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DEUXIEME THESE

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PERTE DE CHARGE DANS LES CONDUITES

A SECTION COMPLEXE

{ ETUDE BIBLIOGRAPHIQUE ) par

TRUONG-QUANG MINH

•·•• 1 ,, ; 1•

• f

1 :·1! ·.:

SOMMAIRE

page

1. II\JTR<)DUCTI t")N o o o •• o " •• o o ••••••••••••••• o o • Q • o o o •• o o • o o • o o o o l

2. VUE GENERALE DU PROBLEI'-IE ..... o • o •••• o •••• o •• o o • o • o • • • • • • • • 1

2.1. Rappel des résultats classiques en secti0n circulaire. 2

2.2. Cas d'une conduite à section non circulaire •••••o•o•• 3

2. 3. Méthodes utilisées o ••• ., •• o o • o o • Q • o o o • o ••••• , • o • o o o o • o 3

3 • EC OULEI1ENT LAMINAIRE o .•...•....... , .. o ... o .. o ...••..•.. o • • 5

3.1. Déterminatinn du champ des vitesses ······••oo••······ 5

3.2. Résultats . o o ••• o ••• o •• o ••• o. o o. o o. o o o o o Il. o. o •• o. o o... 9

3. 3. Cc.1nclusion . o • o •••• o ........ o •••••••• " •••• o ••• o • o o. o o o o ll

4 . EC l)ULEI\ffiNT TURBULENT . . o • • o • o • • o • o o • • a • o o • o • • • • • • :) • o o o o • o • 12

4.1. L'analyse de DEISSLER o••••oo•o•oo••o••o•••ooooo••o••• 12

4.2. La modification du diamètre hydraulique ......•..•.... 15

4.3. La corrélation de GUNNm DARLING..................... 17

4.4. Corrélations pour les cas spéciaux 0.................. 18

5. DISTRIBUTION DE t

0 LE LONG DE LA PAROI ·············••oo ... 20

5 .1. En é c oul emen t laminaire ..........•.........• o • o •• o • • • 20

5. 2. En éc"'ulement turbulent . • . . . . . . . . . . . • . . . . . . . . . . . . . . . • 20

6 • C 01\fCLUSI ClNS o • o o o o o • o o • o o o o o o o !J o • o • .:. o • o o o o o •• o • o •• o •••• o o o o 23

REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES

D\ffUS\ON \N1ÉRIEURt

N 0 M E N C L A T U R E

C Constante de la fnrmule de BLASIUS

d Distance entre les centres des cercles d'une excentrique

D Diamètre du tube à secti0n circulaire

Dh Diamètre hydraulique

e Excentricité (en section annulaire excentrique) f Coefficient de frottement G Ensemble des caractéristiques géométriquesde la section i Indice de sommation j Jeu (cas d'une section en grappe) k C0nstante, définie par k = f.Re

M Un point du périmètre mouillé

rn Crmstante n Axe normal à la paroi

N Constante

P Pression

Q Débit volumique

r 0 Rayon de courbure en un point M du périmètre mouillé

R Rayon du secteur circulaire

Re Nombre de REYNOLDS

S Section de de l'écoulement

u u* Vitesse moyenne locale parallèle à l'axe des z

Vitesse de frottement (u* = r=tE )

v p

Vitesse réduite (u+ = )

u* u v y y+ z

Vitesse moyenne dans la section

Distance d'un point à la paroi

Distance réduite (y+ =

1 1

Cote (axe de la conduite)

Lettres grecgues

Demi angle au sommet (section en triangle isocèle) Rapport des côtés d'une section rectangulaire

Viscosité dynamique du fluide

Viscosité cinématique du fluide (

p Masse volumique du fluide

T Tension tangentielle

v= L) p T 0 (M) : Tension tangentielle en un point M de la paroi lOm Tension tangentielle moyenne le l0ng du périmètre mouillé tf Foncti0n

0 Ensemble des propriétés physiques du fluide

X. Périmètre mouillé

V Opérateur LAPLACIEN

o A la paroi c Section circulaire n Section non circulaire r En éc0ulement laminaire t En écoulement turbulent

