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1 M. ABDOU SALAM DIOP PROFESSEUR DE MATHEMATIQUES AU LYCEE DE KOKI - COURS TLE L- 2018-2019
M A T H E M A T I Q U E S TleL SUPPORT DE COURS
& CAHIER QUELQUES DEVOIRS
QUELQUES BACS
ANNEE SCOLAIRE : 2018/2019
EDITEUR
MONSIEUR ABDOU SALAM DIOP
PROFESSEUR DE MATHEMATIQUES AU LYCEE DE KOKI
abdousalamdiop13@gmail.com2 M. ABDOU SALAM DIOP PROFESSEUR DE MATHEMATIQUES AU LYCEE DE KOKI - COURS TLE L- 2018-2019
ACADEMIE DE LOUGA ANNEE SCOLAIRE : 2018/2019 LYCEE DE KOKI CLASSE : TERMINALE L'1 et L2PROFESSEUR: M. A S DIOP
DOMAINE 1 : ALGEBBRE
¾ Chapitre 0 : RAPPEL DES METHODES DE
FACTORISATION D'UN POLYNOME
¾ Chapitre I : COMPOSITION DE FONCTIONS
DOMAINE 2 : ANALYSE
¾ Chapitre II: COMPLEMENTS SUR LES LIMITES ET
CONTINUITE
¾ Chapitre III : DERIVATION
¾ Chapitre IV : ETUDE DE FONCTIONS
¾ Chapitre V : FONCTION LOGARITHME NEPERIEN
¾ Chapitre VII : SUITES NUMERIQUES
¾ Chapitre VIII : FONCTION EXPONENTIELLE
¾ Chapitre X : PRIMITIVES ET INTEGRALES
DOMAINE 3 : ORGANISATION DES DONNEES
¾ Chapitre VI : DENOMBREMENT ET PROBABILITE
¾ Chapitre IX : STATISTIQUE A DEUX VARIABLES
PROGRAMME
3 M. ABDOU SALAM DIOP PROFESSEUR DE MATHEMATIQUES AU LYCEE DE KOKI - COURS TLE L- 2018-2019
SUPPORT DE
COURS ET
CAHIER
G·$33IHF$7
ION4 M. ABDOU SALAM DIOP PROFESSEUR DE MATHEMATIQUES AU LYCEE DE KOKI - COURS TLE L- 2018-2019
Activité 1
1. Calculer l'image de 4 par la fonction ݂, on appelle cette image a. Calculer l'image de a par ݃.
2. Calculer l'image de 2 par la fonction ݃, on appelle cette image b. Calculer l'image de b par ݂.
Définition 1
Fig.1Exemple 1
Chapitre I
COMPOSITION DE FONCTIONS
Thème : Equations Inéquations et système
TSoient ࢌ et ࢍ deux fonctions définies respectivement sur les ensembles ࡰࢌ et ࡰࢍ. La fonction
obtenue en appliquant successivement ࢌ, puis ࢍ est la composée de ࢌ par ࢍ. Elle se note ࢍᣧࢌ
et se lit "ࢍ rond ࢌ».5 M. ABDOU SALAM DIOP PROFESSEUR DE MATHEMATIQUES AU LYCEE DE KOKI - COURS TLE L- 2018-2019
Application 1
Correction :......................................................................................................................................
