[PDF] Exercices de mathématiques - Exo7





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FORMULAIRE SUR LES FONCTIONS HYPERBOLIQUES

Formule de puissance : (chx + shx)n = ch(nx) + sh(nx) pour tout n ? N. th(2x) = 2thx. 1 + th2x. 9. Formules de linéarisation : ch2x = ch(2x)+1.



Chapitre13 : Fonctions hyperboliques

2 x = (ch x ´ sh x)(ch x + sh x) = e´xex = 1. B) Étude de la fonction sh (sinus hyperbolique). ‚ On voit tout de suite qu'elle est impaire 



Fonctions hyperboliques et applications r´eciproques

Le graphe de la fonction ch admet donc l'axe des ordonnées pour axe de symétrie. La fonction sh est dérivable sur R et sa dérivée est ch. ... 1 + e?2x.



Développements limités usuels en 0

sin 2x. 4. R tan2 x tan x ? x. ] ? ?. 2. + k? ; ?. 2+ k? [ cotan2 x. ? cotan x ? x. ] k? ;(k + 1)? [ sh 2 x sh 2x. 4. ? x. 2. R ch 2 x sh 2x.



Chapitre 3 CALCUL DE PRIMITIVES

ch 2x. = 1 ? th 2x th x. 1 sh 2x ex sin 2x ? 2ex cos 2x ? 4 ... La premi`ere primitive se calcule facilement car 2(x ? a) est la dérivée de (x ...



FORMULAIRE dINTÉGRATION Dans ce qui suit c est une

ch 2x. = ?. (1 ? th 2x) dx = th x + c. ? cos2 x dx = x. 2. + sin 2x. 4. + c. ? sin2 x dx = x. 2 ? sin 2x. 4. + c. ? tanx dx = ?ln



Exercices de mathématiques - Exo7

ch(lnx)+sh(lnx) x . Correction ?. [005095]. Exercice 13 **. Résoudre dans R les équations suivantes : 1. chx = 2. 2. arcsin(2x) = arcsinx+arcsin(x?2)



Fonctions circulaires et hyperboliques inverses

Commencer par calculer Cn +Sn et Cn ?Sn à l'aide des fonctions ch et sh. Alors en prenant la tangente des deux membres



Équations différentielles

ch(2x). Indication ?. Correction ?. Vidéo ?. [006998]. Exercice 9. Résoudre 



[PDF] FORMULAIRE SUR LES FONCTIONS HYPERBOLIQUES

ch(2x) = ch2x + sh2x sh(2x) = 2shxchx th(2x) = 2thx 1 + th2x 9 Formules de linéarisation : ch2x = ch(2x)+1 2 sh2x = ch(2x) ? 1 2 th2x = ch(2x) ? 1



[PDF] Chapitre13 : Fonctions hyperboliques - Melusine

2 x = (ch x ´ sh x)(ch x + sh x) = e´xex = 1 B) Étude de la fonction sh (sinus hyperbolique) ‚ On voit tout de suite qu'elle est impaire 



[PDF] Les fonctions de référence

Définition 7 La fonction cosinus hyperbolique notée ch est la partie paire de la fonction exponentielle et la fonction sinus hyperbolique notée sh est la 



[PDF] Ch 4 FONCTIONS HYPERBOLIQUESpdf

Cette fonction est continue et définie sur \ et sa dérivée s'écrit : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ' ' xLn a xLn a x x a e Ln a e Ln a a = = =



[PDF] Fonctions hyperboliques et applications r´eciproques

La fonction sh est dérivable sur R et sa dérivée est ch ch et sh sont dérivables sur R (ce sont des sommes de fonctions dérivables) 1 + e?2x



[PDF] Fonctions circulaires et hyperboliques inverses - Exo7

Donc ch(3argchx)=(2x2 ?1)x+2x ? x2 ?1 ? x2 ?1 = x(4x2 ?3) Correction de l'exercice 12 ? La fonction argch est définie sur [1+?[ Or 1



[PDF] sh(x) = b) La fonction cosinus hyperbolique : ch(x) - Normale Sup

b) La fonction cosinus hyperbolique : ch(x) = ex + e ?x 2 Pour tout x ? R ch (x) = ex ? e?x 2 = sh(x) Or sh(0) = 0 et d'après ci-dessus 



[PDF] 9 fonctions hyperboliques

On appelle fonction sinus hyperbolique cosinus hyperbolique tangente hyperbolique et cotangente hyperbolique qu'on note respectivement sh ch



Sinus et cosinus hyperbolique - ChronoMath

sh(ix) = i sin x eu égard à la formule d'Euler : ex = cos x + i sin x ch2x - sh2x = 1 (ch x + sh x)n = ch nx + sh nx » de Moivre 

  • C'est quoi CHX ?

    cosinus hyperbolique : ch(x)=ex+e?x2. ch ( x ) = e x + e ? x 2 . C'est une fonction indéfiniment dérivable dont la courbe représentative est : tangente hyperbolique : th(x)=ex?e?xex+e?x.