SJstèmes de dans d~_la section

Y x ) cnnrdnnnées rectangulaires e r l ) polaires l conrdonnées bipolaires

1. INTRODUCTION

L'utilisation des dans les conduites à section

non circulaire se trouve de plus en plus répandue dans c'est surtout le cas des échangeurs compacts de chaleur, ou des réac- teurs nucléaires où le est très divisé il est s0uvent nécessaire de pouvnir calculer la perte de charge des tels écoulements. Nous n0us limitons ici à l'étude de la perte de charge régulière ( crmdui te rectiligne et régime d'écoulement établi), dans les C'nditions suivantes : -les propriétés physiques du fluide (masse volumique et viscosité) sont constantes -les parois des cnndui tes S'"'nt lisses

2. VUE GENERALE DU PR

1 )BLEME Soient G l'ensemble des caractéristiques géométriques de la section droite du canal ç5 l'ensemble des propriétés physiques du fluide ( intervient ici par p et p. ) G et étant donnés, le problème est de calculer la perte de charge dP/dz en fonction du débit volumique Q du fluide. Le résultat se trouve à priori sous la forme dP dz = 'P(Q, G, 0) (1) Pour pouvoir généraliser l'application des résultats, il est nécessaire de les C{)rréler sous forme de paramètres adimensionnels. - 2 -

2.1. Rappel des résultats classiques en section circulaire

Pour une conduite à section circulaire, où G se réduit au diamètre D de la section, l'analyse dimensionnelle permet d'écrire (l) sous la f0rme : dP 2 p v 2 f (Re) (2) dz D avec ) V = Q/S ( Re = (3) D, Q, p, y étant dr,nnés, dP/dz est déterminé si l'0n cnnnait f. Plusieurs auteurs S•"'nt arrivés à corréler la foncti()n f(Re) avec une grande précision : en écoulement laminaire (Ro < 2000) f = 16 Re (loi de POISEUILLE) -en écoulement turbulent (Re ) 2000) f = 0,079 Re- 0'25 (expression de BLASIUS), ou _l_ = 4 log (Re {i) -O, 40 '{f . (expression de NIKURADSE) (4) ( 5) (6) Il s'avère que (6) corrèle la perte de pression avec une meilleure précision que (5) l0rsque le nombre de est assez grand (supérieur à 105 environ). -3 ..

2. 2. Cas d'une cr·ndui te à section non circulaire

Par analngie avec le cas précédent

9

0n écrit aussi dP/dz

sous la fr,rme ( 2) en ch(üsissant une 1.::-ngueur caractéristique Dh de la sectir:n ; Dh est défini comme égal à 4 S/?(. et appelé diamètre hydraulique. Dh sort en nutre à définir le nombre de

REYNOLDS:

Re = (7)

Cependant ici Dh n'est pas suffisant pour caractériser la géométrie de la section, comme il l'a été dans le cas d'une sec . tion circulaire. On sait drone a priori que f est non seulement une fonction de Re mais encore fonction de G, en t0ute rigueur.

L'expression de dP/dz s'écrit donc

dP = "s p v 2 f(Re G) dz Dh ' (8) Les corrélati0ns se présentent sous forme f de Re et paramétrée en G. Pour éviter un dnuble paramétrage on doit se limiter à uno catégorie de section, par exemple les sec tions en triangle isocèlo (où Dh et l'angle 2a au sommet suf fisent pour détorminer G), ou les en rectangle (où los facteurs de G sr:nt Dh et le rapp0rt des c/)tés du rectangle) ? ainsi, la fr.nction f c0rrélée sera paramétrée dans le promier cas, en 2a et dans le deuxième cas, en À •

2.3. Méthodes utilisées

L'expression de f tirée de (8) est

dP · f = dz P v2 (9) et G étant d0nnés, f se détermine par la connaissance de dP/dz - 4 - et de V. La méthode généralement utilisée est de chercher d'ab0rd le champ dos vitesses pour une valeur d0nnée de dP/dz. L'intégra tion de co champ donne ensuite la valeur de V.

2.3.1. En écoulement laminaire, lnrsque la géométrie est simple

(le cnntour de la section offre des expressions simples des aux fr0ntières), le champ des vitesses peut s'obtenir par intégration analytique des équations du mou vement du fluide (équations de NAVIER). Si la géométrie est complexe, les équations de NAVIER pou vont se résoudre numériquement. La résolution numérique de ces équations est considérablement facilitée par l'uti lisation des ·:>rdinateurs électrrmiques.

