Conjugué dun nombre complexe - Un doc de Jérôme ONILLON
z z.. =. . Pour le quotient il vient alors que pour tous nombres complexes z et z'
Forme trigonométrique dun nombre complexe – Applications
2.4 Cas d'un produit ou d'un quotient . 4 Applications géométriques des nombres complexes ... Module et argument de l'opposé et du conjugué .
NOMBRES COMPLEXES - Chamilo
Quotient de deux nombres complexes. 4. Conclusions générales Le conjugué d'un nombre complexe s'obtient en changeant le signe de sa partie.
Première STI 2D - Nombres complexes - Forme algébrique
Cette écriture est dite forme algébrique du nombre complexe. 3) Inverse quotient a) Définition : Conjugué d'un nombre complexe. Soit le nombre complexe.
Module et Argument dun nombre complexe
nombre complexe les propriétés de somme
Nombres complexes
Le quotient de z' par z est défini par II) Conjugué d' un nombre complexe : ... Le conjugué de z est le nombre complexe de forme algébrique a – bi.
Olivier Glorieux
On a un quotient de nombres complexes dont on vaut la forme algébrique : on multiplie par le conjugué du dénominateur. 2. Mettre sous forme algébrique z
Le module les arguments
http://tanopah.jo.free.fr/ADS/bloc14/vtsargumentmodule.pdf
Chapitre 7 NOMBRES COMPLEXES 1re STI2D
Chapitre 7 Nombres complexes. II Conjugué inverse et quotient d'un nombre complexe. 2.1 Conjugué d'un nombre complexe. Exemple Le conjugué du nombre
ÉTS
Le conjugué d'un nombre complexe z = a + bi que nous noterons z
[PDF] Conjugué dun nombre complexe - La taverne de lIrlandais
Propriété : le conjugué de l'inverse est égal à l'inverse du conjugué Le conjugué d'un quotient est égal au quotient des conjugués 1 1 z z
[PDF] NOMBRES COMPLEXES
Pour diviser le complexe z1 par le complexe z2 on multiplie chacun d'eux par le conjugué de z2 et on écrit le quotient sous la forme a+ bi
[PDF] NOMBRES COMPLEXES (Partie 2) - maths et tiques
I Module et argument d'un nombre complexe 1) Module Définition : Soit un nombre complexe z = a + ib On appelle module de z le nombre réel positif
[PDF] NOMBRES COMPLEXES - Chamilo
Le conjugué d'un nombre complexe s'obtient en changeant le signe de sa partie imaginaire ce qui revient à changer j en -j Sous forme polaire on change
[PDF] Les nombres complexes
L'équation admet donc deux solutions complexes conjugués : z1 = ?b ?i ? 2a et z2 = z1 = ?b +i ? 2a VI Module et argument d'un nombre complexe
[PDF] Fiche 6 : Nombres complexes - Studyrama
Nombre complexe conjugué nombre réel et imaginaire pur Evaluer la mesure d'un angle à l'aide d'un quotient de nombres complexes » fiche exercices n°6
[PDF] Pascal Lainé 1 NOMBRES COMPLEXES Exercice 1
Calculer le module et un argument des nombres complexes suivants ainsi que de leur conjugués 1 = 1 + (1 + ?2); 2 = ?10 + 2?5 + (
[PDF] Nombres complexes - Forme algébrique - Parfenoff org
Pour écrire le quotient de deux nombres complexes sous forme algébrique on multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur Il est
[PDF] Les nombres complexes - Partie II
deux complexes Alors • Module du conjugué : • Module d'un produit : • Module d'un quotient : • Inégalité triangulaire : Complément : Démonstration
[PDF] chapitre 1 les nombres complexes - fnac-staticcom
Pour calculer le quotient de deux nombres complexes on multiplie son numérateur et son déno- minateur par le conjugué de son dénominateur (On utilise pour le
