[PDF] Nombres complexes et trigonométrie Notations algébrique et





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Trigonométrie circulaire

3.4 Formules de linéarisation . 1) On suppose que x est un réel élément de [?2?] tel que cos(x)=?. 4. 5 . Calculer sin(x)



Planche dexercices 10 Exercice 1. Résoudre (E) cos(4x) + cos(2x

Déterminer un équivalent en 0 de 1 ? cos5(x). Exercice 8. Soit f Exercice 9. a) Linéariser sin3(x). b) On pose Sn =.



Cours de Mathématiques L1 Semestre 1

22 nov. 2016 de sin. Plan : la formule du binôme linéariser un polynôme trigonométrique



Feuille dexercices 2 Trigonométrie

calculer cos ( ? Linéariser cos6(x) et en déduire une linéarisation de sin6(x). ... 5. ) 2. cos(x) = ? 1. ?. 2. 3. sin(x) = 1. 2. 4. cos (3x ? ?.



Chapitre 2 : Nombres complexes

Jeudi 5 Novembre 2020 Linéarisation. À venir. Question 1. 1 ?25. 5 ! < ?25 ... cos(nx) et sin(nx) en fonction de cos(x) et sin(x).



Linéarisation des expressions Trigonométriques

Linéarisation par les formules de Euler. LineariserEuler.tex (a + b)5. = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5 ... ei? = cos(?) + i sin(?).



MPSI 1

Trigonométrie : Factorisation linéarisation. Linéariser sinx cos2 x. 5. Linéariser cos4 x. Exercice 3 Calculer (1?i)(1+i 3) et en déduire cos.



T.D. 5 : Développement - Linéarisation CORRECTION

Math Sup PTSI- ICAM Toulouse. Sophie Touzet. T.D. 5 : Développement - Linéarisation. CORRECTION. 1. Développer les expressions suivantes : i) cos(4x) = cos.



Binôme de Newton

5. Application aux probabilités. Aimé Lachal. Binôme de Newton combinaison linéaire de cos(kx) et sin(kx) k ? {0



Nombres complexes et trigonométrie Notations algébrique et

+ cos. (?. 4. ). En déduire tan. ( ?. 24. ) Exercice 7. Exprimer sin(5?) en fonction de sin? et en déduire la valeur de sin ?. 5 . Exercice 8. Linéariser 



[PDF] Linéarisation des expressions Trigonométriques

Linéarisation par les formules de Euler LineariserEuler tex (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5 ei? = cos(?) + i sin(?)



[PDF] CM15-transpdf - Cours de Mathématiques L1 Semestre 1

22 nov 2016 · la formule du binôme linéariser un polynôme trigonométrique exprimer cos(nx) ou sin(nx) sous forme de polynômes en cos(x) ou sin(x)



[PDF] CM15 - Chapitre 2 : Nombres complexes

5 nov 2020 · Linéariser une expression trigonométrique c'est transformer des puissances et/ou des produits de cosinus et de sinus en sommes Les formules 



[PDF] Trigonométrie circulaire

3 4 Formules de linéarisation 1) On suppose que x est un réel élément de [?2?] tel que cos(x)=? 4 5 Calculer sin(x) tan(x) et cotan(x)



trigonométrie en puissance - linéarisation - Gerard Villemin

Nombres curiosités théorie et usages: linéarisation des puissances des Exemples pour les puissances de 2 à 5 cos4(x) – sin4(x) = cos (2x) 





[PDF] TD 5 : Développement - Linéarisation - Sophie Touzet

Math Sup PTSI- ICAM Toulouse Sophie Touzet T D 5 : Développement - Linéarisation CORRECTION 1 Développer les expressions suivantes : i) cos(4x) = cos



[PDF] Révision sur les complexes

a)Calculer cos(4x) et sin(4x) en fonction de cos(x) et sin(x) b) Linéariser )x(cos 4 c)Linéariser )x(cos 4 sin(x) III) Racines nèmes d'un nombre complexe



Linéarisation de cosn? sinp? [Nombres complexes]

Pour linéariser cos n ? sin p ? on peut : Soit utiliser les formules d'Euler de cos ? et sin ? développer par la formule du binôme 

  • Quel est le cosinus de 5 ?

    cosinus10,9961947tangente00,08748866degré1015radian0,174532930,26179939

  • Comment Lineariser un cos ?

