[PDF] Mathématiques pour léconomie et la gestion

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Skander Belhaj

Mathématiques pour

l'économie et la gestion

Analyse et algèbre

Constitué d'un cours completet de 75 exercices corrigés,ce manuel présente l'ensemble du programme d'algèbre et d'analyse des filières Sciences de gestion, Sciences économiques et Informatique appliquée à la gestion. Il introduit de façon simple et pédagogique les techniques et les résultats des mathématiques de base que les étudiants en première année de Licence doivent maîtriser. -:HSMDLB=UUW\X\:

ISBN 978-2-311-00273-7

WWW.VUIBERT.FR

Mathématiques pour l'économie et la gestion

LICENCE

1 -

SCIENCES DE GESTION

SCIENCES ÉCONOMIQUES

- IAG

Cours & exercices corrigésLICENCE1

SCIENCES DE GESTION

SCIENCES ÉCONOMIQUES

INFORMATIQUE APPLIQUÉE

À LA GESTION

Skander Belhaj

Directeur du département des méthodes quantitatives de la faculté des Sciences juridiques, économiques et de gestion de Jendouba (Tunisie),Skander Belhaj est docteur en mathématiques

appliquées et spécialiste d'algèbre matricielle rapide. Chercheur à l'université de Tunis El Manar

(ENIT-LAMSIN) et à l'université de Franche-Comté (Besançon), il enseigne actuellement à l'institut

supérieur des arts du multimédia de la Manouba (Tunisie) et à l'université libre de Tunis.Sommaire

I. Analyse

1. Fonctions d'une variable réelle

2. Développements limités

3. Fonctions réelles à deux variables

4. Optimisation et recherche d'extremums

de deux variables

5. IntégrationII. Algèbre1. Polynômes et fractions rationnelles2. Espaces vectoriels3. Applications linéaires, matrices4. Systèmes d'équations linéaires,

déterminant

5. Diagonalisation d'une matrice carrée

Cours complet•

Plus de 70 exercices

Tous les corrigés détaillés

Mathématiques

pour l'économie et la gestion

Analyse et algèbre

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Analyse et algèbre

Lim_EcoGestion:EP 19/10/11 16:47 Page I

Déjà parus dans la nouvelle collection de manuels universitaires scientifiques

Anne CORTELLA,

Algèbre. Théorie des groupes.

Cours et exercices corrigés - L3 & Master, 224 pages

Bruno AEBISCHER,

Introduction à l'analyse.

Cours et exercices corrigés - L1, 288 pages

Bruno AEBISCHER,

Analyse. Fonctions de plusieurs variables & géométrie analytique.

Cours et exercices corrigés - L2, 448 pages

Bruno AEBISCHER,

Géométrie. Géométrie affine, géométrie euclidienne & introduction à la géométrie projective.

Cours et exercices corrigés - L3, 288 pages

Ariel DUFETEL,

Analyse. CAPES externe et Agrégation interne.

Cours et exercices corrigés, 672 pages

David LANGLOIS,

Introduction à la relativité. Principes fondamentaux & conséquences physiques. Cours et exercices corrigés - L2 & L3, 192 pages

Bernard DELCAILLAU,

Géomorphologie. Relations tectonique, climat, érosion. Cours et exercices corrigés - L3, M1 & M2, 304 pages

Matthieu ROY-BARMAN & Catherine JEANDEL,

Géochimie marine. Circulation océanique, cycle du carbone et changement climatique. Cours et exercices corrigés - L3, M1 & M2, collection " Interactions », 368 pages et des dizaines d'autres livres de référence, d'étude ou de culture en mathématiques, informatique et autres spécialités scientifiques www.vuibert.fr En couverture : Escalier en double spirale de Giuseppe Momo, Vatican.

© Sylvain Sonnet/Corbis

Maquette intérieure : Sébastien Mengin/Edilibre.net

Composition et mise en page de l'auteur

Couverture : Linda Skoropad/Prescricom

ISBN 978-2-311-00273-7

Registre de l'éditeur : 595

La loi du 11 mars 1957 n'autorisant aux termes des alinéas 2 et 3 de l'article 41, d'une part, que les " copies ou reproductions

strictement réservées à l'usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective » et, d'autre part, que les analyses et les

courtes citations dans un but d'exemple et d'illustration, " toute représentation ou reproduction intégrale, ou partielle, faite sans le

consentement de l'auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause, est illicite » (alinéa 1 er de l'article 40). Cette représentation ou

reproduction, par quelque procédé que ce soit, constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du

Code pénal. Des photocopies payantes peuvent être réalisées avec l'accord de l'éditeur. S'adresser au Centre français d'exploitation du

droit de copie :20 rue des Grands Augustins, F-75006 Paris. Tél. : 01 44 07 47 70 © Vuibert - novembre 2011 - 5, allée de la 2 e

DB 75015 Paris

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ii belhaj 2011/10/20 16:16 page III #1 ii i ii iTable des matières

Introduction VII

Analyse 1

1 Les fonctions numériques d'une variable réelle3

1.1 Limite d'une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.5 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.6 Diérentielle et approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.7 Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2 Développements limités29

2.1 Développements limités au voisinage de zéro . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2 Opérations sur les développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3 Fonctions équivalentes, dénition et opérations . . . . . . . . . . . . . 37

2.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3 Fonctions réelles à deux variables43

3.1 Généralités et dénitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2 Fonctions réelles à deux variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4 Optimisation et recherche d'extremums de deux variables53

