[PDF] THÈSE DE DOCTORAT - Discipline : Mathématiques Appliquées

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KmHiB@û+?2HH2b Bbbmb /2 H Kû+MB[m2 /2b Kiû`Bmt hQ +Bi2 i?Bb p2`bBQM, Ecole Doctorale Mathématiques et Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication (MSTIC)

THÈSE DE DOCTORAT

Discipline : Mathématiques Appliquées

présentée par Marc JOSIENEtude mathématique et numérique de quelques

modèles multi-échelles issus de la mécanique desmatériauxThèse dirigée par Claude Le Bris au CERMICS,

École des Ponts Paristech

Soutenue le 20 Novembre 2018 devant le jury composé de : Felix OttoInstitut Max Planck MIS Président de Jury Anne-Laure DalibardUniversité Pierre et Marie Curie Rapporteur Gilles FrancfortUniversité Paris-Nord Rapporteur

Sonia FlissENSTA Examinatrice

Yves-Patrick PellegriniCEA/DAM DIF Examinateur

Claude Le BrisÉcole des Ponts ParisTech Directeur de thèse 1

Horloge! dieu sinistre, erayant, impassible,

Dont le doigt nous menace, et nous dis : Souviens-toi! De vibrantes Douleurs dans ton c÷ur plein d'eroi

Se planteront bientôt comme dans une cible

Charles Baudelaire

2

Remerciements

Je tiens tout d'abord à remercier mes encadrants Xavier Blanc, Claude Le Bris, Frédéric Legoll et Yves-Patrick Pellegrini. Merci de m'avoir soutenu et prodigué votre amitié, votre savoir, et surtout votre temps. Car s'il est long d'écrire un texte scientique, il est encore plus long de le relire et de l'amender. Je remercie Anne-Laure Dalibard et Gilles Francfort d'avoir bien voulu être rapporteurs de ce travail, ainsi que Sonia Fliss, Felix Otto et Yves-Patrick Pellegrini d'avoir accepté de faire partie du jury. Monter un dossier de candidature pour faire une thèse au sein du Corps des Ingénieurs des Ponts, des Eaux et des Forêts est une entreprise délicate. Je suis reconnaissant envers Claude Le Bris et à Françoise Prêteux pour leur aide, et envers Charles Lion pour son

soutien. Je remercie le Corps de m'avoir donné la chance de faire une thèse de mathématiques

appliquées. Le CERMICS est un environnement très stimulant. Je remercie l'ensemble de l'équipe et particulièrement Gabriel Stoltz, pour m'avoir fait conance au point de me coner une

classe d'étudiants, et Antoine Levitt, pour des discussions très intéressantes sur le numérique

ecace. Le petit groupe des doctorants forme une communauté sympathique, et je garde le meilleur souvenir de Julien, Grégoire, Atman, Boris, François, Pierre-Loïk, Laura, Marion, Frédéric, Alexandre, Henri, Adrien, Ling-Ling, Rafaël... J'ai passé une part importante de mon temps au sein du Département de Physique Théorique et Appliquée, à la Direction des Applications Militaires du CEA. Cette rencontre

avec des chercheurs en physique a été très enrichissante et je remercie l'équipe de Christophe

Denoual pour son accueil, et particulièrement Ronan Madec pour de nombreuses discussions sur la dynamique des dislocations. Parfois, les choses ne se passent pas si bien. Merci à Isabelle Simunic, Xavier Blanc, Yves-Patrick Pellegrini, Gabriel Stoltz et Eric Cancès pour m'avoir aidé dans des moments plus durs. Merci aussi à mes dèles amis Martin et Alban. Enn, je souhaite remercier ceux qui ont su allumer et entretenir en moi la amme des mathématiques : mon père et mes professeurs Didier Plichard, Anne-Laure Biolley, Alain Pommellet, Grégoire Allaire et Felix Otto. Chacun, à sa manière, m'a beaucoup apporté. Merci enn à Apolline et à ma famille, à qui je dédie cette thèse. 3 SujetEtude mathématique et numérique de quelques modèles multi-échelles issus de la mécanique des matériaux

RésuméLe travail de cette thèse a porté sur l'étude mathématique et numérique de

quelques modèles multi-échelles issus de la physique des matériaux.

