[PDF] Sans titre sin2a 2sinacosa. = FORMULES DE LINÉ





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Planche dexercices 10 Exercice 1. Résoudre (E) cos(4x) + cos(2x

Résoudre dans R l'inéquation suivante : cos(x) + cos(2x) + cos(3x) ? 0. Exercice 9. a) Linéariser sin3(x). b) On pose Sn =.



MPSI 1

Trigonométrie : Factorisation linéarisation. Linéariser sinx cos2 x ... Exercice 8 En utilisant la formule de Moivre



Trigonométrie circulaire

3.4 Formules de linéarisation . Les formules obtenues pour cos(3x) et sin(3x) doivent être mémorisée : ?x ? R cos(3x) = 4 cos3(x) ? 3 cos(x)



Cours de Mathématiques L1 Semestre 1

22 nov. 2016 CM15 - Expressions trigonométriques et linéarisation. But : intégrer des expressions contenant des puissances de cos ou ... sin(3x).



Linéarisation des expressions Trigonométriques

Linéarisation par les formules de Euler. LineariserEuler.tex ei? = cos(?) + i sin(?) ... cos3(2x) sin2(3x) = (e2ix + e?2ix.



5 Calcul intégral

Linéarisation. Exercice 5.1. Calculer selon les cas



I Démonstration des premiers résultats

Relation fondamentale entre cos et sin : justifier à l'aide d'un théorème du sin(2x) cos(3x)dx (on pourra utiliser une formule de linéarisation).



Linéarisation de sin n(x) cos n(x)

Linéarisation de sinn(x) cosn(x). Denis Vekemans ? sinn(x) = ( On ferait de même pour linéariser cosn(x). ... (?9 cos(x) + cos(3x)).



Sans titre

sin2a 2sinacosa. = FORMULES DE LINÉARISATION. (. ) 2. 1 cos a Calculer cos 3x en fonction de cos x en déduire la résolution dans [. ] ...



Binôme de Newton

Application 1 : linéarisation 2 cos(5x)+5 × 2 cos(3x) + 10 × 2 cos(x) ... cos(3x)=P(cos(x)) et sin(3x)=?P(sin(x)) avec P(X)=4X3?3X. Aimé Lachal.



[PDF] Linéarisation des expressions Trigonométriques

Linéarisation par les formules de Euler LineariserEuler tex ei? = cos(?) + i sin(?) cos3(2x) sin2(3x) = (e2ix + e?2ix



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22 nov 2016 · la formule du binôme linéariser un polynôme trigonométrique exprimer cos(nx) ou sin(nx) sous forme de polynômes en cos(x) ou sin(x)



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5 nov 2020 · Formule de l'angle multiple Linéarisation À venir Exemple Regardons ce que ça donne par exemple pour cos(3x)



[PDF] Trigonométrie circulaire

? Les formules obtenues pour cos(3x) et sin(3x) doivent être mémorisée : ?x ? R cos(3x) = 4 cos3(x) ? 3 cos(x) sin(3x) = 3 





trigonométrie en puissance - linéarisation - Gerard Villemin

Nombres curiosités théorie et usages: linéarisation des puissances des cos3(x) * Formule d'Euler * Formule du binôme * Calcul * Regroupement



La linéarisation - Méthode Maths

On va ainsi par exemple montrer que : L'intérêt est notamment de pouvoir trouver des primitives : la primitive de cos3(x) est très simple à trouver avec 



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Linéarisation de sinn(x) cosn(x) Denis Vekemans ? sinn(x) = ( On ferait de même pour linéariser cosn(x) (?9 cos(x) + cos(3x))



Comment linéariser • La méthode + Exemple sin^3(x) • Formule d

7 sept 2020 · Savoir linéariser en utilisant les formules d'Euler Exemple détailler: Linéarisation sin^3(x) cos(? Durée : 12:25Postée : 7 sept 2020



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tanx+tan(2x)+tan(3x)+tan(4x) = 0 possède-t-elle de solutions dans [0?] ? Correction ? [005074] Exercice 13 **I On veut calculer cos 2?

