[PDF] Planche dexercices 10 Exercice 1. Résoudre (E) cos(4x) + cos(2x

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Planche d'exercices 10

Exercice 1.Resoudre(E)?cos(4x)+cos(2x)=sin(x)-sin(5x). Exercice 2.Resoudre dansRl'inequation suivante : cos(x)+cos(2x)+cos(3x)≥0. On donnera l'intersection de l'ensembleSdes solutions avec l'intervalle[0;2[. Exercice 3.Resoudre les deux equations 2cos(x)-3sin(x)=4(1)et 2cos(x)-3sin(x)=1(2) Exercice 4.Soitfdenie par?x?R,f(x)=cos(3x)cos3(x). a) Sur quel ensemble sut-t-il d'etudierf(le plus petit sera le mieux, on mentionnera les operations geometriques qui permettent d'en deduire le graphe defsurRentier). b) Determiner le tableau de variation defsur l'ensemble d'etude choisi. c) Determiner une primitive def.

Exercice 5.Determiner limx→?6tan(3x2

)1cos(3x). Exercice 6.Determiner : limx→0?1-cos(x)?sin(x), Exercice 7.Determiner un equivalent en 0 de 1-cos5(x).

Exercice 8.Soitf?x↦ex⎷3

sin(x). Mq?n?N,?x?R,f(n)(x)=2nex⎷3 sin(x+n6

Exercice 9.a) Lineariser sin3(x). b) On poseSn=n

k=13ksin3(3 k). (i) Calculer explicitementSn. (ii) Determiner lim n→+∞Sn. Exercice 10.Lineariser : a)f?↦sin4(), b)g?↦cos3()sin(). c) En deduire des primitives pour les fonctions du a) et b)

Exercice 11(Indispensable).Soit?R.

a) Montrer que?n?N;???2Z;1+ei+e2i+⋯+ein=sin(n+12 )sin(2 )ein2 b) En deduire une forme factorisee deCn=n k=0cos(k)etSn=n k=0sin(k). c) Inspire par ce qui precede, donner une formule pourBn=n k=0?n k?cos(k). d) Soit?Rtel que cos()≠0.

CalculerC=n

k=0cos(k)cos k().1

Planche d'exercices 10

Solution 1a) cos(4x)+cos(2x)=2cos(3x)cos(x)et sin(x)-sin(5x)=2cos(3x)sin(-2x). Et cos(x)=sin(-2x)?sin(?2-x)=sin(-2x)?⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩?2-x≡-2x[2]ou oux≡-?6[2?3](2). Par commodite, exprimons toutes les solutions de (2) modulo 2:la congruence modulo2?3 donne trois representants modulo2, que l'on choisit dans[0;2[vue la question nale (2)?(x≡3?2[2])ou(x≡?2[2])ou(x≡7?6[2])ou(x≡11?6[2]) (2′). D'autre part, cos(3x)=0?3x≡?2[]?x≡?6[?3] (3). La encore la congruence modulo?3=2?6 donne 6 representants modulo 2: xsolution de 3 ssixest congru modulo 2a?6;?2;5?6;7?6;3?2;11?6(3′) NotonsSl'ensemble des solutions de(E). Par(1);(2′);(3′), on a (en remarquant que toutes les solutions de (2') sont aussi solution de (3') :

S∩[0;2[={?6;?2;5?6;7?6;3?2;11?6}.

Solution 2Notonsf(x)=cos(x)+cos(2x)+cos(3x).

La fonctionfainsi denie est 2-periodique. Il sut donc d'etudier l'inequation sur[0;2[: l'ensemble des solutions s'en deduira par translations successives de 2k,k?Z. Par ailleurs, on sait que cos(x)+cos(3x)=2cos(2x)cos(x).

On a doncf(x)=cos(2x)[2cos(x)+1].

On sait que 2cos(x)+1≥0?cos(x)≥-1?2(1).

Dans[0;2[, l'ensemble des solutions de(1)est :[0;2?3]?[4?3;2[.

D'autre part : pourx?[0;2[, 2x?[0;4[et donc :

Puis tableau de signe... qui donne pourx?[0;2[:f(x)≥0?x?[0;?4]?[2?3;3?4]?[5?4;4?3]?[7?4;2[Solution 3Methode : on transforme le premier membre en une seule fonction trigonometrique.

Par factorisation par⎷2

2+32=⎷4+9=⎷13, on a :f(x)=2cos(x)-3sin(x)=⎷13(cos(x)2⎷13

sin(x)3⎷13 On sait alors qu'il existe un unique'?[0;2[tel que cos(')=2⎷13 etsin(')=3⎷13 . En fait comme cos(')et sin(')sont positifs,'?]0;?2[et donc'=Arccos(2⎷13 Alors ?l'equation (1)f(x)=4 equivaut a⎷13cos(x+')=4 ce qui equivaut a cos(x+')=4⎷13 Or

4⎷13

>1 donc cette equation n'a pas de solution. ?l'equation (2)f(x)=1 equivaut a⎷13cos(x+')=1 ce qui equivaut a cos(x+')=1⎷13

Cette derniere equation equivaut a

)[2]ou x+'≡-Arccos(1⎷15 ) [2]. Finalement l'equation de depart est doncequivalente a )+Arccos(1⎷13 )[2]ou x≡-Arccos(2⎷13 )-Arccos(1⎷13 ) [2]. Solution 4a) La fonctionfest 2periodique et paire donc etude sur[0;]. En eet, une fois qu'on aura le graphe def?[0;]par symetrie d'axe(Oy)on aura le graphe def?[-;]puis le reste de la courbe s'obtient par translation de vecteur(2k;0)pourk?Z.2

Planche d'exercices 10

b) Derivee :f′(x)=-3sin(3x)cos3(x)-3cos(3x)sin(x)cos2(x)=-3cos2(x)(sin(3x)cos(x)+ cos(3x)sin(x))=-3cos2(x)sin(4x). Donc le signe def′(x)est celui de sin(4x)etf′change de signe en?4;?2;3?4;.