TAF1 (Travail A Faire N°1)
Remarque 1
Les composées de fonctions ݃ᣧ݂ et ݂ᣧ݃ sont en général différentes. Toute fonction non élémentaire peut être vue (ou décomposée) comme une composée de fonctions élémentaires. FIN6 M. ABDOU SALAM DIOP PROFESSEUR DE MATHEMATIQUES AU LYCEE DE KOKI - COURS TLE L- 2018-2019
AUTRES EXEMPLES
Résumé des Définitions, Propriétés et Théorèmes NOTES7 M. ABDOU SALAM DIOP PROFESSEUR DE MATHEMATIQUES AU LYCEE DE KOKI - COURS TLE L- 2018-2019
I. RAPPEL SUR LES LIMITES
1) Limites de références
Soit n un entier naturel non nul et k un nombre réel quelconque, nous admettons les résultats suivants. Limites en un réel a Limites en нь Limites en -ьPour tout aш0,
2) Opérations sur les limites
Soit l et O · deux nombres réels. Les limites en ࢞ peuvent être des limites en нь , en -ь, en ࢇ (ࢇ
un nombre réel quelconque), des limites à droite ou à gauche. Mais bien entendu toutes les limites
a) Limite d'une somme f + gOn a :
Et nous admettons les résultats du tableau suivant :FI :_Forme_indéterminée
Exemple 1
௫య deux fonctions. Calculons la limite en ͳ de ݂ǡ݃ et ݂݃.Chapitre II
COMPLEMENTS SUR LES LIMITES ET CONTINUITE
Thème : Equations Inéquations et système
T8 M. ABDOU SALAM DIOP PROFESSEUR DE MATHEMATIQUES AU LYCEE DE KOKI - COURS TLE L- 2018-2019
Application 1
௫ర deux fonctions. Calculer la limite en െλ de , ݃ et ݂݃. TAF 1 ξ௫ deux fonctions. Calculer la limite en λ de ݂ǡ݃ et ݂݃. ௫ାଵ deux fonctions. Calculons la limite en 2 de ݂ , ݃ et ݂݃. b) Limite d'un produit ࢌൈࢍOn a :
Et nous admettons les résultats du tableau suivant :Exemple 2
௫మ deux fonctions. Calculons la limite en λ de ݂ǡ݃ et ݂ൈ݃.Application 2
TAF 2 ௫ deux fonctions. Calculer la limite en -ି de ݂, ݃ et ݂ൈ݃.On a :
9 M. ABDOU SALAM DIOP PROFESSEUR DE MATHEMATIQUES AU LYCEE DE KOKI - COURS TLE L- 2018-2019
Et nous admettons les résultats du tableau suivant : ou l > 0 ou l < 0 ou l < 0 ou 0݈Ԣ<0 ݈ᇱ> 0
݈ᇱ< 0 േλ -ା -ି -ା -ି 0 Ԣ 0 λ െλ െλ λ ܫܨ λ െλ െλ λ ܫܨ
Exemple 3
௫ିଷ , Calculons la limite en ͵ା de ݂.Application 3
௫ିଷ , Calculer la limite en 2 de ݂. ௫ିଷ , Calculer la limite en ͵ି de ݂. TAF 310 M. ABDOU SALAM DIOP PROFESSEUR DE MATHEMATIQUES AU LYCEE DE KOKI - COURS TLE L- 2018-2019
d) Limite d'une composĠe ࢌלExemple 4
Application 4
TAF 4 ௫యାଵ , Calculons la limite en λ de ݂.Remarque 1
Lorsque le tableau ne donne pas de résultat général, on parle souvent de Forme Indéterminée (FI).
Les formes indéterminées sont de quatre types : λെλ ou െλλ ; ൈേλ ;
2. LeǀĠe d'une indĠtermination
Propriété 1
Exemple 5
En λ ou en െλ, un polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré.