  • Comment Lineariser un cos ?

    Les formules de linéarisation transforment un sinus ou cosinus carré en une expression ne contenant que du cosinus simple : sin2?=12(1?cos2?) ; cos2?=12(1+cos2?).

  • Comment faire une linéarisation ?

    La linéarisation consiste à transformer une fonction avec des cosinus et des sinus à une certaine puissance (cosn(x) et sinn(x)) en somme de cos(ax) et sin(bx), avec a et b entiers.

  • Comment linéariser cos 4 ?

    cos 4 ? ( ? ) = ( e i ? + e ? i ? 2 ) 4 . On développe ensuite en utilisant la formule du binôme de Newton et on trouve : cos4(?)=116(e4i?+4e3i?e?i?+6e2i?e?2i?+4ei?e?3i?+e?4i?)=116(e4i?+4e2i?+6+4e?2i?+e?4i?)=116(e4i?+e?4i?+4e2i?+4e?2i?+6)=116(2cos(4?)+8cos(2?)+6)=cos(4?)8+cos(2?)2+38.
  • Une façon de simplifier une expression trigonométrique consiste à l'écrire en fonction des fonctions sinus et cosinus en utilisant la définition de la fonction sécante : s e c c o s �� = 1 �� . Ainsi, l'expression étudiée devient s i n s e c c o s s e c c o s c o s ? �� 2 + �� ? ( ? �� ) = �� �� = �� × 1 �� = 1 .
résumés de cours exercicescontrôlescorrigés 1

Compléments

de trigonométrie

FORMULES D"ADDITION

cos a b cosacosb sinasinb cos a b cosacosb sinasinb sin a b sinacosb cosasinb sin a b sinacosb cosasinb

22 2 2

cos2a cos a sin a 2cos a 1 1 2sin a sin2a 2sinacosa

FORMULES DE LINÉARISATION

2

1cos a 1 cos2a2

2

1sin a 1 cos2a2

6 1. Compléments de trigonométrie

Exercice 1

Donner les expressions suivantes en fonction de sin x, sin y, cos x et cos y.

Asinxy sinxy Bcosxy cosxy

Csinxy sinxy Dcosxy cosxy

Exercice 2

1. Calculer cos 3x en fonction de cos x, en déduire la résolution dans

ʌ0;2

de l"équation 3

8cos x-6cosx-1 0.

2. Résoudre dans

ʌ0;2 les équations et inéquations suivantes : a)

4sinxcosx 1 0 .

b) 2

2cos x 1 sin3x .

c)

3sin2xcosx-sinxcos2x2

d)

2cos3x cosx sin3x sinx2

Exercice 3

Sachant que

3412
, déterminer les valeurs exactes de sin 12 et cos 12

Exercice 4

x est un réel vérifiant

ʌx0;2 .

1. On donne

23cosx2

, calculer cos2x, en déduire x.

2. On donne

51cosx4

, en déduire la valeur de cos2x puis celle de cos4x. Comparer les résultats obtenus. Peut-on alors déterminer x ? résumés de cours contrôlescorrigés

1. Compléments de trigonométrie 7

exercices

Exercice 5

Dans chacun des cas suivants, linéariser

i f(x) : 1. 21
f(x) 3sin 2x. 2. 42
f(x) 2cosx. 3. 23
f(x) sin x3. 4. 224
f(x) sinxcosx.

Exercice 6

On considère la fonctio définie sur

ʌ0;2 par : f(x) cosx 3sinx.

1. Montrer que pour tout

ʌx0;2 ,

ʌf(x) 2cos x3

2. Calculer

f(x). Déterminer le signe de la dérivée, en déduire les variations de la fonction f.

3. Dresser le tableau de variation de f.

4. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe au point d"abscisse .

5. Tracer la courbe C représentative de f et la tangente T dans un repère

orthogonal.

Exercice 7

Un triangle ABC isocèle, de sommet principal A est inscrit dans un cercle de centre O et de rayon 1. H est le pied de la hauteur issue de A.