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NOMBRES COMPLEXES
1NOMBRES
COMPLEXES
CoursNOMBRES COMPLEXES
2I. DEFINITIONS D"UN NOMBRE COMPLEXE
1. Forme algébrique
2. Représentation graphique
3. Forme polaire
4. Forme trigonométrique
5. Relations fondamentales entre les différentes définitions
6. Exemples
II. PROPRIETES ELEMENTAIRES - DEFINITIONS
1. Nombre complexe nul
2. Egalité de deux nombres complexes
3. Nombres complexes opposés
4. Nombres complexes conjugués
5. Propriétés importantes
III. OPERATIONS SUR LES NOMBRES COMPLEXES
1. Somme et différence de deux nombres complexes
2. Multiplication de deux nombres complexes
3. Quotient de deux nombres complexes
4. Conclusions générales
IV. FORMULES D"EULER - FORMULE DE MOIVRE
1. Formules d"Euler
2. Généralisation aux nombres complexes de module quelconque
3. Linéarisation d"un polynôme trigonométrique
4. Formule de Moivre
5. Formule du binôme - triangle de Pascal
V. RACINE n
ième D"UN NOMBRE COMPLEXE1. Sous forme polaire
2. Sous forme algébrique
VI. EQUATION DU SECOND DEGRE À COEFFICIENTS COMPLEXESVII. APPLICATION A L"ELECTRICITE
1. Les lois de l"électricité
2. Impédances
3. Construction de Fresnel
4. Utilisation des nombres complexes
NOMBRES COMPLEXES
3I. DEFINITIONS D"UN NOMBRE COMPLEXE
1. Forme algébrique
Soient x et y deux nombres réels, et soit j un nombre appelé "imaginaire" tel que j2 = -1.
On appelle forme algébrique (ou cartésienne) d"un nombre complexe z = (x, y) l"expression z = x +jy. ( )jyxzy)(x,z jyx, 2+=Î= -=ή®CR 1 2 x est la partie réelle de z, notée x = Re(z), y est la partie imaginaire de z, notée y = Im (z).L"ensemble des nombres complexes se note
C.Cas particuliers :
si y = 0, alors z = x est un nombre réel: zÎR si x = 0, alors z = jy est un nombre imaginaire pur: zÎIL"ensemble des nombres imaginaires purs se note
I.Î+=®IRC
jyz,0x Sixz,0y Sijyxz2. Représentation graphique
Soit le plan, rapporté à un repère orthonormé {}v,u,Orr, on a alors la figure 1 suivante. A tout nombre complexe z = x + jy, on associe le point M(x, y). La correspondance entre zet M est bijective c"est à dire qu"à tout nombre complexe z = x + jy, on peut faire
correspondre un point du plan, de coordonnées x et y et que réciproquement, tout point M du plan définit par ses coordonnées x et y un nombre complexe z = x + jy. ur vr OM (x,y)
xy qFig. 1
Le point M s"appelle l"image du nombre complexe z. Le vecteurOM s"appelle le vecteur
image du nombre complexe z. Le nombre complexe z s"appelle l"affixe du point M (ou du vecteur OM). Le plan, considéré comme l"ensemble des points M(x, y) est appelé plan complexe, ou plan de Cauchy. L"axe Ox qui correspond aux points tels que y = 0, z = x, est l"axe des réels; l"axe Oy qui correspond aux points tels que x = 0, z = jy est l"axe des imaginaires purs.NOMBRES COMPLEXES
43. Forme polaire
On appelle module du nombre complexe z le module du vecteur imageOM associé à z.
On appelle argument du nombre complexe z l"angle polaire du vecteur image OM associé à z (à 2k p près). p+==q³== k2, )z(0r ;OMzrOMOxArg
On note alors le nombre complexe z sous la forme polaire : []q=,rz4. Forme trigonométrique
Soit un nombre complexe de forme polaire
[]q=,rz.Soit M son image dans le plan complexe (Fig. 2).