    Les formules de linéarisation transforment un sinus ou cosinus carré en une expression ne contenant que du cosinus simple : sin2?=12(1?cos2?) ; cos2?=12(1+cos2?).

  • Comment linéariser cos 4 ?

    cos 4 ? ( ? ) = ( e i ? + e ? i ? 2 ) 4 . On développe ensuite en utilisant la formule du binôme de Newton et on trouve : cos4(?)=116(e4i?+4e3i?e?i?+6e2i?e?2i?+4ei?e?3i?+e?4i?)=116(e4i?+4e2i?+6+4e?2i?+e?4i?)=116(e4i?+e?4i?+4e2i?+4e?2i?+6)=116(2cos(4?)+8cos(2?)+6)=cos(4?)8+cos(2?)2+38.
  • La linéarisation consiste à transformer une fonction avec des cosinus et des sinus à une certaine puissance (cosn(x) et sinn(x)) en somme de cos(ax) et sin(bx), avec a et b entiers.

PCSI5Lycee Saint Louis - Paris

Nombres complexes et trigonometrieTD4

Notations algebrique et trigonometrique

Exercice 1

Soit2];[. Determiner la forme algebrique de :

a)z1= (2 +i)e3i, b)z2= (12i)ei, c)z3=e2i1i,d)z4= (p3i)2015, e)z5= (1 +ei)n; n2Net2R, f)z6=1 +itan1itan; 22 ;2 .Exercice 2 Soitz2Ctel quejzj 6= 1. Montrer que pour toutn2N,1zn1z1jzjn1jzj.Exercice 3

Trouver les modules et arguments de

a)z1=1 +ip3i b)z2=2i(2 + 2i)c)z3=p3+2p6+ip2 d)z4= 1 +itan e)z5= 1 +eiou2];[f)z6=1 + cos+isin1cosisin g)z7= (1 +i)nExercice 4

Pour quelles valeurs den, le nombre complexe

(1ip3)

5(1i)3!

n est-il un reel positif ?Exercice 5 Montrer qu'il existeA2R+,!2Rtel que chaque fonction s'ecrive sous la formeAcos(x!) pour toutx2R: a) cos(x) + sin(x)b) cos(x)p3sin(x)Trigonometrie - Linearisation - Sommes

Exercice 6

Calculer la fractionsin3

sin4 cos 3 + cos4 . En deduire tan24

Exercice 7

Exprimer sin(5) en fonction de sinet en deduire la valeur de sin5

Exercice 8

Lineariser cos

2x, sin4xet cosxsin4x.

1

PCSI5Lycee Saint Louis - ParisExercice 9

Calculer les sommes suivantes ((a;b)2R2:

A=nX k=0sin(ka)B=nX k=0cos(a+kb)C=nX k=0sin(a+kb)D=nX k=0 n k cos(a+kb)Exercice 10

Soitn2N, soitx2R. Calculer la somme :S=nP

k=0cosk(x)sin(kx)

Equations polynomiales dansC

Exercice 11

Determiner les racines carrees de 1 + 6iet 24i7Exercice 12

Resoudre dansC:

a)z22cosz+ 1 = 0 ou2R b) (2 + i)z2+ (5i)z+ 22i= 0 c)z2n2zncos(n)+1 = 0 ou2Retn2Nd)z22(2 +i)z+ 6 + 8i= 0 e)z4+ (36i)z22(4 + 3i) = 0 f)z6+ (2i1)z31i= 0Exercice 13 a) Soit l' equationd'inconn uez2C: 2z3(3 + 4i)z2(47i)z+ 4 + 2i= 0. (i)

Mon trerqu'elle a une racine z0reelle.

