[PDF] Révision des équivalents et des développements limités I. Rappels





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Les Développements Limités

tout simplement le développement limité à l'ordre n en x0 de f . Exemple. Calculons le DL de arctan(x) à l'ordre 5 en 0. On a arctan (x) =.



Exercices de mathématiques - Exo7

Donner des équivalents simples pour les fonctions suivantes : 1. 2ex ?. ?. 1+4x?. ?. 1+6x2 en 0. 2. (cosx)sinx ?(cosx)tanx



TD 1 Intégrales généralisées

16 Sept 2016 Arctan etc) n'ont pas toujours de primitives élémentaires. ... des résidus est nulle



Feuille dexercices 10 Développements limités-Calculs de limites

à l'ordre 5 donne le polynôme de Taylor du développement limité de Donner un équivalent simple de 1 ? cos( ) en 0. ... Car (0) = arctan(0) = 0.



Intégrales convergentes

9 May 2012 intégrer tend vers l'infini aux bornes de l'intervalle. ... arctan(t) ... un équivalent au voisinage de +? pour étudier la convergence ...



FICHE : LIMITES ET ÉQUIVALENTS USUELS

FICHE : LIMITES ET ÉQUIVALENTS USUELS. Limites usuelles De manière plus générale ... Comparaison des suites de référence.



Révision des équivalents et des développements limités I. Rappels

dans l'étude de la limite en l'infini de x?ex c'est ex qui impose sa limite. On peut aussi trouver le DL en 0 de arctan et de arcsin grâce à :.



Exercices de mathématiques - Exo7

Déterminer un équivalent simple de n! (a+1)(a+2)(a+n) quand n tend vers l'infini (a réel positif donné). Correction ?. [005705]. Exercice 19 *.



Corrigé du TD no 10

D'où le résultat par définition de l'équivalent. (f) De même la fonction x ?? arctan x est dérivable en 0



[PDF] developpements limités usuels

Le développement limité de MAC LAURIN au voisinage de x = 0 à l'ordre "n" pour une fonction "f" indéfiniment dérivable s'écrit : /(x) = /(0) + x/'(0) +x2



[PDF] Révision des équivalents et des développements limités - PAESTEL

Les deux thèmes abordés sont les équivalents et les développements limités avec des exercices d'application Ils sont précédés de rappels concernant les 



[PDF] Les Développements Limités

Calculons le DL de arctan(x) à l'ordre 5 en 0 On a arctan (x) = 1 1 + x2 1 1 + x2 = 1 ? x2 + x4 + x4?1(x) En intégrant on obtient



[PDF] Feuille dexercices 10 Développements limités-Calculs de limites

Exercice 9 1 Soit la fonction définie pour tout ? ? par ( ) = arctan( )



[PDF] FICHE : LIMITES ET ÉQUIVALENTS USUELS

FICHE : LIMITES ET ÉQUIVALENTS USUELS Limites usuelles lnx x ?????? x?+? 0 x lnx ?????? x?0+ 0 ln(x) x ?1 ???? x?1 1 ln(1+ x)



[PDF] Corrigé du TD no 10

Donc arctan x ?0 x Exercice 2 Rappelons que l'on peut multiplier les équivalents Sachant que ln(1 + x) ?0 x et que sin x ?0 x on en déduit que :



[PDF] Développements limités équivalents et calculs de limites

Exercice 9 Soit la fonction définie par : ( ) = arctan( + 1) 1



[PDF] [PDF] Exo7 - Exercices de mathématiques

Calculer arctanx+arctan 1 x pour x réel non nul 3 Calculer cos(arctana) et sin(arctana) pour a réel donné 4 Calculer pour a et b réels tels que ab = 1 



[PDF] Développements limités développements asymptotiques - Exo7

8 arctan(cosx) (ordre 5 en 0) 9 arctan ? x+1 x+2 Equivalent simple en 0 de (sinx)x?x2 ?(x?x2)sinx 4 Equivalent simple en +? de xthx

:
????x02R[f1;+1g??? ????? ??????[1;+1]?? ???? ?? ?????? ?? ???? x2]x0r;x0+r[nfx0g???? ?? ???????r >0;??x02R??? x2]1;A[???? ?? ???????A2R? ??x0=1? x2]A;+1[???? ?? ???????A2R? ??x0= +1? lim x!x

0h(x) =`???? ?? ??? ??`2R???`2C? ?

[8" >0;9 >0;8x2]x0r;x0[; x0 < x < x0) jh(x)`j< "]: x!x+

0h(x) =l????? ??? ???? ?????

