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Est-ce que les maths sont dans le tronc commun ?
Rappel : Supprimées par la réforme du bac en 2019, les mathématiques ont été réintégrées, sous forme d'option, dans le tronc commun des enseignements de première générale à la rentrée 2022.- Les mathématiques de retour (mais non obligatoire) en Première à la rentrée 2022. En 2019, Jean-Michel Blanquer avait supprimé 1h30 de mathématiques du tronc commun. C'est ce créneau qui est désormais rétabli, sans être obligatoire pour l'instant. POLITIQUE - Prendre un nombre donné d'heures de maths.
DERNIÈRE IMPRESSION LE31 mars 2015 à 14:11
Lois de probabilité à densité
Loi normale
Table des matières
1 Lois à densité2
1.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Densité de probabilité et espérance mathématique. . . . . . . . . . 2
1.3 Loi uniforme : densité homogène. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.2 Espérance mathématique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.3 Application : méthode de Monte-Carlo. . . . . . . . . . . . 4
1.4 Loi exponentielle : loi sans mémoire. . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4.2 Loi sans mémoire ou sans vieillissement. . . . . . . . . . . . 6
1.4.3 Espérance mathématique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4.4 Un exemple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.5 Application à la physique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Lien entre le discret et le continu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2 La loi normale9
2.1 Du discret au continu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 La loi normale centrée réduite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.1 La densité de probabilité de Laplace-Gauss. . . . . . . . . . 9
2.2.2 Loi normale centrée réduite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.3 Calcul de probabilités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.4 Espérance et variance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2.5 Probabilité d"intervalle centré en 0. . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Loi normale générale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3.1 Loi normale d"espéranceμet d"écart typeσ. . . . . . . . . 13
2.3.2 Influence de l"écart type. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3.3 Approximation normale d"une loi binomiale. . . . . . . . . 15
2.3.4 Théorème Central-Limit (hors programme). . . . . . . . . . 17
PAULMILAN1 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
1 Lois à densité
1.1 Introduction
Lorsque l"on s"intéresse à la durée d"une communication téléphonique, à la durée
de vie d"un composant électronique ou à la température de l"eau d"un lac, la va- riablealéatoireXassociée au temps ou à la température, peut prendre une infinité de valeurs dans un intervalle donné. On dit alors que cette variableX est continue (qui s"oppose à discrète comme c"est le cas par exemple dans la loi binomiale). On ne peut plus parler de probabilité d"événements car les événements élémen- On contourne cette difficulté en associant à la variable X un intervalle deRet en définissant une densité de probabilité.1.2 Densité de probabilité et espérance mathématique
Définition 1 :On appelledensité de probabilitéd"une variable aléatoire continue X, toute fonctionfcontinue et positive sur un intervalle I ([a;b],[a;+∞[ ouR) telle que :P(X?I) =?
(I)f(t)dt=1 Pour tout intervalle J= [α,β]inclus dans I, on a :P(X?J) =?αf(t)dt
D"autre part la fonctionFdéfinie par :F(x) =P(X?x)est appelée lafonction de répartitionde la variableXF(x) =?
x af(t)dtou lima→-∞? x af(t)dtRemarque :
Comme la fonctionfest continue et
positive, la probabilitéP(X?I)cor- respond à l"aire sous la courbeCf.Elle vaut alors 1 u.a.
La probabilitéP(X?J), avec J=
[α;β], correspond à l"aire du domaine délimité parCf, l"axe des abscisse et les droites d"équationx=αety=β. 1P(X?J)P(X?I)
1 u.a.
Cf βO Comme la probabilité que X prenneune valeur isolée est nulle,que l"in- tervalle J soit ouvert ou fermé im- porte peu. Ainsi :P(X?[α,β]) =P(X?[α,β[)
=P(X?]α,β]) =P(X?]α,β[) 1 F(x)C f x OPAULMILAN2 TERMINALES
1. LOIS À DENSITÉ
L"écriture(X?I)est une notation abusive carXn"est pas un nombre, mais la fonction qui associe une issue à un nombre. Elle prolonge la notation déjà utilisée pour des variables discrètes(X=a) Définition 2 :L"espérance mathématique d"une variable aléatoire continue X, de densitéfsur I, est :E(X) =?
