[PDF] Les coniques 26 oct. 2021 Exercice 2 (

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College du Sud, Bulle Applications des mathematiques, 3 e

Les coniquesF

F' gs s'c'c A A' P Q

Q'Table des matieres

Introduction

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1 Generalites

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Ellipses

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Hyperboles

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4 Directrices et excentricite des coniques a centre

. . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5 Paraboles

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 6 Equations du second degres a deux variables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

7 Exercices

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

8 Exercices de repetitions

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

9 Reponses des exercices

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

References

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

Corriges d'une selection d'exercices

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 1

Introduction

La premiere loi de Kepler stipule que les planetes du systeme solaire decrivent des trajec- toires elliptiques dont le Soleil occupe un des foyers. Dans le cadre du cours de quatrieme annee, nous allons demontrer cette loi mais, pour cela, il nous faut savoir precisement ce qu'est une ellipse (une partie de cette demonstration est faite dans le dernier exercice du script, le 41
Dans ce but, nous commencerons par montrer que l'ellipse est un cas particulier des courbes du plan appelees les coniques. Nousetudierons ensuite les dierentes coniques non- degenerees (ellipses, hyperboles et paraboles) et verrons diverses applications en ingenierie (en particulier dans le cadre des exercices). Finalement, nous montrerons que toutes les courbes du plan denies par equation cartesienne du second degre sont des coniques. Pour tous les calculs de geometrie analytique de ce document, nous travaillerons avec un repere orthonorme du plan.2

1 Generalites

Soitaetgdeux droites de l'espace qui se coupe avec un angle aigu <90en un point S. Notonsla surface engendree par la rotation degautour dea(voir la gure1 ).p ga S a b kFigure1 { construction d'une conique

1.1 Denitions

La surfaceest unc^one de revolution, la droitegest unegeneratricede , la droiteasonaxe, le pointSsonsommetet l'angle aigu entreaetgson demi-angle d'ouverture.Soitun plan. Sietasont secants, nous notonsl'angle entreaet, sinon, nous posons= 0.

1.2 Denition (Apollonius, III

es. av. J.-C.)

L'intersection entre un c^one de revolution et un plan est uneconique.Il peut se produire plusieurs cas particuliers qui ont deja ete etudies dans de precedents

cours de mathematiques : (a)

Si S2, nous obtenons soit :

(i) un p ointsi > , (ii) une droite si =, (iii) deux droites s ecantessi < . (b)

Si S62et si= 90nous obtenons un cercle.

3

4 Les coniques

Dans les cas precedents, nous parlons deconiques degenereessinon nous sommes dans une des situations suivantes :

1.3 Denitions

Si l'intersection du planet du c^one de revolutionn'est pas une conique degeneree, il s'agit (voir gure 2 (a)d'uneellipsesi > , (b)d'uneparabolesi=, (c)d'unehypberbolesi < .Figure2 { coniques non degenerees (source : [2]) Pour toute la suite de ce script, nous nous interesserons au cas ou la conique obtenue n'est pas degeneree et l'utilisation du terme coniquesous-entendraconique non- degeneree . Ainsi, pour toute conique, nous pourrons construire une sphere tangente et:

1.4 Denitions

Unesphere de Dandelinest une sphere qui centre sur l'axe du c^one de revolution et qui est tangente interieure au c^one de revolutionet tangente au plan.A l'aide d'une sphere de Dandelin, nous pouvons construire les elements suivants (voir gure 3 le point de tangenceFentreet, le cerclec=\, le plan0contenantc. la droited=\0,

L. Karth Robadey22.10.2022 (21:54)

1. Generalites 5p

k cf s pd F A A'Figure3 { sphere de Dandelin, directriced, foyerF, axe focalfet sommetsA;A0d'une conique\ la droitefperpendiculaire adpassant parF, les intersectionsA; A0defavec la conique (dans le cas d'une parabole, il y a une seule intersection).

1.5 Denitions

(a)Le pointFest unfoyerde la conique. (b)La droitedest sadirectricepar rapport au foyerF. (c)La droitefest sonaxe focal. (d)Le(les) point(s)A(etA0) est(sont) son(ses)sommet(s).1.6 Remarque Dans le cas d'une parabole, il existe une unique sphere de Dandelin et donc un unique foyer et une unique directrice. Sinon il y a toujours deux spheres de Dandelin et il y a alors deux foyers distincts ayant chacun une directrice. Dans ce cas, le milieu du segment reliant les foyers s'appelle lecentrede la conique et nous parlons deconique centree

Nous avons alors le resultat suivant :

1.7 Theoreme

Pour tout pointPde la conique, nous avons1

PF(P;d)=cos()cos():

Ce rapport est l'excentricitede la conique.1. Pour deux objetso1;o2du plan ou de l'espace, la distance entreo1eto2, notee(o1;o2), est la

longueur du plus court chemin reliant un point deo1avec un point deo2.

