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COURS N°10 : STRUCTURE À TERME DES TAUX DINTÉRÊT

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:
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Construction de courbe de taux

Typologies de modeles de taux

Un modele de taux : le G2++

Mise en uvre : G2++

ReferencesGeneration de scenarios economiques

Modelisation des taux d'inter^et

Pierre-E. Therond

Galea & AssociesjISFA - Universite Lyon 1

22 novembre 2013

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ReferencesMotivation

La modelisation des taux d'inter^et est le cur d'un generateur de scenarios economiques. En particulier, dans les modelesmarket-consistent, les taux projetes constituent lesdriftsdes autres classes d'actifs. On se concentre dans ce cours sur les modeles de taux utilises pour proceder a des evaluationsmarket-consistentd'engagements d'assureurs. Dans d'autres situations (allocation strategique d'actifs, revalorisation a long terme, etc.) d'autres approches peuvent ^etre plus pertinentes (cf. Planchet et al. (2009)).

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ReferencesMotivation

Idealement, les modeles de taux doivent ^etre susamment complexes pour :representer correctement la structure par termes des taux d'inter^et (et notamment la courbe des taux a la date de projection);integrer une dynamique d'evolution de la courbe des taux coherentes avec les deformations observees sur les marches Dans le m^eme temps, leur mise en uvre et leur contr^ole est facilite parleur simplicite de discretisation et de simulation; l'existence de formules fermees d'obtention de prix pour les instruments nanciers (obligations sans risque, contrats a terme et options).

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ReferencesNotations

Taux d'inter^et instantane a la datet:rtPrix d'une obligation zero-coupon de nominal 1, a la date 0, de maturiteT:

P(0;T) =E

expZ T 0 r sdsPrix d'une obligation a la datet, de maturiteT:

P(t;T) =E

expZ T t r

sdsjFtTaux zero-coupon a la date 0, de maturiteT:R(0;T)Taux forward instantane a la datetde maturiteT:

f(t;T) =dln(P(t;T))dT

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ReferencesPlan du cours

1Construction de courbe de taux2Typologies de modeles de taux3Un modele de taux : le G2++4Mise en uvre : G2++Pierre TherondGeneration de scenarios economiques

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Methode du bootstrapping

Methode de Nelson-Siegel

Methode Smith-Wilson

Sommaire1Construction de courbe de tauxIntroduction

Methode du bootstrapping

Methode de Nelson-Siegel

Methode Smith-Wilson

2Typologies de modeles de taux3Un modele de taux : le G2++4Mise en uvre : G2++Pierre TherondGeneration de scenarios economiques

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1.1. Introduction

Qu'est-ce-qu'une courbe de taux?

La structure par terme des taux d'inter^et (ou courbe des taux) est la fonction qui, a une date donnee, associe pour chaque maturite le niveau du taux d'inter^et associe.

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1.1. Introduction

En pratique, il existe sur les marches non pas une courbe des taux mais plusieurs courbes des taux. Nous pouvons distinguer deux familles :Courbes de marche, i.e. construitesdirectementa partir des cotations sur les marches :courbe de taux swap courbe de rendement des obligations d' EtatCourbes implicites, i.e. construitesindirectementa partir des cotations de marche d'instruments comme les obligations et les swaps :courbe de taux zero-coupon courbe des taux forward courbe des taux forward instantanes courbe des taux de rendement au pair

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1.1. Introduction

Avant de s'interesser a la modelisation de la dynamique des taux d'inter^et, on s'interesse aux dierentes techniques qui permettent de construire une courbe des taux a partir des donnees de marche :bootstraping,

Nelson-Siegel,

Smith-Wilson.

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1.2. Methode du bootstrapping

Qu'est-ce-que le bootstrapping?