D'ou le tableau de variation :

?fdecroissante sur[0;?4]avecf(0)=1,f(?4)=-1?4 ?fcroissante sur[?4;?2]avecf(?2)=0. ?fdecroissante sur[?2;3?4]avecf(3?4)=-1?4 ?fcroissante sur[3?4;]avecf()=1.

Pour illustration : le graphe

A ce stade : on peut revenir sur le a) :on aurait pu reduire encore l'ensemble d'etude car la courbe est aussi symetrique par rapport aD?x=?2.Cela se demontre en montrant quef(?2-x)=f(?2+x)pour toutx?R. Mieux, une autre facon de voir qu'on peut etudier sur[0;?2]:voir des le depart que la fonction est-periodique.! c)(M1) en deux temps :On linearise d'abord cos3(x). Si on se souvient cos(3x)=4cos3(x)-3cos(x), on a cos3(x)=14 cos(3x)+34 cos(x).

Mais alorsf(x)=cos(3x)cos3(x)=14

cos2(3x)+34 cos(3x)cos(x).

Il faut encore lineariser :f(x)=1+cos(6x)8

+38
(cos(4x)+cos(2x)).

Donc on peut prendreF(x)=x8

+sin(6x)48 +332
sin(4x)+316 sin(2x). (M2) tout lineariser directement via Euler : cos(3x)cos3(x)=116 (e3ix+e-3ix)(eix+e-ix)3)=116 (e3ix+e-3ix)(e3ix+3eix+3e-ix+e-3ix); 116
116
(2cos(6x)+6cos(4x)+6cos(2x)+2);et on nit de m^eme:

Solution 5On posef(x)=tan(3x2

)1cos(3x).

Alorsf(x)=exp(g(x))oug(x)=ln(tan(3x2

))cos(3x).

On posex=?6+u, alorsg(x)=ln(tan(3u2

+4 ))cos(3u+?2)=num(u)den(u). Or tan(3u?2+?4)=tan(3u?2)+11-tan(3u?2)?→u→01, donc

Ainsig(x)≂u→0-1, doncg(x)?→u→0-1 etf(x)?→x→?61?e.Solution 6On posef(x)=?1-cos(x)?sin(x). On sait que 1-cos(x)=2sin2(x2

)≂x→0x 22
. Etden(x)=?sin(x)≂x→0⎷x, doncf(x)≂x→0⎷x⎷2 , en part. f(x)?→x→00.

Solution 7Trois methodes possibles au moins :

?Par factorisation :(1-X5)=(1-X)(1+X+X2+X3+X4).3

Planche d'exercices 10

Donc 1-cos5(x)=(1-cos(x))g(x)oug(x)=1+cos(x)+cos2(x)+cos3(x)+cos4(x)?→x→05 et

1-cos(x)≂x→0x

22

Donc 1-cos5(x)≂x→05x22

?Encore plus court :(1-X5)=1-e5lnX.

Ici 1-cos5(x)=1-e5ln(cos(x))et commeu=5ln(cos(x))?→x→00, on a 1-cos5(x)≂x→0-5ln(cos(x))≂x→0

5x22 ?Par linearisation : cos5(x)=116 (cos(5x)+5cos(3x)+10cos(x))(avec Euler).

1-cos5(x)=116

[(1-cos(5x))+5(1-cos(3x))+10(1-cos(x)). On posea(x)=(1-cos(5x)),b(x)=1-cos(3x),c(x)=1-cos(x). On a des equivalents dea(x);b(x);c(x)qui sont de m^eme ordre.

On ecrit donca(x)=(5x)22

+o(x2),b(x)=(3x)22 +o(x2), etc(x)=x22 +o(x2). De sorte quea(x)+5b(x)+10c(x)=(25+5×9+10×1)x22 +o(x2)≂x→040x2

Et 1-cos5(x)=116

(a(x)+5b(x)+10c(x))≂x→05x22 Solution 9a) Leonard linearise. On obtient sin3(x)=34 sin(x)-14 sin(3x). b) (i) Somme telescopique. En eet via le a) : S n=n k=1?3k+14 sin(3 k)-3k4 sin(3 k-1)?=n k=1(vk-vk-1), en posantvk=3k+14 sin(3 k).

DoncSn=vn-v0=3n+14

sin(3 n)-34 sin()=3n+14 sin(3 n)

(ii) Avecun=?3ncommeun?→n→+∞0, on sait que sin(un)≂n→+∞un≂n→+∞?3n.

Donc 3n+14 sin(un)≂n→+∞34 . DoncSn?→n→+∞34

Solution 10a) sin4()=?ei-e-i2i?4

=116 (e4i-4e2i+6-4e-2i+e-4i)=18 cos(4)-12 cos(2)+38. b) cos

3()sin()=?ei+e-i2

?3

116i(e4i+3e2i+3+e-2i-e2i-3-3e-2i-e-4i)

116i(2isin(4)+4isin(2))=18

sin(4)+14 sin(2)c) Avec des notations evidentesF?↦132 sin(4)-14 sin(2)+38 etG?↦-132 cos(4)- 18 cos(2)sont des primitives defetg.4quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45

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