Un memento sur les coniques
Lorsque 0 <e< 1 on dit que C est une ellipse lorsque e = 1 une parabole
1 Équations cartésiennes des coniques
Table des matières. 1.1 Rappels de géométrie analytique. 1. 1.2 Introduction aux coniques. 5. 1.3 L'ellipse. 6. 1.4 La parabole. 19. 1.5 L'hyperbole.
LES CONIQUES
F1 et F2 se nomment les foyers de l'ellipse. S et S' sont ses sommets
Sylvain Lacroix 2005-2006 - 1 - Quatrième conique : Lhyperbole
Quatrième conique : L'hyperbole. Les caractéristiques de l'hyperbole de centre (00). Définition : L'hyperbole est le lieu d'un point dont la valeur absolue
LES CONIQUES
Pour trouver ces asymptotes nous allons étudier les fonctions associées aux hyperboles. 3.3. Fonctions associées à une hyperbole. En mettant l'équation d'une
CONIQUES
Suivant la direction du plan de coupe on obtient (en rouge) différente courbe : L'ellipse
Chapitre 8 :M ouvement dans un champ newtonien
branche de l'hyperbole (image et objet virtuels à cause respectivement de la direction du péricentre p est un paramètre de la conique). 1) Ellipse.
Chapitre7 : Coniques
I. ELLIPSES HYPERBOLES
ÉQUATIONS POLAIRE DES CONIQUES
1) Une équation polaire qui a une des quatre formes suivantes est une section conique. (parabole ellipse
HYPERBOLE
Pour une introduction unifiée des coniques (ellipse parabole et hyperbole) par foyer et directrice et une étude plus approfondie de leurs propriétés
[PDF] Chapitre7 : Coniques - Melusine
Chapitre7 : Coniques ? désigne ici un plan affine euclidien de dimension 2 I Ellipses hyperboles paraboles A) Ellipse C'est une courbe admettant
[PDF] Les coniques - Lycée dAdultes
19 sept 2021 · Les coniques doivent leur nom à la section d'un cône par un plan Les grecs leur avaient donné comme nom : ellipse hyperbole parabole
[PDF] HYPERBOLE - Toutes les Maths
Pour une introduction unifiée des coniques (ellipse parabole et hyperbole) par foyer et directrice et une étude plus approfondie de leurs propriétés
[PDF] Coniques
12 déc 2011 · Si e < 1 la conique est appelée ellipse si e = 1 parabole et si e > 1 hyperbole Proposition 1 La perpendiculaire ? à la directrice D menée
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On dira que l'on a une hyperbole de centre O de sommets )0( bB et )0('b B ? II - Sections planes d'un cône de révolution Historiquement les coniques
[PDF] Un memento sur les coniques
Lorsque 0 1 une hyperbole Soit K la projection de F sur D On écrit l'équation de C
[PDF] II Les coniques a) Parabole b) Ellipse c) Cercle d) Hyperbole
9 oct 2015 · La parabole est le lieu géométrique formé par les points à égale distance d'un point fixe appelé Foyer et d'une droite appelée directrice
[PDF] L - CONIQUES
conique Il résulte des définitions des ellipses et hyperboles qu'elles ont deux axes de symétrie : l'axe focal FF? et la médiatrice de FF?
[PDF] Coniques - ENS Rennes
e = 1 et e > 1) on dit que la conique Ce est une ellipse (resp parabole et hyperbole) Remarque 1 2 — Ainsi une parabole est une sorte de médiatrice entre un
[PDF] Les coniques
TH´EOR`EME 3 Une hyperbole de foyers F1 = (?c 0) et F2 = (0 c) a une équation de la forme x2 a2 ? y2 b2 = 1 avec ab>0 Les nombres a et b sont tels que
Comment calculer conique ?
La conique C a pour équation cartésienne x2 + y2 = e2(x ? h)2 et pour équation polaire, au choix, l'une des deux suivantes : ? = eh ecos? + 1 ou ? = eh ecos? ? 1 . Démonstration. Soit M = (x, y) un point du plan.Comment construire une conique ?
On peut construire une conique ? comme le lieu des points situés à égale distance d'un foyer F et d'un cercle centré en F' et de rayon R. Si F est à l'intérieur du cercle (FF' < R) on obtient une ellipse, sinon une hyperbole. En effet soit M un point de ? et N l'intersection du cercle avec le rayon [F' M).Comment trouver la formule d'une hyperbole ?
Hyperbole équilatère
Le produit des pentes des asymptotes doit être égal à ? 1 ce qui implique que a = b et e = c / a = 2½. Par rotation de ? / 4 de cette hyperbole, on obtient une hyperbole d'équation Y = a² / 2. X. Pour a = 2½, on obtient la fonction inverse Y = 1 / X.- En mathématiques, une hyperbole est une courbe plane obtenue comme la double intersection d'un double cône de révolution avec un plan. Elle peut également être définie comme conique d'excentricité supérieure à 1, ou comme ensemble des points dont la différence des distances à deux points fixes est constante.
1 LES CONIQUES
Qu"est-ce qu"une conique ?