La première partie de ce travail est consacrée à l'homogénéisation mathématique d'un

problème elliptique avec une petite échelle. Nous étudions le cas particulier d'un matériau

présentant une structure périodique avec un défaut. En adaptant la théorie classique d'Avel-

laneda et Lin pour les milieux périodiques, on démontre qu'on peut approximer nement la solution d'un tel problème, notamment à l'échelle microscopique. Nous obtenons des taux de

convergence dépendant de l'étalement du défaut. On démontre aussi quelques propriétés des

fonctions de Green d'un problème elliptique périodique avec conditions de bord périodiques. Les dislocations sont des lignes de défaut de la matière responsables du phénomène de plasticité. Les deuxième et troisième parties de ce mémoire portent sur la simulation de dislocations, d'abord en régime stationnaire puis en régime dynamique. Nous utilisons le modèle de Peierls, qui couple échelle atomique et échelle mésoscopique. Dans le cadre stationnaire, on obtient une équation intégrodiérentielle non-linéaire avec un laplacien

fractionnaire : l'équation de Weertman. Nous en étudions les propriétés mathématiques et

proposons un schéma numérique pour en approximer la solution. Dans le cadre dynamique,

on obtient une équation intégrodiérentielle à la fois en temps et en espace. Nous en faisons

une brève étude mathématique, et comparons diérents algorithmes pour la simuler. Enn, dans la quatrième partie, nous étudions la limite macroscopique d'une chaîne d'atomes soumis à la loi de Newton. Des arguments formels suggèrent que celle-ci devrait

être décrite par une équation des ondes non-linéaires. Or, nous démontrons sous certaines

hypothèses qu'il n'en est rien lorsque des chocs apparaissent. Mots-clefsmulti-échelle, homogénéisation, équation elliptique, fonction de Green, dislo-

cations, équation de Peierls-Nabarro, équation de réaction-diusion, équation intégrodié-

rentielle, laplacien fractionnaire TitleMathematical and numerical study of some multi-scale models from materials science AbstractIn this thesis we study mathematically and numerically some multi-scale models from materials science. First, we investigate an homogenization problem for an oscillating elliptic equation. The material under consideration is described by a periodic structure with a defect at the microscopic scale. By adapting Avellaneda and Lin's theory for periodic structures, we prove that the solution of the oscillating equation can be approximated at a ne scale. The rates of convergence depend upon the integrability of the defect. We also study some properties of the Green function of periodic materials with periodic boundary conditions. Dislocations are lines of defects inside materials, which induce plasticity. The second part and the third part of this manuscript are concerned with simulation of dislocations, rst in the stationnary regime then in the dynamical regime. We use the Peierls model, 4 which couples atomistic and mesoscopic scales and involves integrodierential equations. In the stationary regime, dislocations are described by the so-called Weertman equation, which is nonlinear and involves a fractional Laplacian. We study some mathematical properties of this equation and propose a numerical scheme for approximating its solution. In the dynamical regime, dislocations are described by an equation which is integrodierential in time and space. We compare some numerical methods for recovering its solution. In the last chapter, we investigate the macroscopic limit of a simple chain of atoms governed by the Newton equation. Surprisingly enough, under technical assumptions, we show that it is not described by a nonlinear wave equation when shocks occur. Keywordsmulti-scale, homogenization, elliptic equation, Green function, dislocations, Peierls-Nabarro equation, reaction-diusion equation, integrodierential equation, fractional laplacian Mathematical subject classication (2010)26A33, 35B27, 35J15, 35K57, 35R11,

45E05, 65R20, 65T50

Table des matières

1 Introduction 15

1.1 Etude de deux problèmes d'homogénéisation . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.1.1 Homogénéisation périodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

1.1.2 Homogénéisation d'un matériau périodique avec défaut . . . . . . . .

20

1.1.3 Un cadre abstrait pour l'estimation et l'approximation des solutions

d'un problème oscillant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.1.4 Estimations sur des fonctions de Green en homogénéisation périodique