11 M. ABDOU SALAM DIOP PROFESSEUR DE MATHEMATIQUES AU LYCEE DE KOKI - COURS TLE L- 2018-2019
Application 5
bornes de ܦ aux bornes de ܦ TAF5 bornes de ܦ ௫ , déterminer son ensemble de définition ܦ aux bornes de ܦPropriété 2
Exemple 6
௫రାଷ௫యିଵ en െλ.En λ ou en െλ, une fonction rationnelle a la même limite que le quotient du terme de
plus haut degré du numérateur par le terme de plus haut degré du dénominateur.12 M. ABDOU SALAM DIOP PROFESSEUR DE MATHEMATIQUES AU LYCEE DE KOKI - COURS TLE L- 2018-2019
Application 6
ଷ௫మାଷ௫ିଵ , calculer la limite de ݂ en െλ. ௫మିଵ , calculer la limite de ݂ en λ. TAF6 ଷ௫మିଵ , calculer la limite de ݂ en െλ et en λ. b) La factorisation en vue de simplifierPropriété 3
Exemple 7
௫ାଵ , calculons la limite de ݂ en -1.Application 7
௫మିଽ , calculer la limite de ݂ en 3. TAF7 ௫మାସ௫ାଷ , calculer la limite de ݂ en -1. ௫ିଵ , calculer la limite de ݂ en 1. Pour déterminer la limite en a d'une fonction du type ࢌ simplifier avant de calculer la limite en a.13 M. ABDOU SALAM DIOP PROFESSEUR DE MATHEMATIQUES AU LYCEE DE KOKI - COURS TLE L- 2018-2019
c) Multiplication par l'edžpression conjuguĠePropriété 4
Exemple 8
Application 8
௫ିଷ , calculer la limite de ݂ en 3 . TAF8 ଷ௫ , calculer la limite de ݂ en 0 .II. BRANCHES INFINIES
NB : dans toute la suite ࢌ et ࢍ désignent des fonctions numériques, ࡰࢌ et ࡰࢍ leurs ensembles de
définition respectifs, ࢌ et ࢍ leurs courbes représentatives respectives.1) Asymptotes d'une courbe
a) Asymptote VerticalePropriété 5
Exemple 9
Application 9
parfois aider à lever la forme indéterminée.14 M. ABDOU SALAM DIOP PROFESSEUR DE MATHEMATIQUES AU LYCEE DE KOKI - COURS TLE L- 2018-2019
Illustration graphique
Fig2 Fig3 TAF9 en െλ et en λ. b) Asymptote HorizontalePropriété 6
Exemple 10
Application 10
െλ ou respectivement en λ.15 M. ABDOU SALAM DIOP PROFESSEUR DE MATHEMATIQUES AU LYCEE DE KOKI - COURS TLE L- 2018-2019
Illustration graphique
Fig4 Fig5 TAF10 en െλ et en λ. c) Asymptote ObliquePropriété 7-1
Exemple 11
࢞െ est une asymptote oblique de la courbe ࢌ en െλ (puis en λ).Application 11
courbe ࢌ en λ (puis en െλ).16 M. ABDOU SALAM DIOP PROFESSEUR DE MATHEMATIQUES AU LYCEE DE KOKI - COURS TLE L- 2018-2019
Illustration graphique
Fig6 Fig7Remarque 2
Les courbes représentatives de deux fonctions ࢌ - ࢍ sont asymptotes l'une de l'autre en
േλ lorsqueܕܑܔ TAF112. En déduire une asymptote oblique à la courbe ࢌ en λ (puis en െλ).
2) Branche parabolique
Oblique en േλ.
