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Corrigé terminale S
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Congruences - Arithmétique Spé Maths terminale S : Exercices
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CONGRUENCES DANS Z – Exercices corrigés
Exercice 1 : Trouver le reste de la division euclidienne de 1952 par 7. Cela revient à chercher la classe de congruence de 1952 modulo 7.
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Les corrigés des exercices seront à retrouver sur le Padlet Terminales Maths expertes https://padlet com/mathsentete Divisibilité Exercice 1 :
![[PDF] CONGRUENCES DANS Z – Exercices corrigés - ACCESMAD](https://pdfprof.com/Listes/17/43725-17congruencesexocorr.pdf.pdf.jpg "[PDF] CONGRUENCES DANS Z – Exercices corrigés - ACCESMAD")
http://www.accesmad.org Date de version : septembre 2017 Auteur : Ivo Siansa 1/2 CONGRUENCES DANS Z ± Exercices corrigés
Exercice 1 : Trouver le reste de la division euclidienne de 1952 par 7. Cela revient à chercher la classe de congruence de 1952 modulo 7. - Nous avons : 19 { 5 (7), ce qui implique 1952 { 552 (7). - Cherchons le reste des puissances de 5 dans la division par 7 :51 { 5 (7) 52 { 4 (7) 53 { 6 (7) 54 { 2 (7) 55 { 3 (7) 56 { 1 (7).
Alors, pour tout entier n :
56n { 16n{ 1(7), 56n+1{ 5(7), 56n+2 { 4 (7), 56n+3 { 6 (7), 56n+4 { 2 (7), 56n+5 { 3 (7).
- La division de 52 par 6 donne 52 = 8 . 6 + 4 c'est-à-dire 52 { 4 (6). Donc 1952 { 552 { 54{ 2 (7). Le reste de la division de 1952 par 7 est 2.Exercice 2 :
1. Déterminer les restes de la division de 5p par 13 pour p entier naturel.
2. En déduire que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, le nombre
N = 314n+1 + 184Qí1 est divisible par 13.
1. p = 0 : 1, p = 1 : 5, p = 2 í1 RX 12 S = 3 íD RX 8 S = 4 : 1 donc
pour p = 4k le reste est 1, pour p = 4k +1 le reste est 5, pour p = 4k +2 OH UHVPH HVP 12 RX í1 pour p = 4k +3 OH UHVPH HVP 8 RX íDB 2.1n41n41831NĄ
)(135513231{u et )(135513118{u on a doncL@L@)()()(130138513851831N1n41n41n41n4{{{
Exercice 2 :
Résoudre dans Z l'équation x2 - 3x + 4 { 0 (7) Le tableau ci-après donne le reste de la division par 7 de x, x2 et 3x. x 0 1 2 3 4 5 6 x2 0 1 4 2 2 4 13x 0 3 6 2 5 1 4
x2 - 3x + 4 4 2 2 4 1 0 1La solution est x = 7k + 5.
Exercice 3 :
Méthode : - Ecrire la division euclidienne de a par b en tenant compte des différentes valeurs que peut prendre le reste. - Exprimer a en mettant en facteur b.Exercice 4 : Résoudre dans Z, 3x { 1 (5).
Dressons la table des multiples de 3 dans Z / 5Z.
http://www.accesmad.org Date de version : septembre 2017 Auteur : Ivo Siansa 2/2 x 0 1 2 3 43x 0 3 1 4 2
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