[PDF] Coniques Asymptotes : y = x+1 et

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Exo7

Coniques

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours

Exercice 1*ITLe plan est rapporté à un repère orthonorméR= (0;!i;!j). Eléménts caractéristiques de la conique dont une

équation cartésienne dansRest

1. y2=x,

2.y2=x,

3.y=x2,

4.y=x2.

1. x225 +y29 =1, 2. x29 +y225 =1,

3.x2+2y2=1.

1. x216 y29 =1,

2.x216

+y29 =1,

3.x2y2=1.

0;!i;!j

. Eléménts caractéristiques de la courbe dont une

équation dansRest

1. y=x2+x+1,

2.y2+y2x=0,

3.y=p2x+3.

1. x2+x+2y2+y=0,

2.y=2px2+x.

•x2y2+x+y+1=0. dont une équation en repère orthonormé est

1.y=1x

1

2.41 x224xy+34y2106x+92y+74=0,

3.x2+2xy+y2+3x2y+1=0,

4.(xy+1)2+(x+y1)2=0,

5.x2+y23xy+3=0,

6.x(x1)+(y2)(y3) =0,

7.(x+y+1)(xy+3) =3,

8.(2x+y1)23(x+y) =0.

1.r=11+2cosq,

2.r=11+cosq,

3.r=12+cosq,

4.r=11sinq,

5.r=12cosq.

z7!11+z+z2. tangentes à la parabole, perpendiculaires l"une à l"autre. P,QetRdeMsur les cotés(BC),(CA)et(AB)du triangle(ABC)sont alignés si et seulement siMest

sur le cercle circonscrit à(ABC). La droite passant parP,QetRs"appelle la droite de SIMSONdu point

Mrelativement au triangleABC(ou au cercle(ABC)).

2.Parabole tangente aux trois côtés d"un triangle.Lieu des foyers des paraboles tangentes à trois droites

deux à deux non parallèles. En particulier, fournir la construction des points de contacts. la tangente enPà(C).(T)recoupe(D)enS. La perpendiculaire à(AB)passant parPcoupe(BS)enM.

Ensemble des pointsM?

2 x+y+z=1. Montrer que(G)est une parabole dont on déterminera le sommet, l"axe, le foyer et la directrice. sont perpendiculaires) ?

certain repère orthonormé, est en général la réunion d"une droite et d"une ellipse d"excentricité fixe.

Montrer que le cercle de centrePet de rayonPQrecoupe(H)en trois points formant un triangle équilatéral

de centreP. Correction del"exer cice1 NOn noteCla courbe considérée. 1. (a) Cest la parabole de sommetO, d"axe focal(Ox), de paramètrep=12 tournée vers lesxpositifs.

Son foyer est le pointF14

;0et sa directrice estD:x=14 (b)Cest la parabole de sommetO, d"axe focal(Ox), de paramètrep=12 tournée vers lesxnégatifs.

Son foyer est le pointF14

;0et sa directrice estD:x=14 (c)Cest la parabole de sommetO, d"axe focal(Oy), de paramètrep=12 tournée vers lesypositifs.

Son foyer est le pointF0;14

et sa directrice estD:y=14 (d)Cest la parabole de sommetO, d"axe focal(Oy), de paramètrep=12 tournée vers lesynégatifs.

Son foyer est le pointF0;14

et sa directrice estD:y=14 2. (a) Cest une ellipse, de centreOaveca=5>3=bet donc d"axe focal(Ox).

Ses sommets sontA(5;0),A0(5;0),B(0;3)etB0(0;3).

c=pa

2b2=4 et donc les foyers sontF(4;0)etF0(4;0).

L"excentricitéevaute=ca

=45 Les directrices ont pour équations respectivesx=ae =254 etx=254 (b)Cest une ellipse, de centreOaveca=3<5=bet donc d"axe focal(Oy).

Ses sommets sontA(3;0),A0(3;0),B(0;5)etB0(0;5).

c=pb

2a2=4 et donc les foyers sontF(0;4)etF0(0;4).

L"excentricitéevaute=cb

=45 Les directrices ont pour équations respectivesy=be =254 ety=254 (c)x2+2y2=1,x21 2+y2 1p2 2=1.

Cest une ellipse, de centreOaveca=1>1p2

=bet donc d"axe focal(Ox).

Ses sommets sontA(1;0),A0(1;0),B

0;1p2 etB0 0;1p2 c=pa

2b2=1p2

et donc les foyers sontF1p2 ;0 etF0 1p2 ;0

L"excentricitéevaute=ca

=1p2 Les directrices ont pour équations respectivesx=ae =p2 etx=p2. 3. (a) Cest une hyperbole de centreOet d"axe focal(Ox)aveca=4 etb=3 et doncc=pa

2+b2=5,

puise=ca =54 Les sommets sontA(4;0)etA0(4;0)et les foyers sontF(5;0)etF(5;0). Les directrices sont les droites d"équations respectivesx=ae =165 etx=165 Les asymptotes sont les les droites d"équations respectivesy=34 xety=34 x. (b)Cest une hyperbole de centreOet d"axe focal(Oy)aveca=4 etb=3 et doncc=pa

2+b2=5,

puise=cb =53 Les sommets sontB(0;3)etB0(0;3)et les foyers sontF(0;5)etF(0;5). Les directrices sont les droites d"équations respectivesy=be =95 ety=95 Les asymptotes sont les droites d"équations respectivesy=34 xety=34 x. 4

1 2 3 4 5 6 712345678

12345
1 2 3 4 5 x216y2 9= 1 x2 16 y2

9=1(c)Cest une hyperbole de centreOet d"axe focal(Ox)aveca=b=1 et doncc=p2, puise=p2.

Les sommets sontA(1;0)etA0(1;0)et les foyers sontF(p2;0)etF(p2;0). Les directrices sont les droites d"équations respectivesx=1p2 ety=1p2

Les asymptotes sont les les droites d"équations respectivesy=xety=x.Correction del"exer cice2 N1.(a) y=x2+x+1,y=x+12

2+34 ,y34 =x+12

2.Cest la parabole de sommetS12

;34 d"axe focal la droite d"équationx=12 , de paramètrep=12 et donc de foyerF12 ;34 +14 =12 ;1et de directrice d"équationy=34 14 =12 (b)y2+y2x=0,y+12 214

2x=0,y+12

2=2x+18

.Cest la parabole de sommet S18 ;12 , d"axefocalladroited"équationy=12 , deparamètrep=1etdoncdefoyerF18 +12 ;12 =38 ;12 et de directrice d"équationx=18 12 =58 (c)y=p2x+3,y2=2x+32 ety>0.Cest une demi-parabole de sommetS32 ;0, d"axe focal (Ox), de paramètrep=1 et donc de foyerF32 +12 ;0= (1;0)et de directrice d"équation x=32 12 =2. 2. (a) x2+x+2y2+y=0,x+12

2+2y+14

2=38 ,(x+12 )2 p38

2+(y+14

)2 p3 4

2=1.Cest une ellipse.

Centre :

12 ;14 .a=q3 8 >p3 4 =b. Axe focal :y=14 . Sommets :A 12 +q3 8 ;14 A 0 12 q3 8 ;14 ,B 12 ;14 +p3 4 etB0 12 ;14 p3 4 .c=pa

2b2=p3

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