Les composantes x et y du vecteur image
OM s"expriment comme suit : q=q=sinrycosrx ur vr OM (x,y)
x = r cosqy = r sinq q rFig. 2
d"où la forme trigonométrique du nombre complexe : z = x + jy z=rcosq+jsinq()5. Relations fondamentales entre les différentes définitions
On verra par la suite que l"on pose habituellement : cosq+jsinq=ejq.Ainsi, la forme polaire
z=r,q[] du nombre complexe z est souvent notée : z=rejq En conclusion, les quatre formes suivantes sont équivalentes pour désigner un nombre complexe z : z=x+jy= r,q[]= rcosq+jsinq() =rejq Inversement, si un nombre complexe est connu sous sa forme cartésienne z=x+jy, on peut calculer son module et son argument.Le module r se calcule facilement par :
r=OM=x2+y2 et son argument, q est calculé, modulo 2p par cosq=x r et sinq=y r ou par x y=qtg, en tenant compte des signes de r xcos=q et r ysin=q.NOMBRES COMPLEXES
56. Exemples
a) 10cossinjcose
j +p=p+p= p b) 12sinj2cose2j=p+p=p c) j2,12sinj2cose2j= p=p+p=p d) j2,12sinj2cose2j-= p-= p-+ p-=p- e) ()( )nnjjn1encosnsinjncose-==p=p+p=ppAinsi, suivant la parité de n:
ejnp=1 si n pair (n=2p) e jnp= -1 si n impair (n=2p+1) f) ( )4je24sinj4cos22j212j12
p p+p= g) ( )4je24sinj4cos22j212j12
p- p-p= h) ( )3je23,23sinj3cos223j2123j1
p p= p+p=II. PROPRIETES ELEMENTAIRES - DEFINITIONS
1. Nombre complexe nul
Le nombre complexe nul, noté simplement z = 0, est le nombre complexe dont l"image est l"origine du plan complexe c"est à dire le point O(0, 0). Cette définition conduit auxégalités suivantes:
Sous forme cartésienne:
==Û=+=0y0x 0jyxzSous forme polaire:
[ ]q=Û=q=quelconque 0r 0,r z2. Egalité de deux nombres complexes
Deux nombres complexes z et z" sont dits égaux si leurs images respectives M et M" dans le plan complexe sont confondues. Cette identité entraîne l"égalité des composantes (x, y) et (x", y") des vecteurs images OM et "OM correspondants.Soit :
==⇒+==+="yy"xx "jy"x"zjyxzNOMBRES COMPLEXES
6Deux nombres complexes égaux ont des parties réelles égales ET des parties imaginaires
égales.
Sous forme polaire l"égalité des deux nombres complexes z et z" se traduit par : p+q=q=⇒q==q=k2""rr ","r "z,r z Les modules sont égaux et les arguments sont égaux à 2k p près (modulo 2p).3. Nombres complexes opposés
Deux nombres complexes z et z" sont dits opposés si leurs vecteurs images respectifs OM et "OM dans le plan complexe sont opposés (Fig. 3). Cette identité entraîne entre les composantes (x, y) et (x", y") de ces vecteurs images les relations : -=-=⇒+-=-=+=y"yx"x "jy"x"zjyxz Deux nombres complexes opposés ont des parties réelles opposées ET des parties imaginaires opposées.Sous forme polaire :
p+p+q=q=⇒q-=-=q=k2"r"r ","r "z,r z Les modules sont égaux et les arguments diffèrent de p (modulo 2p). urvrO M (z) xy q rM" (z")
x" = -x y" = -y p+qFig. 3
4. Nombres complexes conjugués
Deux nombres complexes z et z" sont dits conjugués si leurs vecteurs images respectifs OM et "OM dans le plan complexe sont symétriques par rapport à l"axe des réels Oxquotesdbs_dbs29.pdfusesText_35[PDF] conjugué complexe exponentielle
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[PDF] conjugue les verbes entre parenthèses au présent de lindicatif
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