(I)t f(t)dt1.3 Loi uniforme : densité homogène
1.3.1 Définition
Définition 3 :Une variable aléatoire X suit une loi uniforme dans l"intervalle I= [a,b], aveca?=b, lorsque la densitéfest constante sur cet intervalle. On en déduit alors la fonctionf: f(t) =1 b-a ConséquencePour tout intervalle J= [α,β]inclus dans I, on a alors :P(X?J) =β-α
b-a=longueur de Jlongueur de ILa probabilité est donc proportionnelle
à la longueur de l"intervalle considéré.
1 b-a aαβbP(X?J) O1 u.a.
Exemple :Onchoisitunnombreréelauhasarddansl"intervalle[0;5].Onassocie àXle nombre choisi. Quelle est la probabilité que ce nombre soit supérieur à 4? compris entreeetπ?P(X>4) =1
5P(e?X?π) =π-e5?0,085
1.3.2 Espérance mathématique
Théorème 1 :SiXsuit une loi uniforme sur un intervalle I= [a;b], aveca?=b, alors son espérance mathématique vaut :E(X) =a+b
2 Démonstration :D"après la définition de l"espérance, on a :E(X) =?
b at b-adt=?t22(b-a)? b a =b2-a22(b-a)=(b-a)(b+a)2(b-a)=b+a2PAULMILAN3 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
Remarque :Dans notre exemple précédent, on trouve : E(X) =2,5 ce qui n"a rien de surprenant!1.3.3 Application : méthode de Monte-Carlo
Méthode de Monté-Carlo: méthode probabiliste très utilisée pour la résolution approchée de problèmes variés allant de la théorie des nombres à la physique mathématique en passant par la production industrielle. Application: Calcul d"une valeur approchée du nombreπPar la méthode du rejet :On admet,
lors du tirage au hasard d"un point dans un carré de côté 1, que la pro- babilité de tirer un point dans un do- portionnelle à l"aire de ce domaine.Comme il s"agit du carré unité, cette
probabilité est donc égale à l"aire du domaine.11Zonede rejet
zone d"acceptation y?⎷ 1-x2 O On tire un grand nombre de points (par exemple 10 000). D"après laloi des grands nombres, la probabilitépd"avoir un point dans la zone d"acceptation vaut : p=nombre de points dans la zone d"acceptation nombre total de points pcorrespond à l"aire du quart du cercle unité soitπ 4On peut alors écrire l"algorithme suivant :
Variables:N,D,I: entiers
X,Y: réels dans [0; 1]
Entrées et initialisation
Effacer l"écran
LireN0→D
Traitement
pourIde 1 àNfaire random(0,1)→X random(0,1)→Y siY?⎷1-X2alors
D+1→D
Tracer le point(X,Y)
fin finSorties: AfficherD, 4×D
NOn obtient le graphe suivant pour
N=10 000 :
On trouve les résultats suivants :
D=7 893π?3,157 2
La précision est de l"ordre de
1 ⎷N?0,01PAULMILAN4 TERMINALES
1. LOIS À DENSITÉ
Par laméthode de l"espérance:
On choisit au hasardNvaleurs de
l"abscisseXd"un point M dans [0;1].On calcule la sommeSdesNvaleurs
prises parf(X) =⎷ 1-X2.La moyenne desNvaleurs def(X)
est une valeur approchée de la va- leur moyenneμdefdonc de l"aire du quart de cercle.On trouve alors pourN=10 000 :
π?3,151 5
Variables:N,I: entiers
X,S,préels
Entrées et initialisation
LireN0→S
Traitement
pourIde 1 àNfaire random(0,1)→XS+⎷
1-X2→S
finS/N→p
Sorties: Afficher 4p
Poura=0,b=1 etf(t) =⎷1-t2
μ=1
b-a? b af(t)dt?μ=? 10?1-t2dt=π4?N∑
i=1f(xi)N1.4 Loi exponentielle : loi sans mémoire
1.4.1 Définition
Définition 4 :Une variable aléatoire X suit une loi exponentielle de paramètre réelλ>0 lorsque sa densité est la fonctionfdéfinie sur[0;+∞[par : f(t) =λe-λtConséquenceOn peut vérifier que :
la fonction de répartitionFvaut :F(x) =P(X?x) =1-e-λxcarF(x) =P(X?x) =?
x0λe-λtdt=?
