Configurations du plan en seconde - parallélogrammes
16 janv. 2010 Le parallélogramme en seconde. Page 1/7. Faire des mathématiques … avec GéoPlan. Configurations du plan en seconde.
Interrogation de 10 minutes
3) Quel rôle joue le point N pour le triangle ABC ? D.M. n°1 : Configurations du plan CORRIGÉ. 2nde 4. Exercice 1. 1) Dans le triangle OAB les
VECTEURS ET REPÉRAGE
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. VECTEURS ET REPÉRAGE. Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/9OB3hct6gak. I. Repère du plan.
Corrigé du sujet de Mathématiques et propositions pour une correction
de ce plan qui passent par le point B ; en particulier on a : Ces deux dernières aires sont égales (triangles isométriques car BC=AD ; AM=BN et DM =.
[Seconde STHR] - Activités mathématiques dans le contexte de l
La formation en mathématiques dans la série STHR est conçue pour favoriser la poursuite d'études optimisation ; configuration du plan et de l'espace).
Seconde Devoir n° 17 (Dm) Donné le : 28/03/2006 Pour le : 04/04
4 avr. 2006 Configurations du plan. Soit N le symétrique du point P par rapport à A. a. Justifier que le triangle MNP est rectangle en M.
Corrigé du sujet de Mathématiques et propositions pour une correction
PREMIERE EPREUVE (8 POINTS). MAITRISE DE CONNAISSANCES MATHEMATIQUES. EXERCICE 1. 1- Calcul de la distance AC. Le triangle ABC étant rectangle en B on calcule
Exercices de mathématiques pour la classe terminale - 2e partie
La seconde partie propose des exercices nouveaux déclinés en deux versions le tableau ci-dessous quatre configurations géométriques créées dans le plan.
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LES MATHÉMATIQUES DE. L'ENSEIGNEMENT SCIENTIFIQUE. LES CRISTAUX. Mots-clés. Sphère ; cube ; maille ; réseau ; volume ; cristaux. Références au programme.
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Démontrer que (ABC) est un repère orthonormé 2 Déterminer les coordonnées de A B et C dans le repère (ABC) 3 Déterminer les coordonnées du milieu I
Cours et exercices - Niveau SECONDE - maths et tiques
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C'est quoi un repère du plan ?
Un repère dans le plan est un ensemble de trois points O , I O, I O,Iet J non alignés. On note ( O , I , J ) (O,I,J) (O,I,J) ce repère.Comment justifier un repère du plan ?
Repérage dans le plan
1Pour définir un repère d'un plan, il suffit de fournir trois points non alignés , et . 2Si les droites et sont perpendiculaires, le repère ( O ; I , J ) est dit orthogonal.3Si le repère ( O ; I , J ) est orthogonal et que O I = O J alors le repère est dit orthonormé.Quel est le programme de maths de seconde ?
Le programme s'organise en cinq grandes parties : « Nombres et calculs », « Géométrie », « Fonctions », « Statistiques et probabilités » et « Algorithmique et programmation ».- Développer, c'est transformer une multiplication en une somme ou en une différence. La multiplication est distributive sur l'addition. Cela signifie que, pour tous nombres k, a et b, on a : k(a + b) = ka + kb. De même, la multiplication est distributive sur la soustraction : k(a ? b) = ka ? kb.
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Configurations du plan en seconde
Parallélogrammes Rectangles
Exercices avec GéoPlan : parallélogrammes, problèmes d'alignement.Sommaire
Théorème de Varignon
1. Thalès et parallélogramme
2. Projections orthogonales
3. D'un parallélogramme à l'autre
4. Translation et alignement
5. Trisection d'un angle droit !
6. La bille
7. Parallélogramme et bissectrice
8. Parallélogramme inscrit
9. Calculs d'aire dans un rectangle
: http://debart.pagesperso-orange.fr/index.html Document Word : http://www.debart.fr/doc/parallelogramme_seconde.doc Document PDF : http://www.debart.fr/pdf/parallelogramme_seconde.pdf Page HTML : http://debart.pagesperso-orange.fr/geoplan/parallelogramme_classique.html Document n° 64, réalisé le 22/2/2004, mis à jour le 16/1/2010Le parallélogramme en seconde Page 2/7 F
Théorème de Varignon
Un quadrilatère étant donné, si l'on joint les milieux des côtés consécutifs, on obtient un parallélogramme. Ce résultat est valable quel que soit le quadrilatère convexe, concave ou croisé. Il peut être démontré dès la classe de quatrième grâce au théorème des milieux des côtés d'un triangle. En corollaire les médianes d'un quadrilatère ont même milieu (étant les diagonales du parallélogramme), le périmètre du parallélogramme de Varignon est égal à la somme des longueurs des diagonales du quadrilatère, l'aire du quadrilatère, non croisé, est le double de celle du parallélogramme de Varignon.Si ABCD est par exemple un quadrilatère non croisé, appliquer le théorème de Varignon aux
quadrilatères (croisés) ABDC et ACBD permet d'obtenir deux autres parallélogrammes. Pour un quadrilatère, les milieux et des côtés, les milieux des deux côtés opposés et des diagonales forment des parallélogrammes. Ces trois parallélogrammes ont même milieu : le centre de gravité G du quadrilatère. Les droites qui joignent les milieux des côtés et les milieux des diagonales se coupent en G qui est leur milieu. Pierre Varignon (1654-1722), ami de Jean Bernouilli est surtout connu pour avoir assis en France les idéesde Leibniz sur l'analyse (reprises par De L'Hospital) face à l'opposition de Rolle et aux travaux de
Newton.
