[PDF] Coniques Exercice 13 ***. Equation cartésienne

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Exercices de Jean-Louis Rouget. Retrouver aussi cette fiche sur???? * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

Exercice 1*ITLe plan est rapporté à un repère orthonorméR= (0;!i;!j). Eléménts caractéristiques de la conique dont une

équation cartésienne dansRest

1. y2=x,

2.y2=x,

3.y=x2,

4.y=x2.

1. x225 +y29 =1, 2. x29 +y225 =1,

3.x2+2y2=1.

1. x216 y29 =1,

2.x216

+y29 =1,

3.x2y2=1.

H???Exercice 2*ITLe plan est rapporté à un repère orthonorméR=

0;!i;!j

. Eléménts caractéristiques de la courbe dont une

équation dansRest

1. y=x2+x+1,

2.y2+y2x=0,

3.y=p2x+3.

1. x2+x+2y2+y=0,

2.y=2px2+x.

•x2y2+x+y+1=0.

H???Exercice 3**ITLe plan est rapporté à un repère orthonorméR= (0;!i;!j). Nature et éléments caractéristiques de la courbe

dont une équation en repère orthonormé est

1.y=1x

1

2.41 x224xy+34y2106x+92y+74=0,

3.x2+2xy+y2+3x2y+1=0,

4.(xy+1)2+(x+y1)2=0,

5.x2+y23xy+3=0,

6.x(x1)+(y2)(y3) =0,

7.(x+y+1)(xy+3) =3,

8.(2x+y1)23(x+y) =0.

H???Exercice 4*ITEtudier les courbes dont une équation polaire (en repère orthonormé direct) est

1.r=11+2cosq,

2.r=11+cosq,

3.r=12+cosq,

4.r=11sinq,

5.r=12cosq.

H???Exercice 5***Déterminer l"image du cercle trigonométrique par la fonctionf:C!C

z7!11+z+z2.

H???Exercice 6**Déterminer l"orthoptique d"une parabole , c"est-à-dire l"ensemble des points du plan par lesquels il passe deux

tangentes à la parabole, perpendiculaires l"une à l"autre.

H???Exercice 7***1.DroitedeSIMSON. Soit(A;B;C)untriangleetMunpointduplan. Montrerquelesprojetésorthogonaux

P,QetRdeMsur les cotés(BC),(CA)et(AB)du triangle(ABC)sont alignés si et seulement siMest

sur le cercle circonscrit à(ABC). La droite passant parP,QetRs"appelle la droite de SIMSONdu point

Mrelativement au triangleABC(ou au cercle(ABC)).

2.Parabole tangente aux trois côtés d"un triangle.Lieu des foyers des paraboles tangentes à trois droites

deux à deux non parallèles. En particulier, fournir la construction des points de contacts.

H???Exercice 8**(C)est le cercle de diamètre[A;B].(D)est la tangente enAà(C).Pest un point variable sur(C)et(T)

la tangente enPà(C).(T)recoupe(D)enS. La perpendiculaire à(AB)passant parPcoupe(BS)enM.

Ensemble des pointsM?

2

H???Exercice 9***Soit, dansR3rapporté à un repère orthonormé(O;!i;!j;!k), la courbe(G)d"équationsy=x2+x+1

x+y+z=1. Montrer que(G)est une parabole dont on déterminera le sommet, l"axe, le foyer et la directrice.

H???Exercice 10*Que vaut l"excentricité de l"hyperbole équilatère (une hyperbole est équilatère si et seulement si ses asymptotes

sont perpendiculaires) ?

H???Exercice 11***SoitPun polynôme de degré 3 à coefficients réels. Montrer que la courbe d"équationP(x) =P(y)dans un

certain repère orthonormé, est en général la réunion d"une droite et d"une ellipse d"excentricité fixe.

H???Exercice 12***Soit(H)une hyperbole équilatère de centreOetPetQdeux points de(H)symétriques par rapport àO.

Montrer que le cercle de centrePet de rayonPQrecoupe(H)en trois points formant un triangle équilatéral

de centreP.

H???Exercice 13***Equation cartésienne de la parabole tangente à(0x)en(1;0)et à(0y)en(0;2).

H???3 Correction del"exer cice1 NOn noteCla courbe considérée. 1. (a) Cest la parabole de sommetO, d"axe focal(Ox), de paramètrep=12 tournée vers lesxpositifs.

Son foyer est le pointF14

;0et sa directrice estD:x=14 (b)Cest la parabole de sommetO, d"axe focal(Ox), de paramètrep=12 tournée vers lesxnégatifs.

Son foyer est le pointF14

;0et sa directrice estD:x=14 (c)Cest la parabole de sommetO, d"axe focal(Oy), de paramètrep=12 tournée vers lesypositifs.

Son foyer est le pointF0;14

et sa directrice estD:y=14 (d)Cest la parabole de sommetO, d"axe focal(Oy), de paramètrep=12 tournée vers lesynégatifs.

Son foyer est le pointF0;14

et sa directrice estD:y=14 2. (a) Cest une ellipse, de centreOaveca=5>3=bet donc d"axe focal(Ox).

Ses sommets sontA(5;0),A0(5;0),B(0;3)etB0(0;3).

c=pa

2b2=4 et donc les foyers sontF(4;0)etF0(4;0).

L"excentricitéevaute=ca

=45 Les directrices ont pour équations respectivesx=ae =254 etx=254 (b)Cest une ellipse, de centreOaveca=3<5=bet donc d"axe focal(Oy).

Ses sommets sontA(3;0),A0(3;0),B(0;5)etB0(0;5).

c=pb

2a2=4 et donc les foyers sontF(0;4)etF0(0;4).

L"excentricitéevaute=cb

=45 Les directrices ont pour équations respectivesy=be =254 ety=254 (c)x2+2y2=1,x21 2+y2 1p2 2=1.

Cest une ellipse, de centreOaveca=1>1p2

=bet donc d"axe focal(Ox).

Ses sommets sontA(1;0),A0(1;0),B

0;1p2 etB0 0;1p2 c=pa

2b2=1p2

et donc les foyers sontF1p2 ;0 etF0 1p2 ;0

L"excentricitéevaute=ca

=1p2 Les directrices ont pour équations respectivesx=ae =p2 etx=p2. 3. (a) Cest une hyperbole de centreOet d"axe focal(Ox)aveca=4 etb=3 et doncc=pa

2+b2=5,

puise=ca =54 Les sommets sontA(4;0)etA0(4;0)et les foyers sontF(5;0)etF(5;0). Les directrices sont les droites d"équations respectivesx=ae =165 etx=165 Les asymptotes sont les les droites d"équations respectivesy=34 xety=34 x. (b)Cest une hyperbole de centreOet d"axe focal(Oy)aveca=4 etb=3 et doncc=pa

2+b2=5,

puise=cb =53 Les sommets sontB(0;3)etB0(0;3)et les foyers sontF(0;5)etF(0;5). Les directrices sont les droites d"équations respectivesy=be =95 ety=95 Les asymptotes sont les droites d"équations respectivesy=34 xety=34 x.quotesdbs_dbs2.pdfusesText_3

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