??lim x!x

0h(x) =1:

?????? ??x0?? ?? ??? ???? ?????? ??x0? ????`2[1;+1]??`2C? ]x0r;x0+r[nfx0g? ?? ???? ???h???? ????l???????x???? ????x0? lim x!x

0h(x) =l??lim

x!x+

0h(x) =l;

8" >0;9 >0;8x2]x0r;x0+r[;0 x!x

0h(x) =l?

x!x+

0h(x) =l?

??????? ?????h?????? ???h(x) = 0??x6= 0??h(0) = 1? lim lim BY: C x lim ???? ?? ??? ??f??g???? ??????? ??x0? ?? ??????? ?? ???? ??? fx0g,8 :lim x!x0x6=x0f(x)g(x)= 1 (f(x0) =g(x0)??f??g???? ??????? ??x0?? ?? ?? ???? ??????? ??? ?????(wn)?????? ????n????? ????? ????? ??? ? lim u n+1vn,limn!+1u nv n= 1: lim BY: C f?????? ???R+???f(x) =xx+ 1? ???? ??????1??+1????f+11? ??? sinx0x? tanx0x?1cosx0x 22
ln(1 +x)0x? e x10xln(x)1x1? ????2R: (1 +x)10x: ??P(x) =adxd+ad+1xd+1++anxn????ad6= 0??an6= 0?(d;n)2N2??? f(x)f(x0)x0f0(x0)(xx0): ??fx0g?? ??limx!x0x6=x0f(x) =l(l2[1;+1]??l2C)?????limx!x0x6=x0g(x) =l BY: C x x ????fg?? ????fg ?? ?? ???? ??? ?? ????? ????f+g? f(x) =xx2??g(x) =x+x3? ?? ? ?????f0x?0x??0x2? ??fx0g? ??2R??n2N?????fnx0gn??jfjx0jgj? ln(1 +x)0x?? ????? ? ??fx0g;????? ??????? ???? ?'fx0'g? ?? ??????? ? ???????f(x) =1x+x2??g(x) =1x ?????f0g????x!ef(x)?? f(x)g(x)=xx+x2=11 +x!x!01????f0g: BY: C exp(f(x))exp(g(x))=ef(x)g(x)=e1x+x21x

1x+x21x

=x2x(x+x2)=11 +x!x!01 ??????? ? ???un+1vn?? ??limn!+1un= +1?????lnun+1lnvn? ?? ???? ? u ?? ???? ???? ??????? ????n????? ????? ? lnunlnvn=lnu nv n + ln(vn)ln(vn)=lnu nv nln(vn)+ 1: ??limn!+1lnu nv n = 0??limn!+1ln(vn) = +1? ???? ?limn!+1lnunlnvn= 1?? ????lnun+1lnvn? ??f(x) =sinxtanx(?x1)2 ??f(x) =sinx+ cosxtanx1x 2 ??f(x) =cosxpcos(2x)sin

2(x)??f(x) =?sin(2x)?sin(x)tanx

??f(x) =?2xln(?+x)x

3+ sin(x)cos(x)

??f(x) =(ln(cosx))2x(sinxtanx) ??a >0?f(x) =pxpa+pxapx BY: C ??a= 1?f(x) =1x1p1cos(x2 ??a=3 ?f(x) =sin(x)p3cos(x)2cos(x)1 y=xx36 +x5120 ?? ?? ?????y=xx36 +x5120 +x75040 ?xy 2 21
10 lim ???? ?? ??? ??f??g???? ??????? ??x0? ?? ??????? ?? ???? ??? f(x0) = 0: lim BY: C u ????n????? ????? ????? ??? ? ? lim u n=+1o(vn),limn!+1u nv n= 0: lim x!x0x6=x0"(x) = 0: ?? ? ???? ?limx!x0x6=x0o(1) = 0: x BY: C ??f1=x0o(g)?? ??f2=x0o(g)?????f1+f2=x0o(g)??? ???? ???? ??? ????p2N??n2N? ?? ? ?xn+p=x!0o(xn)??xno(xp) =x!0o(xn+p): ????? ??????? ?? ?? ?????? ??0?? ?? ??????? ??x(lnx)? ?????x ??? ?????? ?? ?????? ???6= 0?? ????? ??????? ?? ?? ?????? ?? ??????? ??xex? ?????ex??? ?????? ?? ??b??? ???? ?

8" >0;9 >0;b < x < b=) jf(x)j< "jg(x)j

8" >0;9 >0;b < x < b=) jf(x)g(x)j< "jg(x)j

??b= +1?