22.10.2022 (21:54)L. Karth Robadey

6 Les coniques

D emonstration SoitPun point de la conique,Pdsa projection orthogonale surd(voir la gure4 ),P0 sa projection orthogonale sur0(rappelons que siest strictement parallele a l'axeade la conique nous avons pose= 0; dans ce casP0=Pd) etQl'intersection decavec la generatrice decontenantP. Comme les droitesPFetPQsont tangentes aet enp k a b ba a c s pd F PP d P'QFigure4 { calcul de l'excentricite d'une conique travaillant dans le triangle rectanglePP0Qdont l'angle×P0PQvaut, nous avons

PF=PQ=PP0cos():(1)

D'autre part, si6= 0 (dans ce casn'est pas orthogonal a0) alorsPd6=P0et nous pouvons travailler dans le triangle rectanglePP0Pddont l'angle×P0PPdvaut. Nous avons alors (P;d) =PPd=PP0cos():(2) Cette equation est aussi valable si= 0(dans ce casest orthogonal a0) car dans ce casP=PdetPPd=PP01 =PP0cos(). Les equations (1) et (2) nous donnent alors

PF(P;d)=PP

0cos()PP

0cos()=cos()cos():

1.8 Remarque

Dans le cas ou l'angletend vers 90, la coniques'approched'un cercle et l'excentricite tend vers 0. Donc, plus l'excentricite est proche de 0, plus la conique est proche d'un cercle : ceci justie la terminologie utilisee.

L. Karth Robadey22.10.2022 (21:54)

1. Generalites 7

1.9 Corollaire

(a)L'excentricite d'une ellipse se trouve dans l'intervalle]0;1[. (b)L'excentricite d'une parabole vaut 1. (c)L'excentricite d'une hyperbole se trouve dans l'intervalle]1;1[. D emonstration

Ce resultat une consequence de la denition

1.3 , du theoreme 1.7 et la d ecroissancestricte de la fonction cosinus sur l'intervalle [0; 2

Compte tenu du theoreme

1 .7 , nous pouvons adopter la nouvelle denition suivante (il est possible de montrer que celle-ci est equivalente a la denition 1.2

1.10 Denitions

SoitdR2une droite,F2R2rdete >0. Uneconique(non degeneree) est l'ensemble des pointsP2R2tels que

PF(P;d)=e:

Fest un foyer de la conique,dla directrice associee aFetel'excentricite de la conique. Uneellipseune conique d'excentricite strictement inferieure a 1, unepara- boleest une conique d'excentricite egale a 1 et unehyperboleest une conique d'excentricite strictement superieure a 1.1.11 Remarque La relation entre la denition d'une conique par l'excentricite (denition 1.10 ) et la denition comme section d'un c^one de revolution (denition 1 .3 ) est l'uvre de Dandelin et Lebesgue (XVIII esiecle).

22.10.2022 (21:54)L. Karth Robadey

2 Ellipses

Le theoreme suivant nous donnera une methode pour dessiner les ellipses et nous permet- tra de trouver la forme d'une equation cartesienne d'une ellipse ainsi qu'une representation parametrique :

2.1 Theoreme

SoitPun point d'un planintersectant un c^one de revolution et denissant une el- lipse

2kde foyersFetF0dont la distance entre les sommets vaut2a. Nous avons alors

l'equivalence suivante :

P2k()PF+PF0= 2a:

De plus, siPest interne a l'ellipse alorsPF+PF0<2aet siPest externe a l'ellipse alorsPF+PF0>2a.F F' gs s'c'c A A' P Q Q'Figure5 { spheres de Dandelin; 0d'une ellipse et calcul des la somme des distances aux foyers d'un pointPde celle-ci D emonstration )Soitp2k. Nous commencons par montrer que la sommePF+PF0est constante. Pour cela, nous considerons la generatricegdu c^one qui passe parP(voir la gure 5 ). Nous notonsQle point de tangence degavec la sphere de Dandelinrelative a FetQ0le point de tangence degavec la sphere de Dandelin0relative aF0. Comme2. La lettre en'a pas ete choisie pour eviter la confusion avec l'excentricite. Le choix s'est porte sur la lettrequotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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