17 M. ABDOU SALAM DIOP PROFESSEUR DE MATHEMATIQUES AU LYCEE DE KOKI - COURS TLE L- 2018-2019
Théorème 1
Propriété 7-2
Fig8Alors ܥ
une BrancheParabolique de
direction (OY) en േλAlors ܥ
une BrancheParabolique de
direction (OX) en േλAlors ܥ
une AsymptoteOblique la droite
en േλ ; אܾAlors ܥ
une BrancheParabolique la
en േλ Je calcule Je calcule18 M. ABDOU SALAM DIOP PROFESSEUR DE MATHEMATIQUES AU LYCEE DE KOKI - COURS TLE L- 2018-2019
Exemple 12
ସ௫ାଵ, déterminons ܦ puis étudions la branche infinie de ܥApplication 12
ସ௫ାଵ, déterminer ܦ puis étudier la branche infinie de ܥ19 M. ABDOU SALAM DIOP PROFESSEUR DE MATHEMATIQUES AU LYCEE DE KOKI - COURS TLE L- 2018-2019
TAF12 ௫ାଷ , déterminer ܦ puis étudier la branche infinie de ܥPropriété 7-3
Exemple 13
௫ାଷ , étudions la branche infinie de ܥApplication 13
ସ௫ାଵ , étudier la branche infinie de ܥ TAF13 ௫ାଷ , déterminer ܦ puis étudier les branches infinies de ܥ NB2III. CONTINUITE D'UNE FONCTION
1) Continuité en un point
Définition 1
Exemple 14
et est fini). On dit que ࢌ est continue en ࢇ lorsque :20 M. ABDOU SALAM DIOP PROFESSEUR DE MATHEMATIQUES AU LYCEE DE KOKI - COURS TLE L- 2018-2019
Application 14
TAF14 ௫ , étudier la continuité de ݂ en 1 puis en 0.Propriété 8
Remarque 3
Si ݂ et ݃ - continues en ܽ
o La fonction ݂݇ est continue en ܽ o La fonction ȁ݂ȁ est continue en ܽ o La fonction ݂݃ est continue en ܽ o La fonction ݂ൈ݃ est continue en ܽLa fonction ݂ est continue sur un intervalle ܫ signifie que ݂ est continue en tout point de ܫ
intervalle ܫ est appelé ensemble de continuité de ݂ ݁ݐ ܦؿܫ Si ݂ est continue sur ܫ et ݃ continue sur ܬ o La fonction ݂݃ est continue sur ܬתܫ o La fonction ݂ൈ݃ est continue sur ܬתܫ o La fonction Toute fonction polynôme est continue sur Թ.
Toute fonction rationnelle est continue sur son ensemble de définition.2) Illustration graphique de la continuité
Fig.9 fig.10 ࢌ est continue en ࢇ21 M. ABDOU SALAM DIOP PROFESSEUR DE MATHEMATIQUES AU LYCEE DE KOKI - COURS TLE L- 2018-2019
3) Prolongement par continuité
Propriété 9
Exemple 15
par continuité en 2 et donnons son prolongement par continuité.Application 15
continuité en -3 et donner son prolongement par continuité. TAF15 a) Déterminer ܦ b) Etudier la continuité de ݂ en -2 ;c) ݂ est-elle prolongeable par continuité en -2 ? Si oui, déterminer ce prolongement par continuité.
réel) prolongement par continuité de ݂ en ܽ FIN22 M. ABDOU SALAM DIOP PROFESSEUR DE MATHEMATIQUES AU LYCEE DE KOKI - COURS TLE L- 2018-2019
AUTRES EXEMPLES
Résumé des Définitions, Propriétés et Théorèmes NOTES23 M. ABDOU SALAM DIOP PROFESSEUR DE MATHEMATIQUES AU LYCEE DE KOKI - COURS TLE L- 2018-2019
AUTRES EXEMPLES
Résumé des Définitions, Propriétés et Théorèmes NOTES24 M. ABDOU SALAM DIOP PROFESSEUR DE MATHEMATIQUES AU LYCEE DE KOKI - COURS TLE L- 2018-2019
I. DERIVABILITE D'UNE FONCTION EN UN POINT
1) Mise en route
Fig.1Sur la Fig.1, le coefficient directeur de la droite (AM) ou le taudž d'accroissement de ݂ entre ܺ ݁ݐ ܽ
ି. Lorsque ܺ tend vers ܽ ି. Cette pente est aussi appelée݂ est dérivable en ܽ
Définition 1
Exemple 1
Application 1
Chapitre III
DERIVABILITE
Thème : Equations
Inéquations et système
T dérivable en ݔ si ܕܑܔ࢞ି࢞ est finie. Cette limite est appelée nombre dérivée de ࢌ en ࢞
25 M. ABDOU SALAM DIOP PROFESSEUR DE MATHEMATIQUES AU LYCEE DE KOKI - COURS TLE L- 2018-2019
TAF12) Dérivabilité à gauche et dérivabilité à droite
Définition 2
Propriété 1
Remarque 1
Exemple 2
de ݂ en 1.Application 2
௫ , étudier la dérivabilité de ݂ à gauche et à droite en -2 puis en déduire la dérivabilité
de ݂ en -2.Lorsque ܕܑܔ
࢞ି࢞ est finie, on dit que ࢌ est dérivable à gauche en ࢞ . le nombre
Lorsque ܕܑܔ
࢞ି࢞ est finie, on dit que ࢌ est dérivable à droite en ࢞ . le nombre
Une fonction ࢌ est dérivable en ࢞ les nombres dérivés à gauche et à droite sont égaux.26 M. ABDOU SALAM DIOP PROFESSEUR DE MATHEMATIQUES AU LYCEE DE KOKI - COURS TLE L- 2018-2019
TAF2 dérivabilité de ݂ en 0.3) Dérivabilité et continuité
Propriété 2
NB1 La réciproque de la Propriété 2 est fausse.II. INTERPRETATION GRAPHIQUE DE LA DERIVABILITE
1) Equation de la tangente en un point d'abscisse ࢞.
