[PDF] ESCP Business Ces annales corrigées de

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CONCOURS APRÈS CLASSES

PRÉPARATOIRES

Annales des épreuves orales

de mathématiques 2021

Avant-propos

Ces annales corrigées de mathématiques des épreuves orales du concours ESCPregroupent

les exercices posés en 2021 ainsi que leurs corrigés dans les options scientifique et littéraire B/L.

Cet ouvrage devrait permettre aux futurs candidats une meilleure préparation à l"épreuve orale de ma-

thématiques de ESCP et fournir une aide efficace aux enseignants des classes préparatoires économiques et

commerciales.

De plus, ces annales constituent également un outil pouvant faciliter la préparation aux épreuves écrites de

mathématiques du concours quelle que soit leur option (scientifique, économique, littéraire B/L ou technolo-

gique); la plupart des thèmes abordés dans les sujets d"oral se retrouvent en effet, peu ou prou, dans les sujets

de l"écrit.

Certains exercices publiés dans ces annales sont assez longs : ce sont des sujets d"étude et le jury n"en

attend pas nécessairement une résolution complète.

Les énoncés et corrigés des exercices ont été regroupés en quatre rubriques : analyse, algèbre, probabilités

et sujets de l"option littéraire B/L.

Chaque candidat doit exposer en une vingtaine de minutes son sujet principal préparé en salle et résoudre

directement au tableau, pendant le temps restant, une courte question dont on trouvera, dans cet ouvrage, un

échantillon.

On peut également trouver le contenu des annales sur le site internet de ESCP (escp.eu); aller dans

Programmes and Training, puisPremaster year, puisADMISSIONSetLE CONCOURS PREPA

ESCP BUSINESS SCHOOL

, puis dans l"étape 2, lesAnnales des épreuves orales de Mathématiques.

Enfin ces annales n"auraient pu voir le jour sans la fidèle collaboration de tous les examinateurs de l"oral de

mathématiques de ESCP . Nous les en remercions.

Frank BOURNOIS, Directeur Général ESCP.

Muriel GRANDJEAN, Responsable des Admissions ESCP. Claude MENENDIAN, Responsable des épreuves orales de mathématiques du concours ESCP. 1

2ESCP 2021 - Oral

Chapitre 1

Algèbre

Exercice 1.1

Pour tout entier naturelk, on noteRk[X]l"ensemble des polynômes réels de degré au plusk. Soit un entiern>1. Soientetles endomorphismes deRn[X]définis par :

8P2Rn[X]; (P) =P(X+ 1)et(P) =P(X+ 1)P:

1.Déterminer le degré de(P), lorsqueP=Xk, aveck>0. Pour tout polynôme non constantP2Rn[X],

exprimer le degré et le coefficient de plus haut degré de(P)en fonction de ceux deP. 2. P ourtout j2J1;nK, montrer que :Ker(j) =Rj1[X]etIm(j) =Rnj[X]. 3. P ourk2NetP2Rn[X], exprimerk(P)comme combinaison linéaire desj(P)(j2J0;kK). 4.

Soit P2Rn1[X]. Montrer que :nX

j=0(1)njn j

P(j) = 0:

5. Dans cette question, on veut montrer qu"il n"existe pas d"endomorphismeRn[X]u!Rn[X]tel que uu=. On suppose, par l"absurde, qu"une telle applicationuexiste. (a)

Mon trerque uet2commutent.

(b) En déduire que R1[X]est stable par l"applicationu. (c)

Conclure.

3

4ESCP 2021 - OralSolution de l"exercice 1.1

1.SiPest constant, alors(P) = 0. Sik>1etP=Xk,P(X+ 1)P(X)est de degrék1. De manière

générale, siP=dX k=0a kXkavecd= deg(P)>1, on a :

P(X+ 1)P=ad(X+ 1)dXd+ad1(X+ 1)d1Xd1+d2X

k=0a kk(X+ 1)kXk =add1X k=0a dd k X k+ad1d2X k=0a dd1 k X k+d2X k=0a kk(X+ 1)kXk =dadXd1+add2X k=0 d k X k+ad1d2X k=0 d1 k X k+d2X k=0a kk(X+ 1)kXk |{z} de degré inférieur àd2(nul sid= 1):

Doncdeg((P)) = deg(P)1etcd((P)) = deg(P)cd(P).

2. Mon tronspar récurrence sur j2J1;nKla relation :Ker(j) =Rj1[X]. C"est vrai pourj= 1, car d"après la question 1 :(P) = 0()Pconstant.

Si la relation est vraie pourj2J1;n1K, on a :

P2Ker(j+1)()j((P)) = 0

()deg((P))6j1carKer(j) =Rj1[X](H.R.) ()deg(P)6jcardeg((P)) = deg(P)1 ()P2Rj[X]:

AinsiKer(j+1) =Rj[X].