8" >0;9A >0;x > A=) jf(x)j< "jg(x)j

BY: C ??f??? ? ??????? ????C?a0;:::;an???? ??? ???? ????x????U? f(x) =a0+a1(xx0) ++an(xx0)n+o((xx0)n):() f(x0) =a0: o x!x0((xx0)n): a ?????U= ]x0;x0+"[???? ?? ???????" >0? ?? ??? ???f????? ?? ????? ??????U= [x0;x0+"[???? ?? ???????" >0? ?? ??? ???f????? ?? ????? ??????U= ]x0";x0+"[nfx0g???? ?? ???????" >0? ?? ??? ???f????? ?????U= ]x0";x0+"[???? ?? ???????" >0? ?? ??? ???f????? ?? ?????DL3(0)??sin??? ?sinx=xx36 +ox3? ??DL??? ??????? ????x BY: C ?????? ?? ??????? ????x6= 0?sinxx = 1x26 +ox2? ?? ?????? ????DL2(0) ?? ????]";"[nf0g?" >0? ?? ?? ????? ??? ??????? ??x= 0????sinxx ????? ??? ????? ??0??? ?? ?????? ???? ?? ??0?0?????? f(x0+h) =h!0hp(a0+a1h++amhm+o(hm))????a06= 0 (n=m+p): ????? ?f(x0+h)h!0a0hp????a06= 0?? sinx=x 1x26 +ox2 ?????f????? ??DLn(x0)????? ??DL??? ??????? ???????f????? ??DLn(x0)?? ????()????n1? ?????f????? ?? DL n1(x0)????? ??? f(x) =a0+a1(xx0) ++an1(xx0)n1+o (xx0)n1 x 0 ??x0 BY: C x 0 ??x0 ???? ?? ????f0(x0) =a1: ??????? ?? ??? ??x0=2 U?? ??f????? ??? ?????? ??x0? ?? ???? ?? ?????? ?? DL

0(x0)?x0?????;????? ???f(x) =a+o(1)? ?? ???? ???????

lim x!x0x6=x0e f(x) = limx!x0x6=x0f(x) = limx!x0x6=x0[a+o(1)] =a=ef(x0)? lim x!x0x6=x0e f(x)ef(x0)xx0= limx!x0x6=x0f(x)axx0= limx!x0x6=x0[b+o(1)] =b:

0(x0) =b?

f(0) = 1??f(x) =ex1x BY: C ????x2R?ex= 1 +x+x22 +ox!0x2? ?? ?? ??????? ????x6= 0?f(x) = 1 +x2 g(0) = 2??g(x) =ex1x ??x6= 0: x

0?x0??????

??DLn(x0)?x0?????? ????? ??? ?

8x2I; f(x) =nP

k=0f BY: C f(x) =a0+a1(xx0) ++an(xx0)n+o((xx0)n)? ?????? ??? ??????? ??DL?8k2[[0;n]]; ak=f(k)(x0)k!? sinxx!0xx36 x=nP k=0x kk!+o(xn) (DLn(0)??exp);cosx=nP k=0x

2k(2k)!+ox2n+1(DL2n+1(0)??ch);??x=nP

k=0x

2k+1(2k+1)!+ox2n+2(DL2n+2(0)??sh);ln(1 +x) =nP

k=1(1)k+1xkk +o(xn) (DLn(0)?? ?x7!ln(1 +x));????2R?DLn(0)?? ?x7!(1 +x)?(1 +x)= 1 +x+(1)2! =11

1+x=nP

BY: C ??? ???? ??? ????n > p?? ????n p????np? ?? ? ????np? (1 +x)p=pX k=0 p k x k? ?? ????? ??? ???? ???? ?? ???? ????? ?? ??????? ???DLn(0)??p1 +x?=12 ? ??1p1+x?= 12 ??p1 +x= 1 +12 x+nP k=2(1)k1135(2k3)246(2k)xk+o(xn)1p1+x= 1 +nP

4(P) =P:

BY: C o(xn)????(P;Q)2(Cn[X])2????? f(x) +g(x) =P(x) +Q(x) +o(xn): o(xn)????(P;Q)2(Cn[X])2????? f(x)g(x) =?????n[P(x)Q(x)] +o(xn): (Cn[X])2?? ??g(0) = 0?? ??g(V2)V1?????fg??? ???? ?????? ?? f(g(x)) =?????n[P(Q(x))] +o(xn): ????g(x) = sinx?? ?? ? ????sin(0) = 0: sinx=xx36 +ox3??exp(u) = 1 +u+u22 +u36 +ou3: ??????Q(x) =xx36 :??DL3(0)??exp(sinx)?? ??????? ?? ???? 3: exp(sinx) =?????3"

1 +Q(x) +Q(x)22

+Q(x)36 BY: C ? ???????3: exp(sinx) = 1 +x+12 x2+ox3: ?xx 2x 311

Q(x)11=6Q

2(x)1 Q 3(x)? ??cosx?????cosx= 1x22 +ox3:?? ???? ???? ?????? ? e cosx= exp 1x22 +ox3 =e1exp x22 +ox3 +ox3?g1??? ??? ??????? ???? ????? ??DL3(0)??exp(g1(x))??? ?? ??????? ???DL3(0) ??exp(u)?? ??g1(x):???? ? exp x22 +ox3 =?????3"

1 +Q(x) +Q(x)22

+Q(x)36 +ox3 = 1x22 +ox3: e cosx=eex22 BY: C f(x) =a0+a1x+a2x2++anxn+o(xn);????a06= 0?