(ii)

En d eduiretoutes les solutions de l' equation.

b) Soit l' equationd'inconn uez2C:z3+ (12i)z2+ (1i)z2i= 0 (i)

Mon trerqu'elle a une racine z0imaginaire pure.

(ii) En d eduiretoutes les solutions de l' equation.Exercice 14 Determiner tous les couples de complexesxetyveriantx+y= 1 +i xy= 2iRacinesn-ieme

Exercice 15

a)

Donner les racines cinqui emesde 1 +i1i.

b) Sac hantque (2 + 4 i)6= 7488 + 2816i, donner les racines sixiemes de 7488 + 2816i.Exercice 16 a)

Calculer les racines n-iemes deiet de 1 +i.

2

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b)

R esoudredans Cl'equationz2z+ 1i= 0.

c) En d eduirel essolutions dans Cde l'equationz2nzn+ 1i= 0.Exercice 17

Soit2R, resoudre dansC:

a)z3= 4p2(1 +i) b)z5=i c) z+ 1z1 n =eind) z+ 1z1 n +z1z+ 1 n = 2cos(n) e) ( z+ 1)n= (z1)n f)

4( z+i)4(z+ 1)4= 0

g)zn=z

Exercice 18

On posez=e2i7

,u=z+z2+z4etv=z3+z5+z6. 1.

Calculer u+vpuisu2en fonction deu.

2.

En d eduirela v aleurde sin

27
+ sin47 + sin87 .Exercice 19

Montrer que :

cos11 + cos311 + cos511 + cos711 + cos911 =12 On pourra considerer les solutions dez11=1.Exercice 20

SoitUnl'ensemble des racinesn-ieme de l'unite.

a)

Calculer

P !2Un!poup2N. b)

Soit !=e2in

, calculern1P k=0!kpetn1P k=0(1 +!k)n. c)

Soit n2Net!2Un, calculern1P

k=0(k+ 1)!k.Exercice 21 Soitnun entier non nul xe. Resoudre (1 +z)2n= (1z)2n. Calculer le produit des racines non nulles.Exponentielle complexe

Exercice 22

Resoudre dansC:

3

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a)ez= 3 b)ez=ic)ez= 3i d)ez= 1 +ip3

Nombres complexes et geometrie plane

Exercice 23

a)A quelle condition les points les points d'axesa,betcforment-ils un triangle equilateral? b)

D eterminerles nom bresz2Ctels que :

(i)

1, zetz2forment un triangle rectangle.

(ii)z,1z etisont-ils alignes. (iii)z,z2etz4sont alignes.Exercice 24

Determiner l'ensemble des pointsM(z) tels que :

a)jz+ij=jz1j b)z,1z et 1 +zaient le m^eme module.c) z+ 1z12R d)z+ z=zzExercice 25

D'apres Concours Centrale-SupElec PSI

Soitz2C. On notepetqses deux racines carrees. Trouver une condition necessaire et susante pour que les pointsM,PetQd'axes respectivesz,petqforment un triangle rectangle enM.Exercice 26 Determiner l'ecriture complexe de chacune des transformations suivantes : a)

L'homoth etiefde centre 1 d'axe 4iet de rapport13

b)

La rotation gde centre 1 d'axe2 et d'angle34

c)

La translation hde vecteur d'axe 42i.Exercice 27

A tout pointMd'axez6= 1, on associe le pointM0d'axez0=z11z. Etablir que :jz0j= 1,z01z1 est reel etz0+ 1z1est imaginaire pur. En deduire une construction geometrique du pointM0.Exercice 28 On considere la transformation du plan complexe denie parz0= 2iz+ 5. a) Mon trerque cette transformation admet un unique p ointxe M0d'axez0. b) Ecrire la tr ansformationdans le rep ered'origine M0, puis la reconna^tre.4quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45
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