26

1.2 Dislocations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

1.2.1 Les dislocations en physique des matériaux . . . . . . . . . . . . . .

28

1.2.2 Dislocations en régime stationnaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

1.2.3 Dislocations en régime dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

1.3 Limite macroscopique d'un système de particules . . . . . . . . . . . . . . .

45

1.3.1 Modèle microscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

1.3.2 De l'équation de Newton à l'équation des ondes . . . . . . . . . . . .

45

1.3.3 Chocs dans l'équation des ondes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

1.4 Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

2 Homogénéisation d'un problème périodique avec défaut 51

2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

2.1.1 Théorie de l'homogénéisation périodique . . . . . . . . . . . . . . . .

52

2.1.2 Un cadre abstrait pour l'estimation et l'approximation des solutions

d'un problème oscillant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.1.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

2.1.4 Plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

65

2.2 Discussion sur le cadre théorique proposé . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

2.2.1 Formulation alternative des Hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . .

67

2.2.2 Quelques remarques sur le rescaling . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

2.2.3 Uniformité sur l'espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

70

2.2.4 Elements de comparaison avec la littérature . . . . . . . . . . . . . .

71

2.2.5 Correction au bord : correcteurs adaptés et régularité . . . . . . . . .

74

2.2.6 Optimalité der. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75

2.2.7AetAT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76

2.2.8 Extensions possibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77
5

6TABLE DES MATIÈRES

2.3 Résultats élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

2.3.1 Construction d'un potentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

2.3.2 Régularité des correcteurs et du potentiel . . . . . . . . . . . . . . .

80

2.3.3 Calcul algébrique justiant la forme deR". . . . . . . . . . . . . . .82

2.3.4 Bornes surH". . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83

2.4 Estimations dans le cas homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

84

2.4.1 Présentation de la méthode compacité à la Avellaneda et Lin . . . .

84

2.4.2 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

86

2.4.3 Uniforme H-convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87
89

2.4.5 Estimations lipschitziennes intérieures . . . . . . . . . . . . . . . . .

97

2.4.6 Sous-linéarité des correcteurs adaptés . . . . . . . . . . . . . . . . . .

104

2.4.7 Estimations lipschitziennes jusqu'au bord . . . . . . . . . . . . . . .

105

2.5 Estimations dans le cas inhomogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

114

2.5.1 Estimations sur la fonction de GreenG". . . . . . . . . . . . . . . .115

2.5.2 Estimation suru"dansW1;p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .117

2.5.3 Estimations lipschitziennes intérieures . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 18

2.6 Approximations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

122

2.6.1 Approximation deG". . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122

2.6.2 Approximation deu"dansLp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .130

2.6.3 Approximationu"dansW1;p. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131

2.6.4 Approximation de?xG",?yG"et?x?yG". . . . . . . . . . . . . . .133

2.7 Deux cas d'application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

137

2.7.1 Cas d'un coecient périodique avec défaut . . . . . . . . . . . . . . .

137

2.7.2 Cas d'un coecient quasi-périodique . . . . . . . . . . . . . . . . . .

140

3 Fonctions de Green d'un problème d'homogénéisation périodique 143

3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

144

3.1.1 Main results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

146

3.1.2 Extension to systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

149

3.1.3 Outline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

150

3.2 Existence and uniqueness of the Green function . . . . . . . . . . . . . . . .

151

3.3 Pointwise estimates on the periodic Green function . . . . . . . . . . . . . .

1 54

3.3.1 The case ofd3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 54

3.3.2 The cased= 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .157

3.4 Pointwise estimates on the derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

159

3.5 A decomposition of the periodic Green function . . . . . . . . . . . . . . . .

160

3.5.1 Case where the homogenized matrix is the identity . . . . . . . . . .

160

3.5.2 General case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

164

3.5.3 Case of systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

166

TABLE DES MATIÈRES7

4 Quelques propriétés mathématiques de l'équation de Weertman 169

4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

170

4.2 Notations and denitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

176

4.3 Asymptotes and an identity about velocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 77

4.4 Existence, uniqueness and regularity of the solution to the evolution equa-

tion (4.15) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

4.5 Convergence of the evolution equation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

183

5 Résolution numérique de l'équation de Weertman 193

5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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