1f(x)=1a

011 + a1a

0x++ana

0xn+o(xn):

?? ????Q(x) =a1a

0x++ana

???? ??DLn(0)??11+u:

11 +u=nX

k=0(1)kuk+o(un):

1f(x)=1a

0?????n"

nX k=0(1)kQ(x)k# +o(xn): ???????DL

3(0)??x=sinx?

f

1(x) = 1x26

+ox2

1=f1(x)?

f BY: C ? ?? ? ???? ??? ?????? ?? ?? ?????? ???? ? ??????? ??f1??? ?????? ??? DL

2(0)??11+u? ?

11x26 +o(x2)= 1 +x26 +ox2: xsinx=11x26 +o(x3)= 1 +x26 +ox3 ????1sin(x)=1x xsin(x)? ? ??? ?

1sinx=1x

+x6 +ox2: ?????cos(x) = 1x22 +o(x3)?

1cos(x)=11x22

+o(x3)= 1 +x22 +o(x3) ?????tan(x) =sin(x)cos(x)? tan(x) = xx36 +o(x3)

1 +x22

+o(x3) =x+12 16 x

3+o(x3)

????tan(x) =x+x33 BY: C ]x0r;x0]????? ?? ???????r >0?? ??f0????? ??DLn(x0)?x0?????? f

0(x) =a0+a1(xx0)+a2(xx0)2++an(xx0)n+o((xx0)n);

?????f????? ??DLn+1(x0)?x0?????? ????? ??? f(x) =f(x0)+a0(xx0)+a1(xx0)22 ++an(xx0)n+1n+ 1+o (xx0)n+1

11 +x=nX

k=0(1)kxk+o(xn) )ln(1 +x) = ln(1) +nX k=0(1)kxk+1k+ 1+oxn+1: ?? ???? ????? ??????? ??DL??0??arctan?? ??arcsin????? ? ? (arctan)

0(x) =11+x2??(arcsin)0(x) =1p1x2?arctan(x) =n1P

k=0(1)kx2k+12k+1+o(x2n)arcsin(x) =x+nP x BY: C ???? ??? ??DL? ???????3????? ??h????? ??DL??0? ???? ????? ?? ??????? ????? ??? ???? DL

5(0)??(sinx)3? ?? ???? ??????? ??DL2(0)??(h(x))3:??????? ??

sinx=xx36 +ox3 (sinx)3= xx36 +ox33 =x3 1x26 +ox23 ?????h(x) = 1x26 +ox2?? 1x26 +ox22 1x26 +ox2 1x26 +ox2 =?????2 1x26 2! +ox2= 1x23 +ox2: 1x26 +ox23 1x26 +ox22 1x26 +ox2 =?????2 1x23 1x26 +ox2 = 1x22 +ox2: 1x26 +ox23()=?????2 1x26 3! +ox2= 1x22 BY: C (sinx)3=x3 1x22 +ox2 =x3x52 +ox5: ?? ?? ??0? ???? ?????? ?? ? ???? ?(ex1)m=xm(h(x))m? ??? DL (ex1)m= (x+o(x))m=xm(1 +o(1))m: ?? ?? ? ???????0????(1 +o(1))m????? ?? ?? ? ???????0? (1 +o(1))m=?????0(1m) +o(1) = 1 +o(1)? (ex1)m=xm(1 +o(1)) =xm+o(xm): ????? ??DLm(0)??ex;?? ??? ????? ? (ex1)m= mX k=1x kk!+o(xm)! m =?????m mX k=1x kk!! m! +o(xm) =::: (ex1)g(x)= exp(g(x)ln(ex1)) BY: C ? ??????? ?? ???? ?????? ???DL??cos??sin? ???????5? ?? ???? ???cosx= 1x22 +x424 sinx=xx36 +ox4=x 1x26 +ox3 ?? ? ????? ?? ????? ??? ??????? ??DL5(0)??sin? (sinx)2=x2 1x26 +ox32 =x2 3 1x26 2! +ox3! =x2 1x23 +ox3quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45

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