2.3.2. En écoulement turbulent, l'utilisation des équations de

NAVIER n'est· plus pnssible. On doit avnir recours à des méthodes graphiques pour déterminer la distribution des vitesses dans la section : à partir d'un profil universel dos vitesses u +(y+) (du genre du profil de Von KARJYlAliJ) qu'on suppose applicable le llin.g d'une ligne perpendicu laire à la paroi, on trace le réseau dos lignes isovitesse, l'intégration graphique du réseau ainsi obtenu d0nne la vitesse moyenne V. Les méthodes graphiques utilisées dans le cas des écoule monts turbulents ne sont évidemment pas aussi précises que los solutions analytiques ou numériques dans le cas des écoulements laminaires. Aussi, d'autres auteurs cherchent-ils à cc,rréler la perte de charge en écoulement turbulent à partir des résultats nbtenus en écoulement laminaire avec la même géométrie. L'étude du champ des vitesses dans la section présente un grand intérêt non seulement pour la détermination du Cê!ef ficient de frottement, mais encore pour le calcul de la - 5 - dis tri butüm de "ID le 1 _...ng des nar"'.is. Dans ce qui suit, l'étude bibliographique sera développée dans l'0rdre des idées qui viennent d'âtre présentées.

3. ECOULEMENT LA1HHAIRE

3.1. Détermination du champ des vitesses

Les équations de NAVIER qui régissent l' d'un fluide visqueux se réduisent dans notre cas à dP ---= +p'Vu dz (10)

3.1.1. Solutions analytiques

a ) .ê. l!l_~i_r e cent ri gu <ê_ Dans ce cas relativement simple, où les cr-ndi tions aux limites peuvent s'exprimer analytiquement 9

HEYDA [16] est

arrivé à rés0udre l'équation de NAVIER : -L'équatinn (10) est associée des conditions aux limites : u = 0 sur le c0ntour de la section (C 1) et (c 2) (Fig. 1).

Une solution de ( 10) avec u = 0 sur ( c

1) mais u 1= 0 sur (c 2) est

1 dP 2 2

u 1 = + ·-----(r - a )

4 p. dz

1 Il suffit de cherche une autre fr.,nction u2 telle quo { u2 = 0 sur ( c 1) u2 = -u1 sur (C 2) ( Vu 2 = 0 et la s0lution finale de (10) sera (11) (12) (13) - 6 - Avec les co0rdonnées bipolaires , (Fig. 2) définies par

11 = ,€ n rl

r2 (10) donne, après transformations : ul = + 2._ dP (r2 + c2) [1 -coth '1 1 th l'\ J 4Y dz + . ...L dP 2 2 ch!J_) (l c ( --cothq 1 dz chq + cosi; thf) ) (14) Quand à u2, elle est, d'après (12) une fonction et elle vérifie de LAPLACE. La résolution de cette combinée avec les conditions aux limites (12) donne l'expression : (15) Les calculs, longs et sont donnés dans la réfé rence [16]. Remplaçant (14) et (15) dans (13), on obtient : b) S<2_2.tiog__ê..n _tFig. 3) :

L'analyse est de ECKERT et IRVINE [9]. de NAVIER

s'écrit : o2 u b 2 u 1 dP

Ox2 Oy2 t·t.-dz

(17) - 7 - les conditions aux limites s0nt 0 (u 0 pour y xtga ( 0 < x< s) lu pour x s (y< stga) Si on néglige la dernière c0nditinn (le triangle ost al0rs supposé non formé à sa base), l'intégrati0n de (17) donne une expression l dP u = - 2H dz 1 simple de u : (l -tg2a) (18) Une meilleure précision est 0btenue en fermant l'angle avec un arc de cercle (écoulement dans un secteur circulaire) La forme de la secti0n implique alors l'utilisatinn des coordonnées polaires (Fig. 4) et l'expression de u est plus compliquée que précédemment, on obtient : (19)

Si on écrit (19) s0us une aQtre forme

on voit que le terme enI tient compte de l'effet de la paroi circulaire. SPARROW [21] applique la même théorie, mais en considérant le cas réel (triangle au lieu de secteur circulaire), et

0btient l'expression de u sous une forme plus générale

.-· ....q )2i-t)n

U==-' JP (;)$:?. e)-' c.Ir, {~i..f)ne J

4 d;z;. CJJS 2cx ;C-; t. \s 2a:

(2n) - 8 - où les cr,nstantes ci se 'déterminent à partir de la cr·ndi ti(lll aux limites : u = 0 sur les points de la base du triangle.