  • Comment calculer le ch ?

    ch(ix) = cos x eu égard à la formule d'Euler : eix = cos x + i.

  • Comment calculer le sinus hyperbolique ?

    La fonction sinus hyperbolique est la fonction sinh : R ? R définie par sinh(x) = ex ? e?x 2 . La fonction tangente hyperbolique est la fonction tanh : R ? R définie par tanh(x) = sinh(x) cosh(x) = ex ? e?x ex + e?x .
  • ? Pour la fonction sh, il suffit de l'étudier sur [0,+?[ puisqu'il s'agit d'une fonction impaire. La dérivée de sh est ch et on a vu que chx ? 1 > 0 pour tout x ? R donc sh est strictement croissante sur R. On a ch0 = 1 donc le graphe de sh admet la droite ? d'équation y = x pour tangente en 0.
Exo7

Trigonométrie hyperbolique

* très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exercice 1***ITDomaine de définition et calcul des fonctions suivantes :

1.x7!sin(arcsinx),

2.x7!arcsin(sinx),

3.x7!cos(arccosx),

4.x7!arccos(cosx),

5.x7!tan(arctanx),

6.x7!arctan(tanx).

2.

Calculer arctan x+arctan1x

pourxréel non nul. 3. Calculer cos (arctana)et sin(arctana)pouraréel donné. 4. Calculer ,pour aetbréels tels queab6=1, arctana+arctanben fonction de arctana+b1ab(on étudiera d"abord cos(arctana+arctanb)et on distinguera les casab<1,ab>1 eta>0,ab>1 eta<0).

Rsin2x

0arcsinpt dt+Rcos2x

0arccospt dt.

1.f1(x) =arcsinxp1+x2

2.f2(x) =arccos1x21+x2

1

3.f3(x) =arcsinp1x2arctan

q1x1+x

4.f4(x) =arctan12x2arctanxx+1+arctanx1x

12 +arctan15 +arctan18

2+arctan22

2+:::+arctan2n

(Utiliser l"exercice 2 4)) f(x) = (x21)arctan12x1; et on appelle(C)sa courbe représentative dans un repère orthonormé. 1.

Quel est l"ensemble de définition Ddef?

2. Exprimer ,sur Dnf0g, la dérivée defsous la forme :f0(x) =2xg(x). 3. Montrer que : 8x2R;2x44x3+9x24x+1>0 et en déduire le tableau de variation deg. 4.

Dresser le tableau de v ariationde f.

2. En déduire la v aleurde un=20th(20x)+21th(21x)++2nth(2nx)pournentier naturel non nul etx réel non nul donnés puis calculer la limite de(un). 1. sin (2arcsinx), 2

2.cos (2arccosx),

3. sin

2arccosx2

4. ln (px

2+1+x)+ln(px

2+1x),

5. ar gsh x212x 6. ar gch(2x21), 7. ar gth qchx1chx+1 8. ch(lnx)+sh(lnx)x 1. ch x=2, 2. arcsin (2x) =arcsinx+arcsin(xp2), 3.

2 arcsinx=arcsin(2xp1x2).

Correction del"exer cice1 Narcsinxexiste si et seulement sixest dans[1;1]. Donc, sin(arcsinx)existe si et seulement sixest dans[1;1]

et pourxdans[1;1], sin(arcsinx) =x. arcsin(sinx)existe pour tout réelxmais ne vautxque sixest dansp2 ;p2 . • S"il existe un entier relatifktel quep2 +2kp6x6x2kp et donc arcsin(sinx) =arcsin(sin(x2kp)) =x2kp:

De plus, on ak6x2p+14

De plus,k6x2p14 arccos(cosx)existe pour tout réelxmais ne vautxque sixest dans[0;p]. • S"il existe un entier relatifktel

que 2kp6xPour tout réelx, tan(arctanx) =x. arctan(tanx)existe si et seulement sixn"est pas dansp2 +pZet pour cesx, il existe un entier relatifktel que p2 +kp.Correction del"exer cice2 N1.1ère solution. Posonsf(x) =arccosx+arcsinxpourxdans[1;1].fest définie et continue sur[1;1],

dérivable sur]1;1[. De plus, pourxdans]1;1[, f

0(x) =1p1x21p1x2=0:

Doncfest constante sur[1;1]et pourxdans[1;1],f(x) =f(0) =p2

8x2[1;1];arccosx+arcsinx=p2

:2ème solution. Il existe un unique réelqdans[0;p]tel quex=cosq, à savoirq=arccosx. Mais alors,

arccosx+arcsinx=q+arcsin sin(p2 q) =q+p2 q=p2 (car p2 qest dans[p2 ;p2

2.1ère solution. Pourxréel non nul, posonsf(x) =arctanx+arctan1x

.fest impaire.fest dérivable surRet pour tout réelxnon nul,f0(x) =11+x21x

211+1x

2=0.fest donc constante sur]¥;0[et sur

]0;+¥[(mais pas nécessairement surR). Donc, pourx>0,f(x) =f(1) =2arctan1=p2 , et puisquef est impaire, pourx<0,f(x) =f(x) =p2 . Donc,

8x2R;arctanx+arctan1x

p2 six>0 p2 six<0=p2 sgn(x):4

2èmesolutionPourxréelstrictementpositifdonné, ilexisteununiqueréelqdans0;p2

telquex=tanq

à savoirq=arctanx. Mais alors,

arctanx+arctan1x =q+arctan1tanq =q+arctan tan(p2 q) =q+p2 q=p2 (carqetp2 qsont éléments de0;p2 3. cos

2(arctana) =11+tan2(arctana)=11+a2. De plus , arctanaest dans]p2

;p2 [et donc cos(arctana)>0. On en déduit que pour tout réela, cos(arctana) =1p1+a2puis sin(arctana) =cos(arctana)tan(arctana) =ap1+a2:

8a2R;cos(arctana) =11+a2et sin(arctana) =ap1+a2:4.D"après 3),

cos(arctana+arctanb) =cos(arctana)cos(arctanb)sin(arctana)sin(arctanb) =1abp1+a2p1+b2;

ce qui montre déjà , puisqueab6=1, que cos(arctana+arctanb)6=0 et donc que tan(arctana+arctanb)

existe. On a immédiatement, tan(arctana+arctanb) =a+b1ab:

Maintenant, arctana+arctanbest dansp;p2

[p2 ;p2 [p2 ;p.

1er cas.Siab<1 alors cos(arctana+arctanb)>0 et donc arctana+arctanbest dansp2

;p2 . Dans ce cas, arctana+arctanb=arctana+b1ab.

2ème cas.Siab>1 alors cos(arctana+arctanb)<0 et donc arctana+arctanbest dansp;p2

[p2 ;p.

Si de plusa>0, arctana+arctanb>p2

et donc arctana+arctanbest dansp2 ;p. Dans ce cas, arctana+arctanbpest dansp2 ;p2 et a même tangente que arctana+b1ab. Donc, arctana+ arctanb=arctana+b1ab+p. Sia<0, on trouve de même arctana+arctanb=arctana+b1abp.

En résumé,

arctana+arctanb=8 >:arctan a+b1absiab<1 arctan a+b1ab+psiab>1 eta>0 arctan a+b1abpsiab>1 eta<0:Correction del"exer cice3 Nch(a+b) =chachb+shashbet ch(ab) =chachbshashb; sh(a+b) =shachb+chashbet sh(ab) =shachbshbcha th(a+b) =tha+thb1+thathbet th(ab) =thathb1thathb:5

Deux démonstrations :

chachb+shashb=14 ((ea+ea)(eb+eb)+(eaea)(ebeb)) =12 (ea+b+eab) =ch(a+b): th(a+b) =sh(a+b)ch(a+b)=shachb+shbchachachb+shashb=tha+thb1+thathb

après division du numérateur et du dénominateur par le nombre non nul chachb. En appliquant àa=b=x,

on obtient :

8x2R;ch(2x) =ch2x+sh2x=2ch2x1=2sh2x+1;sh(2x) =2shxchxet th(2x) =2thx1+th2x:En additionnant entre elles les formules d"addition, on obtient les formules de linéarisation :

chachb=12 (ch(a+b)+ch(ab));shashb=12 (ch(a+b)ch(ab))et shachb=12 (sh(a+b)+sh(ab)); et en particulier ch

2x=ch(2x)+12

et sh2x=ch(2x)12 :Correction del"exer cice4 NPourxréel, on posef(x) =Rsin2x

0arcsinpt dt+Rcos2x

0arccospt dt.

La fonctiont7!arcsinptest continue sur[0;1]. Donc, la fonctiony7!Ry

0arcsinpt dtest définie et dérivable

sur[0;1]. De plus,x7!sin2xest définie et dérivable surRà valeurs dans[0;1]. Finalement, la fonction

x7!Rsin2x

0arcsinpt dtest définie et dérivable surR. De même, la fonctiont7!arccosptest continue sur[0;1].

Donc, la fonctiony7!Ry

0arccospt dtest définie et dérivable sur[0;1]. De plus, la fonctionx7!cos2xest

définie et dérivable surR, à valeurs dans[0;1]. Finalement, la fonctionx7!Rcos2x

0arccospt dtest définie et

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