Commedeg((P)) = deg(P)1, par récurrence évidente, on adeg(j(P)) = deg(P)j,

d"oùj(P)2Rnj[X], et doncIm(j)Rnj[X]. On conclut à l"égalité des dimensions en utilisant le

théorème du rang. Ainsi,Im(j) =Rnj[X]. 3. Commeetidcommutent, la formule du binôme donne :k(P) = (Id)k(P) = kX j=0 (1)kjk j j(P).

4.SiP2Rn1[X] =Ker(n), alorsn(P) = 0. Commej(P) =P(X+j), en évaluant en0l"égalité de la

question précédente, on obtient l"égalité voulue. 5. (a) u2=u[u2u2] =u5= [u2u2]u=2u. (b) Soit P2R1[X] = Ker2, alors, d"après la question précédente :2(u(P)) =u(2(P)) =u(0) = 0:

Doncu(P)2Ker(2) =R1[X].

(c) CommeR1[X]est stable paruet par, on a deux endomorphismes induitsu0et" tels quev02=0. En prenant les matrices dans la base(1;X)deR1[X], on a :U2=0 1 0 0

Or il n"existe pas de telle matriceUcar elle ne peut être de rang 0 ou 2, (sinonU2aussi) et si elle

était de rang1, commeImU2ImU, on auraitImU=vect1 0 , ce qui entraîneraitU2= 0.

On obtient donc une absurdité.

CHAPITRE 1. ALGÈBRE5Exercice 1.2Soitnun entier supérieur ou égal à2. On noteraMn(R)l"ensemble des matrices carrées d"ordrenà

coefficients réels. On dit qu"une matriceAdeMn(R)est2-symétriquesi la matriceA2est symétrique.

1.

SoitA2 M2(R). Caractériser à l"aide des coefficients deAle fait queAest2-symétrique. Donner un

exemple de matrice réelle carrée d"ordre2qui est2-symétrique mais qui n"est pas symétrique.

2. Dans cette question, on considère une matrice A2 Mn(R)(n>2). (a) Vérifier que si Aest symétrique, alors elle est2-symétrique. (b) On supp oseque Aest inversible et2-symétrique. Montrer queA1est2-symétrique. (c) On suppose maintenant queAest antisymétrique (c"est-à-dire queAest la transposée deA).

Montrer queAest2-symétrique.

3. Dans cette question, on considère deux matrices AetBdeMn(R)qui sont2-symétriques. (a) On suppose queAetBcommutent. Vérifier que le produitABest une matrice2-symétrique. Montrer que ce n"est plus vrai en général si l"on ne suppose plus queAetBcommutent. (b)

Donner une condition nécessaire et suffisante pour que la sommeA+Bsoit une matrice2-symétrique.

(c)Donner un exemple oùAetBsont2-symétriques et commutent, mais telles queA+Bne soit pas

2-symétrique.

4. Six2Rn, on noteXla matrice colonne associée àx. On munitRnde son produit scalaire canonique (hx;yi=tXY). On se donne une matrice2-symétriqueA2 Mn(R). On notefl"endomorphisme deRn

qui lui est canoniquement associé et on désigne par Sp(f)l"ensemble des ses valeurs propres (réelles).

(a) Justifier le fait que l"endomorphisme f2est symétrique. (b) On noteSp(f2)sous la formeSp(f2) =f1;;mg(i6=jsii6=j) avecm2 f1;;nget on

désigne parEile sous-espace propre def2associé à la valeur proprei. Justifier le fait queRnest

la somme directe orthogonale des sous-espaces(Ei)16i6m. (c) Soiti2 f1;;mg. Montrer que le sous-espaceEiest stable parf. Vérifier que la restrictionfi defàEi, considérée comme endomorphisme deEi, admetX2icomme polynôme annulateur. (d) On suppose maintenant que tous lesisont strictement positifs et on posei=p i. Montrer que Eiest la somme directe vectorielle du noyau defiIdet du noyau def+iId. En déduire que fest diagonalisable. Est-il forcément symétrique? (e) On fait désormais comme hypothèses queSp(f2)R+et queSp(f)\Sp(f) =;. Montrer que dans ce casfest un endomorphisme symétrique.

6ESCP 2021 - OralSolution de l"exercice 1.2

1.

P osons

A=a b c d

:La conditionA2=t(A2)est réalisée si et seulement sia=douc=b. Comme matrice réelle carrée

d"ordre2qui est2-symétrique mais qui n"est pas symétrique, on peut prendre par exemple A=0 1 0 0 ouB=1 1 11 2. (a) Si Aest symétrique, on a clairementt(A2) = (tA)2=A2; la matriceAest donc2-symétrique. (b)

SiAest inversible et2-symétrique, les règles de calcul avec la transposition entraînent quet(A1)2=t(A2)1= (A2)1= (A1)2et par suite queA1est2-symétrique.