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1. Thalès et parallélogramme
ABCD est un parallélogramme.
M est un point sur la droite (DC) tel que :
DM = x DCM' est le point de la droite (BC) tel que :
'BM x 1 BC Montrer que les points A, M et M' sont alignés.2. Projections orthogonales
ABCD est un parallélogramme.
I, J, K, L sont les projections orthogonales
des sommets sur les diagonales.Montrer que IJKL est un parallélogramme.
3. D'un parallélogramme à l'autre
Les points P, Q, R et S sont les points
d'intersection des droites perpendiculaires aux diagonales issues des sommets.Montrer que PQRS est un parallélogramme.
Lorsque ABCD est un rectangle, montrer que
PQRS est alors un losange.
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4. Translation et alignement
ABCD est un rectangle. M un point du plan.
C' est le projeté orthogonal de C sur (AM),
D' est le projeté orthogonal de D sur (BM),
M' est le projeté orthogonal de M sur (AB).
(BB') et (CC') se coupent en I. Montrer que les points M, M' et I sont alignés.Indications :
Dans la translation de vecteur
CB la droite (MM') est globalement invariante, (CC') a pour image la hauteur issue de B du triangle MAB, (DD') a pour image la hauteur issue de A du triangle MAB. Ces trois hauteurs sont concourantes en H, orthocentre de MAB. L'image réciproque du point H est I, point de concours des trois droites (CC'), (DD') et (MM').Les points M,
5. Trisection d'un angle droit !
E et F partagent un segment [AB], de longueur 3, en trois unités. Le point O complète le triangle équilatéral EFO. C et D sont les deux autres sommets du rectangle ABCD de centre O. Montrer que les droites (CA) et (CF) sont les trisectrices de l'angle DCB.AB = BC = 3 et BC = AD =
3Calculer tan(DCA) et tan(FCB).
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6. La bille
Calculer l'aire de la surface hachurée.
AB = 2, BC = 1.
Le cercle a pour rayon r =
2 - 1.L'aire de la surface hachurée est (3 - 2
2 ) + 1.7. Parallélogramme et bissectrice
Résoudre par une méthode géométrique, dans R, l'équation 412xx= 0.
AMEC est un parallélogramme. Une droite (d)
passant par A coupe les segments [MC] et [CE] respectivement en I et B, et intercepte la droite (ME) en J.Sachant que AI = 2 et IB =1, calculer la
longueur BJ. Comme (AM) est parallèle à (BC), les triangles IAM et IBC sont semblables et de rapport de similitude 2 1 . Donc BC = 2 AM 2 CE et B est le milieu de [EC].Dans le triangle JAM, EB = AM/2, la droite (BE) parallèle à (AM) est la droite des milieux : B est le
milieu de [AJ] et E le milieu de [MJ]. On admettra que les droites (MJ) et (MC) sont perpendiculaires.Si F est le milieu de [MA], (BF), joignant les milieux des côtés du parallélogramme AMEC, est
parallèle à (ME) ; donc perpendiculaire à (MC).(MC) diagonale du parallélogramme est une médiane du triangle MBF, elle est aussi une médiatrice,
d'où MBF admettant (MC) comme axe de symétrie est un triangle isocèle et MB = MF = 2 MA Comme MA = 2 MB, M est sur (c), cercle d'Apollonius de diamètre [IJ], ensemble des points M tels que MB MA . Si M est distinct de I et J, les droites (MI) et (MJ) sont les bissectrices intérieure et extérieure de l'angle AMB.Sur la droite (d) choisissons le repère (O, B) d'origine O milieu de [IJ]. On a alors les abscisses B(1)
et A(4). Un point M de la droite d'abscisse x est tel que MB = 1x et MA = 4xLe parallélogramme en seconde Page 6/7 F
L'intersection du cercle (c) et de la droite (d) est l'ensemble des points de la droite vérifiant 2MB MA C'est l'ensemble des points {I, J} dont les abscisses vérifient l'équation 412xx= 0, soit x = 2 ou x = -2. D'où les points d'abscisses I(2) et J(-2).
8. Parallélogramme inscrit
Étant donné deux points A et B et deux droites (d1) et (d2) sécantes tracer un parallélogramme
ABCD tel que C appartienne à (d1) et D appartienne à (d2).Indications
La translation de vecteur
BA transforme la droite (d1) en (d'). (d2) et (d') se coupe en D.La translation de vecteur
AB transforme D en C.Le parallélogramme ABCD est solution.
9. Calculs d'aire dans un rectangle
ABCD est un rectangle de centre O.
Sur [AB] et [CD] placer deux points M et N,
tels que AM = CN.Les deux triangles verts ont la même aire.
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L'aire du parallélogramme rouge est égale à celle des deux triangles.Indications pour la solution
C est l'image de A dans la symétrie de centre O. : les points M et N sont symétriques par rapport à O. Par la symétrie de centre O, la droite (AN) a pour image (CM), (DM) a pour image (BN). Les points d'intersection I et J sont donc symétriques par rapport à O et MINJ est un parallélogramme. Le triangle CBI est symétrique du triangle ADJ, ils ont même aire.La translation de vecteur
AB même aire. d'aire égale à celle des deux triangles. Par symétries ou translation, les triangles en jaune sont d'aires égales. LesADJ et DBI.
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