4.1 Cas de recherche sans contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.2 Cas de recherche sous contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

ii belhaj 2011/10/20 16:16 page IV #2 ii i ii iIVTable des matières

5 Intégration59

5.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5.2 Méthodes d'intégration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.3 Calcul pratique des intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Algèbre67

6 Polynômes et fractions rationnelles69

6.1 Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.2 Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

6.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

7 Espaces vectoriels81

7.1 L'espace vectorielRn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

7.2 Espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

7.3 Combinaisons linéaires, sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . 84

7.4 Indépendance linéaire, base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

7.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

8 Applications linéaires, matrices91

8.1 Applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

8.2 Calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

8.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

9 Systèmes d'équations linéaires, déterminant111

9.1 Systèmes d'équations linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

9.2 Le déterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

9.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

10 Diagonalisation d'une matrice carrée125

10.1 Élément propre d'une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

10.2 Diagonalisation d'une matrice carrée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

10.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

Corrigés133

Corrigés du chapitre 1135

Corrigés du chapitre 2147

Corrigés du chapitre 3153

Corrigés du chapitre 4161

Corrigés du chapitre 5169

ii belhaj 2011/10/20 16:16 page V #3 ii i ii iTable des matièresV

Corrigés du chapitre 6173

Corrigés du chapitre 7175

Corrigés du chapitre 8179

Corrigés du chapitre 9187

Corrigés du chapitre 10191

ii belhaj 2011/10/20 16:16 page VI #4 ii i ii i ii belhaj 2011/10/20 16:16 page VII #5 ii i ii iIntroduction

L'ouvrageLe but de ce cours est d'introduire de façon simple et élémentaire les techniques et les

résultats mathématiques de bases en algèbre et en analyse que l'étudiant en première année de SG (Sciences de Gestion), SE (Sciences Économique), et IAG (Informatique Appliquée à la Gestion) doit maîtriser et qu'il pourra réutiliser dans d'autres cours

d'enseignement. Il ne s'agit pas de démontrer les théorèmes ou les résultats énoncés

mais d'expliquer leurs utilisations et leurs règles de calcul. À la n de chaque chapitre, de nombreux exercices corrigés, permettant aux étudiants de tester leurs connaissances, complètent et illustrent le cours.

L'auteur

Docteur en mathématiques appliquées, Skander Belhaj est spécialiste d'algèbre ma- tricielle rapide. Chercheur à l'école nationale d'ingénieurs de Tunis (ENIT-LAMSIN) et à l'université de Franche-Comté (Besançon), il enseigne actuellement à l'institut supérieur des arts du multimédia de la Manouba (université de la Manouba, Tunisie) et l'université libre de tunis. Il a été élu directeur de département des méthodes quantitatives et aussi enseignant à la faculté des Sciences juridiques, économiques et de gestion de Jendouba (Tunisie).

Le public

Étudiants en première année des Licences de Sciences de Gestion, Sciences Économique et Informatique Appliquée à la Gestion (hors prépas hec). ii belhaj 2011/10/20 16:16 page VIII #6 ii i ii i ii belhaj 2011/10/20 16:16 page 1 #7 ii i ii iPremière partie

Analyse

ii belhaj 2011/10/20 16:16 page 2 #8 ii i ii i ii belhaj 2011/10/20 16:16 page 3 #9 ii i ii iCHAPITRE 1 Les fonctions numériques d'une variable réelle Soit f:Df x! 7!? f(x)une fonction numérique d'une variable réelle telle queDf=fx2?= f(x)a un sensg est le domaine de dénition def.

1.1 Limite d'une fonction

Dénition 1.1.1

On dit qu'une fonctionf, dénie au voisinage1dex?2?, sauf peut être en x?;admet une limitel2?quandxtend versx?et on écrit : limx!x

0f(x) =l

si8 >0;9" >0;8x2?tels quejxx?j< "alorsjf(x)lj< :

Remarque 1.1.1

Une fonction peut avoir une limite quandxtend versx?sans qu'elle soit dénie enx?.

Remarque 1.1.2

Dire quextend versx?c'est-à-dire quexs'approche dex?sans jamais l'atteindre. Remarque 1.1.3On dénit la limite à droite et à gauche defcomme suit : ∞. L?m?te à dro?te : lim x x 0x>x

0f(x) =lsi8 >0;9" >0;8x2?tels que0< xx?< "alorsjf(x)lj< ;

et on note lim x x+

0f(x) =l:

1 Un voisinage d'un pointx?2?est un intervalle ouvert qui contient ce point. ii belhaj 2011/10/20 16:16 page 4 #10 ii i ii i4 Chapitre 1. Les fonctions numériques d'une variable réelle

2. Limite à gauche :

lim x x(x0;? >0;?x?Rtels que0< x0-x < alors|f(x)-l|< ; et on note lim x x (f(x) =l: Pro⎷os?t?o\ ∞.∞.∞La limite d'une fonction, lorsqu'elle existe, est unique.

Preuve.Supposons que

lim x x(f(x) =letlimx!x(f(x) =l0avecl?=l0:Ainsi,? >0;? >0;?x?Rtels que|x-x0|< alors|f(x)-l|< et

0>0;?0>0;?x?Rtels que|x-x0|< 0alors|f(x)-l0|< 0:On a

<+|f(x)-l0||{z}

0:Alors,|l-l0|< +0|{z}

00: Pour00<<2, on peut écrire|l-l0|< 00. Donc,l=l0:Ce qui est absurde.? ∞.∞.∞ O⎷érat?o\s sur les l?m?tes

Supposons quelimx!x

(f(x) =l1etlimx!x (g(x) =l2et soit?R, alors on a :

1.limx!x((f+g)(x) =l1+l2

2.limx!x

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