Une conique est une courbe plane que l"on peut tracer sur un cône de révolution à deux nappes. Suivant la
position qu"il occupe par rapport à un cône, un plan qui coupe ce dernier déterminera une intersection qui sera :
▪ un cercle : le plan est perpendiculaire à l"axe ;▪ une ellipse : le plan est incliné sur l"axe, mais il ne coupe qu"une seule des deux nappes ;
▪ une hyperbole : le plan est incliné ou parallèle à l"axe et coupe les deux nappes ; ▪ une parabole : le plan est parallèle à un plan tangent au cône. Les définitions précédentes sont les définitions " historiques » des coniques. Elles avaient été données par les géomètres grecs. Il existe cependant d"autres définitions, plus aisées à utiliser dans certains problèmes de mathématiques.Remarque
Si le plan contient l"axe et coupe les deux nappes selon une génératrice, l"intersection sera un couple de droites. Si le plan coupe les deux nappes à leur point commun, l"intersection sera ce point. Ces deux cas limites font encore partie des coniques. 2Définitions comme ensembles de points
Les définitions suivantes font intervenir un plan P et des points ou une droite contenus dans P.Ellipse
Étant donnés deux points fixes F
1 et F2, on ap-
pelle ellipse l"ensemble des points du plan dont la somme des distances à F1 et F2 est constante.
M1F1 + M1F2 = M2F1 + M2F2 = Constante = 2a
F1 et F2 se nomment les foyers de l"ellipse,
S et S" sont ses sommets, O est son centre.
Hyperbole
Étant donnés deux points fixes F et F", on appel- le hyperbole l"ensemble des points du plan dont la dif- férence des distances à F et F" est constante. |MF - MF"| = Constante = 2aSS" = 2a
F et F" se nomment les foyers de l"hyperbole,
a est son demi-grand axe,S et S" sont ses sommets,
O est son centre.
Parabole
Étant donnés un point F et une droite D, on ap- pelle parabole l"ensemble des points du plan dont les distances au point F et à D sont égales.MF = MH
F se nomme le foyer de la parabole,
O est son sommet,
D est sa directrice,
H est la projection orthogonale de M sur D.
3Cercle
Étant donné un point O contenu dans un plan, on appelle cercle l"ensemble des points du plan dont la distance à O est constante.MO = NO = Constante
la constante est le rayon du cercle,O est son centre.
Le cercle apparaît comme un cas particulier de l"ellipse : celui où les deux points F1 et F2 sont confondus.
Définitions analytiques
Si l"on rapporte le plan à un repère orthonormal bien choisi, les définitions précédentes peuvent être traduites
par des équations cartésiennes. Ce sont ces définitions qui se prêtent le mieux à des calculs.
Cercle
Étant donnée une distance R, un cercle est
l"ensemble des points M(x ; y) du plan vérifiant :222Ryx=+
R est le rayon du cercle.
Ellipse
Étant donnés deux réels strictement posi- tifs a et b, une ellipse est l"ensemble des points M(x ; y) du plan vérifiant : 12222=+b
y a x a et b sont respectivement le demi-grand axe et le demi-petit axe de l"ellipse. 4
Hyperbole
Étant donnés deux réels strictement posi- tifs a et b, une hyperbole est l"ensemble des pointsM(x ; y) du plan vérifiant :
12222=-b
y a x a porte le nom de demi-grand axe ; sur le graphique ci-contre, les droites en bleu sont les asymptotes de l"hyperbole.
Parabole
Étant donné un réel strictement positif p, une parabole est l"ensemble des points M(x ; y) du plan vérifiant :022=-pxy
F est le foyer,
p porte le nom de paramètre de la parabole.Remarque
L"équation à deux variables x et y, 022222=+++++feydxcxybyax, est l"équation la plus générale
du second degré ; c"est celle d"une conique.Excentricité et astronomie
Définition L"excentricité e d"une conique est définie par a ce=, avec c défini par 222bac-= et 0>c.Comètes et coniques
On démontre que :
▪ Si e = 0, la conique est un cercle, ▪ Si e = 1, la conique est une parabole, ▪ Si 0 < e < 1, la conique est une ellipse, ▪ Si e > 1, la conique est une hyperbole. 5L"excentricité d"une conique est un élément important en astronomie. Par exemple, pour toute nouvelle
comète, on détermine une orbite approximative en prenant e = 1 (on fait l"hypothèse que cet astre circule sur une
parabole). Puis, lorsque le nombre d"observations est suffisant, on détermine la vraie valeur de e. D"après ce qui
précède on aura :▪ Si 0 < e < 1, la comète circule sur une orbite elliptique. Elle appartient (tout comme les planètes que
nous voyons dans le ciel), au Système solaire et est périodique.▪ Si e > 1, la comète circule sur une hyperbole. Il s"agit donc soit d"une comète venant de l"extérieur du
Système solaire, soit d"une comète appartenant au Système solaire, mais déviée par une grosse planète
(essentiellement Jupiter) auprès de laquelle elle est passée. Dans ce dernier cas, cette comète sortira du
Système solaire.
Orbites de quatre comètes périodiques (vues en projection sur l"écliptique) : Halley, Hyakutake, Tempel1, et Wild2.
Parabole et miroirs de télescopes
Il est établi qu"un miroir parabolique permet d"éviter le défaut d"aberration chromatique rencontré
avec les lunettes : avec un miroir parabolique, tous les rayons lumineux convergent vers le foyer du mi-
roir, ce qui n"est pas le cas lorsqu"ils traversent une lentille.quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35[PDF] conique parabole
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