3.1.2. Solution numérique

Lorsque le contour de la section ne permet pas d'exprimer les cr·ndi tions aux limites sous des formes simples 9 il n'est plus pr'ssi ble de résoudre analytiquement 1' équation de NAVIER. On utilise alors des méthodes numériques. Selon la f0rme de la section, on choisit un système de coordonnées Les deux systèmes les plus souvent utilisés sont les coordonnées polaires par exem ple aux grappes dans un tube [19] ou au secteur circulaire [9]) et les coordonnées rectangulaires (convenant aux for mes plus complexes).

L'équation (10) s'écrit

-en coordonnées polaires 1 dP = 0 (21) p. dz en coordonnées rectangulaires 2 u + u _ .1:_ .dP _ O ox 2 oy 2 t" dz - (22) Un maillage étant tracé sur la sectirm, les équatiPns (21) et (22) sont ensuite transf0rmées en équations aux différences finies. La méthode de relaxation est générale ment utilisée pour résoudre ces équations. Le problème a été ainsi traité par MARTINET [19] pour une grappe (canal à section circulaire contenant six barres en hexagr·:ne régulier autour d 1 une barre centrale), et par GUNN et DARLING [14] pour les sections données à la figure 5.

3.2. Résultats

La vitesse moyenne est d0nnée par

V= 1 i udS s s - 9 - Pour chaque valeur de dP/dz, lo champ des vitesses ayant été nbtenu, l'intégrati0n numérique donne la valeur de V, f et Re peuvent ainsi être calculés à partir de (9) et de (7). Les résultats classiques en cas d'une sectinn circulaire donnent f = 16 Re f.Re = 16

D'une façon analngue

9 pnur les sections n0n circulaires, on pr·se

LRe = k (23)

On a trouvé que pour une géométrie donnée de la section, k est une constante. Ce résultat peut être prévu : en effet, (8) et (23) donnent : dP dz _.l. pV2 k Dh Re

Dh pVDh

= 2kM v D 2 h (24) On peut voir d'autre part que si u et dP/dz vérifient l'équation de NAVIER, a.u et a dP (a étant une constante quel- ) 1 '

· f · t · lT dzt d t · 1 ' dP t

cnnque a ver1 1en auss1. v es one prop0r 10nne a dz e (24) permet de conclure que k est une constante. -10 - La méthnde numérique a été appliquée par GUNN et DARLING [14]. Les résultats p0ur les quatre sections étudiées les valeurs suivantes de k: 4 Ils ont d'autre part vérifié ces résultats numériques par les mesures de Q et de dP/dz. La figure 6 montre que la théorie est en bon accord avec l'expérience. Le cas d'un triangle isocèle a été traité théoriquement par SPARROW [21], ECKERT et IRVINE [9] ; des mesures de la perte de charge ont été effectuées par CARLSON et IRVIWE [2]. Une com parais0n de l'analyse de SPARROW et de celle de ECKERT avec les résultats expérimentaux de CARLSON et IRVINE (Fig. 7) montre que l'analyse de SPARROW s'accorde bien avec les mesures (l'·"rdre de grandeur de l'écart : l %). L'analyse de ECKERT et IRVINE (sec teur circulaire) est bonne pour les faibles valeurs de a seule ment, ce qui est normal, car si a est petit, l'arc de cercle fer mant l'angle se rapproche de la base du triangle. Les valeurs de k font ressortir l'effet de la forme géomé trique de la section, et montrent que le diamètre hydraulique seul ne suffit pas pour caractériser la géométrie de la section. L'étu de de COURTAUD, RICQUE et MARTINET [3] a mis ce fait en évidence ces auteurs utilisent Lm canal cylindrique à section circulaire de diamètre 100 mm six barres de diam3tre 25 mm dispo sées en hexagone régulier autour d'une barre centrale. Los pDsi tions de çes six barres peuvent 8tre modifiées. On a pu ainsiquotesdbs_dbs13.pdfusesText_19

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