Soit a la mesure en radians de l"angle

HOB ; on suppose

ʌ0a2

A

B H C O

a

8 1. Compléments de trigonométrie

1. a) Exprimer BC et AH en fonction de a.

b) En déduire, en fonction de a, l"aire du triangle ABC.

2. On considère la fonctio définie sur

ʌ0;2

par : f(a) sina 1 cosa.

Calculer la dérivée

f de la fonction f.

3. a) Vérifier que

2 f (a) 2cos a cosa 1 cos2a cosa. b) En déduire le signe de f(a) sur l"intervalle

0;3 puis sur

;32. c) Établir le tableau de variation de la fonction f.

4. Montrer qu"il existe une valeur de a, que l"on déterminera, pour laquelle l"aire

du triangle ABC est maximale. Préciser ce maximum. Quelle est alors la nature du triangle ABC ? résumés de cours exercicescorrigés

1. Compléments de trigonométrie 9

contrôles

SRLQWV

Exercice 1SRLQWV

Déterminer les valeurs exactes de

ʌ7 cos1 2 et ʌ7 sin 12 en utilisant l'égalité

ʌʌʌ7

12 43

Exercice 2SRLQWV

Simplifier les expressions suivantes :

A(x) cos3xcosx sin3xsinxcos3xcosxcos3xcosx.

B(x) sin4xcos2x sin2xcos4xsin4xcos2xsin4xcos2x.

sin3x cos3x C(x) sin2xcos2x pour x 0 0; 0 4 0; 4

Exercice 3SRLQWV

Linéariser :

22
f(x) 2cos x...3sin x...4 22
2 g(x) sinxcosx ... 5cos x 2

Exercice 4V

Résoudre dans

0;2ʌ :

1. 2

2cos x 1 sinx

2 11 xx 4 4 .2. 1 sin4 xcosxxcos cos xcos 333
coscoscoscos 33333

Exercice 5SRLQWV

Soit la fonctio définie sur

0;ʌ par

2 h(x) 2sin x 3 2

2sin x2sin x

2

1. Montrer que h(x) 2sin2x.

2. Déterminer sur

0;ʌle signe deh(x), en déduire les variations de h.

3. Tracer, dans un repère orthogonal, la courbe représentative de la fonction h.

4 .Déterminer une équation de la tangente T à la courbe représentative de h au point A d'abscisse x 6

10 1. Compléments de trigonométrie

Corrigé des exercices

Corrigé 1

On utilise les formules d"addition :

A sinxcosy cosxsiny sinxcosy cosxsinysinxcosy cosxsinysinxcosy cosxsinysinxcosy cosxsinysinxcosy

A=2cosxsiny

B cosxcosy sinxsiny cosxcosy sinxsinycosxcosy sinxsiny cosxcosycosxcosy sinxsiny cosxcosy

B=2cosxcosy

C sinxcosy cosxsiny sinxcosy cosxsinysinxcosy cosxsiny sinxcosysinxcosy cosxsiny sinxcosy

On reconnaît la formule

22
abab a b 2 bab abab a 2 22 22

C = sin x cos y cos x sin y

22 2222

D cosxcosy sinxsiny cosxcosy sinxsinycosxcosy sinxsiny cosxcosycosxcosy sinxsiny cosxcosy

La même formule donne :

22 22

D=cosxcosy sinxsiny

22 2222

Corrigé 2

1. On peut écrire cos3x cos 2x x cos2xcosx sin2xsinxcos 2x x cos2xcosxcos 2x x cos2xcosx

On applique une seconde fois les formules du cours: 2 cos3x 2cos x ...1 cosx ... 2sinxcosx sinx 2 32
cos3x 2cos x ... cosx ... 2sin xcosx 32

On remplace

2 sin x 2 par 2 1cosx 2 32
cos3x 2cos x...cosx...2 1...cos x cosx 32
33
cos3x 2cos x ... cosx ... 2cosx 2cos x 33

2cos x ... cosx ... 2cosx2cos x ... cosx ... 2cosx

3 3 cos3x 4cos x 3cosx 3

4cos x4cos x

3 En utilisant l'égalité trouvée à la question précédente, l'équation devient :

2cos3x 1 011 soit

1 cos3x 2 d'où cos3x cos 3 Le cours de première sur la résolution d'équations trigonométriques se traduit ici par :

ʌ3x 2k

3 ou

ʌ3x 2k

3 ,k. soit :

ʌʌ2k

x 93
ou

ʌʌ2k

x 93
, k.

