 F t 1

Figure

7.2 - Interprétation graphique de

E X n k 1 x k P X x k , les x k 0.

254Chapitre 7. Espérance

Si on passe maintenant au cas d'une variable aléatoire positive quelconque, il paraît alors naturel de considérer que E X est l'aire (éventuellement infinie) délimitée par le segment vertical t 0, y 0 1 , la demi droite " asymptote » y 1, t

0 et le

graphe de F , ce qui nous conduit à la formule E X 0 1 F t d t 0 P Xquotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

[PDF] condition d'existence équation

[PDF] condition de simplification

[PDF] condition d'existence exponentielle

[PDF] fraction algébrique

[PDF] fraction algébrique exercices

[PDF] fractions algébriques conditions d'existences

[PDF] fraction algébrique théorie

[PDF] fraction algébrique definition

[PDF] fraction algébrique 3ème exercices

[PDF] domaine d'une fonction definition

[PDF] condition d'existence math

[PDF] condition de germination des graines 6eme

[PDF] pour germer une graine a besoin

[PDF] tp de germination des graines pdf

[PDF] conditions germination graines pdf