-e-λt?x0=-e-λx+1
fest bien une densité de probabilité, car la fonctionfest continue, positive et : lim x→+∞F(x) =limx→+∞1-e-λx=1P(X?a) =F(a) =1-e-λa
Par l"événement contraire, on a :P(X>a) =1-P(X?a) =1-F(a) =e-λa Si X se trouve dans[a,b], on a :P(a?X?b) =F(b)-F(a) =e-λa-e-λbP(X?a)
P(a?X?b)P(X>b)
O abPAULMILAN5 TERMINALES
TABLE DES MATIÈRES
1.4.2 Loi sans mémoire ou sans vieillissement
Théorème 2 :La loi exponentielle est une loisans mémoirec"est à dire que : ?t>0 eth>0 on aPX?t(X?t+h) =P(X?h) ROCDémonstration :On applique la formule des probabilités conditionnelles : PX?t(X?t+h) =P(X?tet X?t+h)
P(X?t)=P(X?t+h)P(X?t)
e-λ(t+h) e-λt=e-λt×e-λhe-λt =e-λh=P(X?h) Remarque :On dit que la durée de vie d"un appareil est sans mémoire ou sans vieillissement lorsque la probabilité que l"appareil fonctionne encorehannées supplémentaires sachant qu"il fonctionne à l"instantt,ne dépend pas det. On admettra que la loi exponentielle est la seule loi sans vieillissement Ceci est valable si l"appareil n"est pas sujet à un phénomène d"usure. On retrouve cette propriété en ce qui concerne la durée de vie d"un noyau radioactif.1.4.3 Espérance mathématique
Théorème 3 :Si X suit une loi exponentielle de paramètreλalors son espé- rance mathématique vaut :E(X) =1 ROCDémonstration :D"après la définition, en posantg(t) =tf(t) =λte-λt, on a :E(X) =limx→+∞?
x0g(t)dt
Il faut trouver une primitive de la fonctiong, pour cela on dérive la fonctiong g ?(t) =λe-λt-λ2te-λt=λe-λt-λg(t)?g(t) =e-λt-1λg?(t)
On a alors :
x0g(t)dt=?
x 0? e -λt-1λg?(t)?
dt=? -1λe-λt-1λg(t)? x 0 1 λ?-e-λx-g(x) +1+g(0)?=1λ?-e-λx-λxe-λx+1? On pose :Y=-λx, d"où six→+∞alorsY→ -∞On a alors : lim
x→+∞e-λx=limY→-∞eY=0 et limx→+∞λxe-λx=limY→-∞-YeY=0Par somme et produit, on a alors : lim
x→+∞? x0g(t)dt=1
PAULMILAN6 TERMINALES
1. LOIS À DENSITÉ
1.4.4 Un exemple
La durée de vie, en année, d"un composant électronique est une variable aléatoire notéeTqui suit une loi sans vieillissement de paramètreλ. Une étude statistique a montré que pour ce type de composant, la durée de vie ne dépasse pas 5ans avec une probabilité de 0,675.1) Calculer la valeurλarrondie à trois décimales.
2) Quelle est la probabilité, arrondie à trois décimales, qu"un composant de ce
type dure : a) moins de 8 ans b) plus de 10 ans c) au moins 8 ans sachant qu"il fonctionne encore au bout de trois ans3) Quelle est l"espérance de vie de ce composant.
1) SiTvérifie une loi sans vieillissement,Tsuit donc une loi exponentielle. Si la
durée de vie ne dépasse pas 5 ans avec une probabilité de 0,675, ona donc :P(T?5) =?
50λe-λtdt=?
-e-λt?50=-e-5λ+1 On a alors :-e-5λ+1=0,675?e-5λ=0,325? -5λ=ln0,325quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45[PDF] faute et erreur en didactique
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