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UniversitéClaudeBernard,Ly on1LicenceSciences &Technologies

43,boulev arddu11novembre1918Spécialité:Mathématiques

69622Villeurbanne cedex,FranceAnalysenumériqueL3- Automne2015

Séried'exercices n

o 6/6

Équationsdifférentielles

Exercice1.Schémad'Euler explicite.

Onconsidèrele problèmedeCauch ysuiv ant

x (t)=f(t,x(t)),t![t 0 ,t 0 +T] x(t 0 )=x 0 oùt 0 ,Tx 0 !Retf:[t 0 ,t 0 +T]"Rsontdonnés. Onsupposede plusqu'il existeL>0telquepour toutt![t 0 ,t 0 +T],etpour tousx,y!R, |f(t,x)#f(t,y)|$L|x#y|.

1.Donnerleschéma d'Eulerexpl iciteàpas detempsconstant correspondantàceproblème.

2.Jusqu'àquelordre ceschéma est-t-ilconv ergent?

3.Applications:

pourlesdeux problèmessuiv ants: A. x (t)=tsin(x(t)),t![0,T], x(0)= 2 etB. x (t)=t 2 +x+1,t![1,T], x(1)=1 . (a)Écrireles chémad'Eulere xpliciteenprenantunpas detempsconstant. (b)Écrireles2 premièresitérations enprenantcomme pasdetempsh=0.1. (c)Est-cequece schémaconv ergev erschacunedes solutionsdecesproblèmes? Exercice2.Schémasexplicites dupointmilieu etschémades trapèzes(Heun).

Onconsidèrele problèmedeCauch ysuiv ant

x (t)=f(t,x(t)),t![t 0 ,t 0 +T] x(t 0 )=x 0 oùt 0 ,Tx 0 !Retf:[t 0 ,t 0 +T]"Rsontdonnés. Onsupposede plusqu'il existeL>0telquepour toutt![t 0 ,t 0 +T],etpour tousx,y!R, |f(t,x)#f(t,y)|$L|x#y|.

1.Construireleschéma dupointmilieu expliciteà pasdetemps constantcorrespondant àce

problème.

2.Construirele schémades trapèzesexpliciteàpasde tempsconstantcorrespondant àcepro-

blème.

3.Jusqu'àquel ordrecessché masont-ilscon vergents ?

1

Exercice3.Schémad'Eulerimplicite.

Onconsidèrele problèmedeCauch ysuiv ant

x (t)=f(t,x(t)),t![t 0 ,t 0 +T] x(t 0 )=x 0 oùt 0 ,Tx 0 !Retf:[t 0 ,t 0 +T]"Rsontdonnés. Onsupposede plusqu'il existeL>0telquepour toutt![t 0 ,t 0 +T],etpour tousx,y!R, |f(t,x)#f(t,y)|$L|x#y|.

1.Leschémad'Euler explicite àpasde tempsconstantest-ilA-stable?

2.Écrirele schémad'Euler impliciteenprenant unpasdetempsconstant.

3.Ceschémad'Euler impliciteà pasconstantest-il A-stable?

Exercice4.Asymptotique,raideur& schémaimplicite.

Soita>0,b!Retx

0 !R.Onconsidère leproblèmede Cauchysui vant x(0)=x 0 et(%t!R ,x (t)=#ax(t)+b),(1)

1.(a)Donnerexplicitement x.

(b)Quelestle comportementde x(t)quandt"+&?

2.Soith>0unpasde temps.

(a)Écrireexplici tementleschémad'Eulerexpliciteàpasconstant hpour(1).

Onnotera(t

n n"N =(nh) n"N lasuitedes tempsd'approximation,et (x n n"N lasuite desvaleurs approchéescorrespondantes. (b)Donnerexplicitement (x n n"N (c)Quelleconditiondoit satisfaire hpourque,quel quesoitx 0 ,x n tendequandn"+& verslim t#$ x(t)? (d)Onsupposecette conditionsatisf aite. Exprimerenfonction dealenombreminimal detempsd'approximation impliqués dansuncalcul approchédex |[0,10]

Quelestce nombrelorsquea=100?

(e)Répondreà (a)#(c)enremplaçantle schémad'Eulere xplicitepar leschémad'Euler implicite.

Soit(x

0 ,p 0 )!R 2 .Ons'intéresse auproblèmede Cauchysui vant x(0)=x 0 ,x (0)=p 0 ,et(%t!R ,x (t)+x(t)=0).(2)

1.OnintroduitH:R

2 "R,(x,p)'" 1 2 (x 2 +p 2 2 (a)Montrerquela réductiond'ordreappliquée à(2)conduit auproblèmede Cauchy x p (0)= x 0 p 0 et %t!R d dt x p (t)= p

H(x(t),p(t))

x

H(x(t),p(t))

.(3) (b)Montrerque si(x,p)résout(3)alors %t!R ,H(x(t),p(t))=H(x 0 ,p 0

2.Soith>0unpasde temps.

(a)Écrireexplici tementleschémad'Eulerexpliciteàpasconstant hpour(3).

Onnotera(t

n n"N =(nh) n"N lasuitedes tempsd'approximation,et ((x n ,p n n"N la suitedesv aleursapprochéescorrespondantes. (b)Donnerexplicitement (H(x n ,p n n"N (c)Qu'arrive-t-ilà((x n ,p n )(quandn"+&? (d)Répondreà(a)#(c)enremplaçantle schémad'Eulere xplicitepar leschémad'Euler implicite.

3.OndéfinitH

num :R 2 )R "R,(x,p,h)'" 1 2 (x 2 +p 2 +hxp).

Soith>0unpasde temps.

(a)Montrerque,pour tout(x,p,h)!R 2 )R ,alors 1# 1 2 h

H(x,p)$H

num (x,p,h)$ 1+ 1 2 h

H(x,p).

(b)Justifierquele schémaimplicite x 0 p 0 x 0 p 0 et %n!N, x n+1 p n+1 x n p n +h p n #x n+1 .(4) estbiendéfini. Ceschéma estappeléschémad'Eulersymplectique. (c)Montrerquela suiteainsi construitevérifie %n!N,H num (x n ,p n ,h)=H num (x 0 ,p 0 ,h). (d)Montrerquele schémad'Eulersymplectique àpasconstant estconv ergentet aumoins d'ordre1. 3 UniversitéClaudeBernard-Lyon1Semestreautomne2014- 2015

Analysenumérique-L3

Corrigén

o 7

Équationsdifférentielles.

Exercice1.Asymptotique,raideur&schéma implicite.

Soita>0,b!Retx

0 !R.On considèr eleproblèmedeCauchysu ivant x(0)=x 0 et("t!R ,x (t)=#ax(t)+b),(1)

1.(a) Lessolutio nsdupr oblèmehomogènesontdonnéespar, pourt outt!R

,x(t)=e "at x(0). D'aprèslaformuledeDu hamell asolutionde(1)estdo nc x:R $R,t%$e "at x 0 t 0 e "a(t"s) bds=x 0 e "at b a (1#e "at ou Six:R $Restdériv able,leproblème(1)serécriten termesde y:R $R,t%$e at x(t) comme y(0)=x 0quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18

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