(c) Si Aest antisymétrique, on at(A2) = (tA)2= (A)2=A2; il s"ensuit queAest2-symétrique. 3. (a) Supposons queAetBcommutent et sont2-symétriques, alors on at(AB)2=t(ABAB) =t(A2B2) = t(B2)t(A2) =B2A2= (AB)2. Par conséquent,ABest2-symétrique. On peut prendre les deux matricesAetBdonnées en 1. puisque la matrice AB=11 0 0 n"est pas2-symétrique d"après les conditions trouvées dans la première question. (b) La sommeA+Best2-symétrique si et seulement siA2+B2+AB+BA= (A+B)2=t(A+B)2= tA2+tB2+t(AB+BA) =A2+B2+t(AB+BA). On voit donc qu"il est nécessaire et suffisant que la matriceAB+BAsoit symétrique. (c) D"après la question précédente, on voit qu"il suffit de trouver deux matricesAetBqui sont

2-symétriques et commutent, mais telles que le produitABne soit pas symétrique. Prenons une

matriceAqui est2-symétrique mais pas symétrique (qui existe d"après 1.); alors la matriceB=A+I

convient puisqueAB=A2+Ane peut pas être symétrique. 4. (a) On a f2(x);y=t(A2X)Y=tXt(A2)Y=tXA2Y= x;f2(y); il s"ensuit quef2est symétrique. (b) Commef2est symétrique dans l"espace euclidienRn, ce dernier est la somme directe orthogonale des sous-espaces(Ei)16i6m. (c) Six2Ei, il vientf2(f(x)) =f(f2(x)) =if(x), donc le sous-espaceEiest stable parf. Par construction, il est clair queX2iest un polynôme annulateur defi. (d) Six2Ei, commeX2iest un polynôme annulateur defi, une analyse synthèse simple montre que la décompositionx= 1=(2i)[(ixf(x)) + (f(x) +ix)]oùixf(x)(resp.f(x) +ix) appartient au noyau defiId(resp. au noyau def+iId) est unique. Ceci répond à la première partie de la question. On peut donc trouver une base deEiformée de vecteurs propres def. Par concaténation, on construit une base deRnconstituée de vecteurs propres defqui est

donc diagonalisable. Pour répondre à la dernière question, on voit que le fait quefsoit symétrique

est équivalent au fait que la décomposition considérée précédemment deEien somme directe est

forcément orthogonale. Cela paraît faux. Comme contre-exemple on peut prendre A=1 1 01 qui n"est évidemment pas symétrique mais dont le carré est l"identité. (e) On remarque que les hypothèses impliquent que chaqueiest strictement positif. L"hypothèse Sp(f)\Sp(f) =;et la question précédente impliquent que chaqueEiest lui-même un sous- espace-propre. En effet,Eiest soit le noyaufiId, soit le noyau def+iId. L"espaceRnest alors la somme directe orthogonale des sous-espaces propres def. L"endomorphismefest donc nécessairement symétrique.

CHAPITRE 1. ALGÈBRE7Exercice 1.3SoitEun espace euclidien de dimension supérieure ou égale à1muni de son produit scalaire noté(;)

et de sa norme euclidienne canoniquek k. On désigne parL(E)l"ensemble des endomorphismes deE, par

Idl"endomorphisme identité surEet parl"opération de composition définie dansL(E). On noteKer(w),

Im(w)etSp(w)respectivement le noyau, l"image et l"ensemble des valeurs propres réelles d"un endomorphisme

w2 L(E).

Soientuetv2 L(E).

1. Soit un réel non nul. Montrer que2Sp(uv)si et seulement si2Sp(vu). 2.

Mon trerq ue02Sp(uv)si et seulement si02Sp(vu).

3.

Que p eut-onconclure sur Sp(uv)etSp(vu)?

Nous supposons désormais pour le reste de l"exercice queuetvsont des endomorphismes symétriques

deL(E)quicommutent. 4. Soit 2Sp(u). On noteF= Ker(uId). Montrer queFetF?sont stables paruetv. 5.

Montrer que les endomorphismesuetvsont co-diagonalisables dans une base orthonormée, c"est-à-dire

qu"il existe une base orthonormée de vecteurs propres commune àuet àv. A cette fin, on pourra faire une récurrence sur la dimension deE.

8ESCP 2021 - OralSolution de l"exercice 1.3

1.Par symétrie suruetv, pour prouver l"équivalence, il suffit de montrer l"assertion :2Sp(uv)implique

2Sp(vu). Soit2Sp(uv), il existe alorsx6= 0tel que

u(v(x)) =x(1):quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45

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