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IUT Dijon-Auxerre

GEA 1ère année TD4, 2016-2017, S1

Corrigé du Contrôle Continu n

o1

Exercice 1 :

1.

La p opulationétudiée est l"ensem bledes ménages a yantrép onduà l"enquête et la v ariable

statistique étudiée est la quantitéXd"électricité consommée par an par le ménage (en KWh).

Il s"agit d"une variable quantitative.

2. On dresse le tableau statistique comple tde cette série en notan tN= 310l"effectif total et pouri? {1,...,5}: -Ci= [xi;xi+1[laièmeclasse, -ci=xi+xi+12 le centre de laièmeclasse, -ai=xi+1-xil"amplitude de laièmeclasse, on c hoisit(arbitr airement)de normaliser par 1000, de sorte que ari=ai1000 -nil"effectif de laièmeclasse, -fi=niN la fréquence de laièmeclasse, -nril"effectif relatif de laièmeclasse, -fri=nr iN la fréquence relative de laièmeclasse, -Nil"effectif cumulé croissant jusqu"à laièmeclasse, -Fi=NiN la fréquence cumulée croissante jusqu"à laièmeclasse.iC ic ia ia rin if in rif riN iF L"histogramme des fréquences de cette série statistique est représenté dans la Figure 1. 3.

La fonction de répartition Fde cette série statistique représente la proportion de valeurs infé-

d"avoir observé une valeur inférieure ou égale àx. Sa courbe représentative interpole linéai-

rement les points(x1;0),(x2;F1),.... Elle est représentée dans la Figure 2. 4. (a) Le p ourcentagede ménages consomman tplus de 5000 KWh par an est : (b) Le p ourcentaged eménages consomman tau moins 5500 KWh mais moi nsde 7000 KWh par an est : La valeur deF(5500)se lit directement dans le tableau statistique de la variableX. On détermineF(7000)par interpolation linéaire. Clairement, 7000 est dans la classe 1

2,0004,0005,0006,0009,0000.10.20.30.4Figure1 - Histogramme des fréquences relatives.2,0003,0004,0005,0006,0007,0008,0009,00000.20.40.60.81

Figure2 - Fonction de répartition deX.

[6000;9000[. On en déduit par interpolation linéaire que : puis que

F(7000) =13

(F(9000)-F(6000)) +F(6000)?13 (1-0,8387) + 0,8387?0,8925. Finalement, le pourcentage de ménages consommant au moins 5500 KWh mais moins 2 de 7000 KWh par an est : 5. Les paramètres de c ettesérie statistique son tles suiv ants. (a) La classe mo daleest la clas sea yantla fréquence relativ ela plus élev ée;il s"agi tic ide la classeC3= [5000;5500[. (b) La mo yenne(arithmétique) est donnée par : X=n1c1+···+n5c5N ?5175. (c)

0,4032etF(5500) = 0,6258. Ainsi, cette valeur est dans la classeC3= [5000;5500[.

On déterminemepar interpolation linéaire :

soit me= 500×0,5-0,40320,6258-0,4032+ 5000?5217,4304. (d)

La v arianceest donnée par :

V[X] =n1(c1-X)2+···+n5(c5-X)2N

=n1c21+···+n5c25N -X

2?1816754,032.

(e)

L"écart-t ypeest donné par :

σ=?V[X]?1347,8702.

(f) L"écart-t yperelatif (ou co efficientde v ariation)est don népar : C

V=σX

?0,2605. (g)

L"écart-absolu mo yenest donné par :

EAM=n1|c1-X|+···+n5|c5-X|N

?1028,2258. 6. La distribution es tassez symétrique. La médianne et la mo yenneson tdu même ordre de grandeur.

Exercice 2 :Pour déterminer le coefficient de Cramér de la série, on commence par compléter le

tableau de contingence avec les effectifs marginaux observésni·enXetn·jenY.H

HHHHHXY3 5 6Eff. marg.ni·enXblanche12 34 2268

jaune6 19 1035 rose4 13 825 violette3 7 515

Eff. marg.n·jenY25 73 45143

3 On calcul ensuite les effectifs théoriquesTijque l"on obtiendrait si les variablesXetYétaient indépendantes et avec les mêmes marginales. Ceci se fait à l"aide de la formule : T ij=ni·n·jN oùN= 143est l"effectif total. On obtient le tableau suivant pour lesTij:H HHHHHXY3 5 6Eff. marg.ni·enXblanche11,8881 34,7133 21,398668 jaune6,1189 17,8671 11,014035 rose4,3706 12,7622 7,867125 violette2,6224 7,6573 4,720315

Eff. marg.n·jenY25 73 45143

On détermine, ensuite la distance du Chi-2 entre les deux tableaux par la formule : 2=4? i=13 j=1(nij-Tij)2T ij?0,3656. En utilisant que le nombre de lignes estl= 4et le nombre de colonnes estr= 3, on obtient que :

2max=N×min(l-1;r-1) = 143×min(3;2) = 286.

puis que le coefficient de Cramér de la série est

C=?χ

2χ

2max?0,0358.

Ce coefficient étant très proche de 0, on en déduit que la couleur d"une fleur de lys et son

nombre de pétales sont deux caractères indépendants.

Exercice 3 :

1. Le n uagede p ointsest rep résentédans la Figure 3. On observ eque les p ointssem blent

se répartir le long d"une droite. L"utilisation d"un modèle de régression linéaire est donc

approprié pour relier le nombre de jours de pluieXdans l"année et la hauteur cumulée de précipitationYrelevée la même année. 2. Déterminons le co efficientde cor rélationlinéair e.On a ici : X=X1+···+X1010 = 113,1Y=Y1+···+Y1010 = 835,33

V[X] =(X1-X)2+···+ (X10-X)210

= 576,09

V[Y] =(Y1-X)2+···+ (Y10-Y)210

= 6470,3061 Cov(X,Y) =(X1-X)(Y1-Y) +···+ (X10-X)(Y10-Y)10 = 1758,597 et donc

Cor(X,Y) =Cov(X,Y)?V[X]V[Y]?0,9109.

On a|Cor(X,Y)| ≥0,8; le modèle de régression linéaire est donc légitime ici. 4

80901001101201301401501601701807007508008509009501,0001,050Figure3 - Nuage de points représentant la série bivariée de l"Exercice 3.

3. La droite de régression expl iquantle cum ulann ueldes précipitations en fonc tiondu nom bre de jours de pluie est la droite de régression deYenX. Elle admet pour équation : y=ax+b, avec a=Cov(X,Y)V[X]?3,0526etb=Y-aX?490,0761. 4. Puisqu"en 2005 on a observ éx2005= 130jours de pluie, la droite de régression déterminée

dans la question précédente permet d"estimer que la hauteur d"eau mesurée en 2005 a été

d"environ : y

2005=ax2005+b?3,0526×130 + 490,0761?886,9197mm.

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