Propriété 3
Exemple 3
Fig.2Application 3
TAF3A(0 ; -3).
Si une fonction ࢌ est dérivable en un point ࢞ (respectivement sur un intervalle ࡵ)
continue en ࢞ (respectivement sur un intervalle ࡵ). Soit ࢌ une fonction définie en ࢞,27 M. ABDOU SALAM DIOP PROFESSEUR DE MATHEMATIQUES AU LYCEE DE KOKI - COURS TLE L- 2018-2019
2) Equations de demi-tangentes ă gauche et ă droite en un point d'abscisse donnĠe
Propriété 4
Remarque 1
Fig.3 TAF43) Equation d'une demi-tangente ǀerticale en un point d'abscisse donnĠe
Propriété 5
Exemple 4
Fig.4 Si ࢌ est dérivable à gauche en ࢞ Si ࢌ est dérivable à droite en ࢞Si ܕܑܔ
࢞ି࢞ൌേλ (respectivement ܕܑܔ en ݔ28 M. ABDOU SALAM DIOP PROFESSEUR DE MATHEMATIQUES AU LYCEE DE KOKI - COURS TLE L- 2018-2019
Application 4
TAF5III. FONCTION DERIVEE
Définition 3
Remarque 2
ࢌᇱ est dĠfinie. Il est toujours inclus dans l'ensemble de dĠfinition ࡰࢌ . Toute fonction polynôme est dérivable sur Թ et une fonction rationnelle sur son ensemble de définition.1) Dérivées de quelques fonctions de référence.
FONCTION ݂ FONCTION DERIVEE ݂ᇱ ܦ
Exemple 5
Calculons les fonctions dérivées des fonctions suivantes :Soit ࢌ une fonction dérivable sur un intervalle. On appelle dérivée de la fonction ࢌ, la fonction
29 M. ABDOU SALAM DIOP PROFESSEUR DE MATHEMATIQUES AU LYCEE DE KOKI - COURS TLE L- 2018-2019
Application 5
Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes : TAF6 Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes :2) Opérations sur les fonctions dérivées
Soient ࢛ et ࢜ deux fonctions dérivables sur un même intervalle ouvert ࡵ et un nombre réel, on
admet les résultats du tableau suivant :Exemple 6
Calculons les fonctions dérivées des fonctions suivantes :30 M. ABDOU SALAM DIOP PROFESSEUR DE MATHEMATIQUES AU LYCEE DE KOKI - COURS TLE L- 2018-2019
Application 6
Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes : TAF7 Calculer les fonctions dérivées des fonctions suivantes :3) Dérivée et sens de variation
Définition 4
Exemple 7
Déterminons le sens de variation des fonctions suivantes : Soit ࢌ une fonction dérivable sur un intervalle ࡵ :31 M. ABDOU SALAM DIOP PROFESSEUR DE MATHEMATIQUES AU LYCEE DE KOKI - COURS TLE L- 2018-2019
Application 7
Etudier le sens de variation des fonctions suivantes : TAF8 Etudier le sens de variation des fonctions suivantes :Théorème 1
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