1. Compléments de trigonométrie 11

corrigés contrôles exercices résumés de cours Les valeurs négatives de k ne conviennent pas car alors, les solutions n'appartiennent pas à l'intervalle

0;2ʌ.

si k = 0, x 9 ou x 9 cette dernière valeur n'est pas dans l'intervalle

0;2ʌ.

si k = 1, x =

ʌʌʌ27ʌʌ

939
ou x = ...

ʌʌʌ25ʌʌ

939
si k = 2, x =

ʌʌ ʌ413ʌʌ

93 9
ou x = ...

ʌʌ ʌ411ʌʌ

93 9
si k = 3, x = ʌ2 9 ou x = ... 17 2 99

ʌ2, la première valeur ne convient pas.

Avec des valeurs plus grandes de k, les solutions ne sont plus dans

0;2ʌ.

S ʌʌʌ ʌ ʌ ʌ5 7 11 13 17ʌʌ ʌ ʌʌʌ ʌ ʌ ʌʌʌ ʌ ʌ ʌʌʌ ʌ ʌʌʌ ʌ ʌʌ53ʌʌ ʌ ʌʌʌ ʌ

99 9 9 9 9

99 9 9 9 9

2.a)On utilise la formule 2sinx cosx = sin 2x, l'équation devient :

2sin 2x + 1 = 0 soit sin 2x = ...

1 2 , c'est-à-dire sin 2x = sin 6 6 Le cours sur les équations trigonométriques se traduit par :

ʌ2x 2k

6 ou ʌʌ2x 2k 6 6 ,k soit : x = ... ʌk 12 ou x = ʌ7 12 + k, k.

Dans l'intervalle

0;2ʌ, l'équation admet 4 solutions que l'on peut

déterminer à l'aide des quatre points images de ces solutions sur un cercle trigonométrique : S

ʌ7111923ʌʌʌʌʌ

12 12 12 12

12 12 12 12

M 0 0 M 1 N 0 N 1

12 1. Compléments de trigonométrie

b)L"équation peut s'écrire : 2cos 2 x ... 1 = sin 3x soit cos 2x = sin 3x. On utilise une formule sur les arcs associés de première pour transformer le sinus du second membre en cosinus : cos2x cos 3 cos 3x 3 2 3 2

ʌ2x 3x 2k

333x3x

33x

33333x3x333

2 3333
2 ou ʌ2x 3x 2k

333x3x

33x

33333x3x333

2 3333
2 ,k

ʌ5x 2k

2 ou

ʌx2k

2 ,k

ʌʌ2kʌ

x 105
ou

ʌx2k

2 , k. x 10

ʌʌ2

x 10 5

ʌʌ4

x 10 5

ʌʌ6

x 105

ʌʌ8

x 105

ʌʌ5

et 210
sont deux solutions confondues. S

ʌʌ ʌ ʌ ʌ91317ʌʌʌʌ

10 2 10 10 10

10 2 10 10 10

Dans une seconde méthode, on aurait pu transformer le cosinus du premier membre en sinus soit : sin 2x sin3x 22

2x2x2222

2x 2 2 ce qui se traduit par :

2x 3x 2kʌʌ

2

2x3x3xou

ʌ2x ...3x 2kʌʌ

2

2x ...3x...3xʌ, k

ʌ5x ... 2k

2 ou x2k 2 ,k. On retrouve les équations de la première méthode. c)On reconnaît dans le premier membre le développement de sin (a ... b) avec a = 2x et b = x.

L'inéquation devient :

3 sin 2 soit 3 sinx 2quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45
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