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CHAPITRE 3

Les fractions algébriques

1. Définition et exemples

Définition. Une fraction algébrique est une fraction qui contient des variables 1

Exemples.

2 1 2 x xH est une fraction algébrique de la variable x. Si par exemple xZ2, cette fraction vaut 8 3 ab ab H J 2 est une fraction algébrique des variables a et b. Si par exemple et , alors cette fraction est égale à 7. aZ3bZ2

Remarque importante. Une fraction algébrique existe si et seulement si son dénominateur ne s'annule pas. Retenons donc :

Condition d'existence :

a b b existeøÖ0 (3.1)

Exemples.

2 1 2 x xH ab ab H J 2

2. Simplification et amplification

a) Simplifier une fraction algébrique par un réel non nul m signifie : diviser le numérateur et le

dénominateur de cette fraction par m. Simplification par : 0m≠ a b a b Z m m (3.2)

Exemples de simplification.

4 6 2 3 2 3 x y x y x y Z Z 22
(Simplification par 2) 3 5 3 5 3 5 2 ab b abab Z Z b b (Simplification par b) xx x xx x x 2 33
1 31
H H Z ôH ôH Z bg bg3 (Simplification par xH) 1 Attention ! On peut seulement simplifier une fraction algébrique par un facteur commun du numérateur et du dénominateur. Avant de simplifier une fraction, il faut donc factoriser le

numérateur et le dénominateur (cf. dernier exemple ci-dessus). En général, on simplifie la fraction

par le plus grand commun diviseur (pgcd) du numérateur et du dénominateur. 1 Une variable est une lettre représentant un nombre réel quelconque.

Contre-exemples.

Ä=On ne peut pas simplifier la fraction

xH2 4 par 2 puisque 2 n'est pas un facteur du numérateur.

Ä=On ne peut pas simplifier la fraction

x x 2 1 1 J H par x puisque x n'est pas un facteur du numérateur,

ni du dénominateur. On peut néanmoins simplifier la fraction par xH1 à condition de factoriser

d'abord le numérateur : x x xx x x x 2 1 1 11 11 1 1 1 J H Z

JôH

ôH Z J ZJ bgbg bg

b) Amplifier une fraction algébrique par un réel non nul m signifie : multiplier le numérateur et le

dénominateur de cette fraction par m. L'amplification est donc le contraire de la simplification.

Amplification par m :

a b a b Z m m (3.3)

Exemples d'amplification.

2 3 2 3 4 6 x y x y x y Z Z 2 2 (Amplification par 2) 3 5 3 5 3 5 2 ababab b Z Z b b (Amplification par b) xxx x x x3 1 313
2 Z ôH ôH Z H H bg bg x 3 (Amplification par xH) 1

3. Somme et différence de fractions algébriques

Faisons la somme (ou la différence) de deux fractions de même dénominateur : a b c b ac b ÎZ (3.4) Faisons la somme (ou la différence) de deux fractions quelconques : a b c d a b c d adbc bd ÎZ Z Îd d b b (3.5)

Expliquons :

Ô=Dans (3.4) les fractions ont même dénominateur : il suffit alors d'additionner (ou de soustraire)

les numérateurs sur ce dénominateur commun.

Ô=Dans (3.5) les fractions n'ont pas le même dénominateur : il faut alors amplifier chacune d'elles

pour obtenir un dénominateur commun. Ici, le dénominateur commun (le plus simple) est le

produit des deux dénominateurs b et d. En général, le dénominateur commun est le plus petit

commun multiple (ppcm) de tous les dénominateurs intervenant dans la somme. Donnons quelques exemples afin d'éclaircir la notion de ppcm. ababab 46
3 12 2 12 32
12 HZHZ H ppcm4612,bgZ 43434
2222
3 xx x xx x x HZHZ H ppcmxxx, 22
ch Z 7 12 3 20 35
60
9 60
359
60
a x b y ay xy bx xy aybx xy JZJZ J ppcm122060xyx,bgZy 3.2 4 1 3 1 41
11 31
11xx x xx x xxH J J Z J HJ J H HJ bg bgbg bg bgbg ppcmxxxxHJZHJ1111,bgbgbg Z JJH HJ Z JJJ HJ Z J HJ 4131
11 4433
11 7 11 xx xx xx xx x xx bgbg bgbg bgbg bgbg

Voici un dernier exemple plus compliqué :

1 1 14 21
32
J H H J J JHa a aaaa Z J H H J J J Z J H H JH J J Z J J H J J J Zquotesdbs_dbs31.pdfusesText_37

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