Le bootstraping est une procedure qui permet de reconstituer une courbe zero-coupon pas a pas, i.e. segment de maturite par segment de maturite. En pratique cela revient a :

Pour le segment de maturite inferieure a 1 anExtraction des taux zero-coupon gr^ace aux prix des titres

zero-coupon cotes sur le marcheInterpolation lineaire ou cubique pour obtenir une courbe continue

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1.2. Methode du bootstrapping

Pour le segment de maturite allant de 1 an a 2 ans

On observe le prix et les caracteristiques (

ux contractuels) de l'obligation a l'echeance la plus rapprochee. Supposons qu'elle verse deux ux (coupon / coupon + remboursement) :le facteur d'actualisation du premier ux est connu gr^ace a l'etape 1le facteur d'actualisation du second ux est solution de l'equation

Formellement, on a :

P(0;t2) =CPzc(0;t1) + (100 +C)Pzc(0;t2)

avecCle coupon,t11 et 1Construction de courbe de taux

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1.2. Methode du bootstrapping

Pour le segment de la courbe allant de 2 ans a 3 ans On reitere l'operation precedente a partir des titres ayant une maturite comprise entre 2 ans et 3 ans. etc.

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1.2. Methode du bootstrapping

Illustration

Sur le marche, toutes les echeances d'obligation zero-coupon n'existent pas. Supposons que l'on ait les donnees suivantes :

Table :

L isted esob ligationsPrincipal Maturite en annee Coupon annuel Prix

100 0.25 0% 97.5

100 0.50 0% 94.9

100 1.00 0% 90.0

100 1.50 8% 98.0

100 2.00 12% 99.0

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1.2. Methode du bootstrapping

Illustration

Les trois premieres obligations ne payent pas de coupon, les taux ZC correspondant a ces maturites sont obtenus aisement :R(0;T) avec T exprime en annee.

100 = 97:5

1 +R 0;14 14 ,R 0;14 =10097:5 4 1 ,R 0;14 = 10;65%Pierre TherondGeneration de scenarios economiques

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1.2. Methode du bootstrapping

Illustration

Par des calculs similaires, on a :

R 0;12 =:1103 R(0;1) =:1111Pierre TherondGeneration de scenarios economiques

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1.2. Methode du bootstrapping

Illustration

Pour obtenirR0;32

, il sut de resoudre : 98 =

8(1 + 0;1103)12

+108

1 +R(0;32

)1+12 ,R 0;32 = 12;58%

Enn,R(0;2) est obtenu par la realisation de :

99 =

12(1 + 0;1111)1+112(1 +R(0;2))2

,R(0;2) = 12;69%Pierre TherondGeneration de scenarios economiques

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1.2. Methode du bootstrapping

Nous avons alors les taux zero-coupon suivants :

Table :

L est auxz ero-couponMaturite Taux ZC

0.25 10,65%

0.5 11,03%

1 11,11%

1.5 12,58%

2 12,69%A ce stade, la courbe des taux n'est denie qu'a certaines

maturites. Pour obtenir toutes les maturites, des methodes d'interpolation peuvent ^etre employees.

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1.2. Methode du bootstrapping

Interpolation

Lorsque l'on utilise un bootstrap, il est necessaire de choisir une methode d'interpolation. Celles-ci peuvent, par exemple, ^etre :lineaires, cubiques.

Interpolation lineaire

On conna^t les taux zero-coupon de maturitest1ett2. On interpole le taux de maturitet1R(0;t) =(t2t)R(0;t1) + (tt1)R(0;t2)t

2t1Pierre TherondGeneration de scenarios economiques

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1.2. Methode du bootstrapping

Interpolation cubique

On procede a une interpolation cubique par segment de courbes. On denit un premier segment entret1ett3ou l'on dispose de trois tauxR(0;t1),R(0;t2) etR(0;t3). Le tauxR(0;t) de maturitetest deni par :at3+bt2+ct+d sous la contrainte que la courbe passe par les trois points. D'ou :

R(0;t1) =at31+bt21+ct1+d

R(0;t2) =at32+bt22+ct2+d

R(0;t3) =at33+bt23+ct3+dPierre TherondGeneration de scenarios economiques

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1.3. Methode de Nelson-Siegel

La methode de Nelson-Siegel consiste a modeliser la courbe de taux zero-coupon au moyen de :

R(0;) =0+11exp(=)=

+21exp(=)=
exp(=) (1) avec :R(0;) le taux ZC de maturitele parametre d'echelle

0le facteur de niveau i.e. le taux long

1le facteur de rotation i.e. l'ecart entre taux court et taux

long

2le facteur de pentePierre TherondGeneration de scenarios economiques

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1.3. Methode de Nelson-Siegel

Remarque :

Une etude menee par Roncalli [1998] avec lamethode de l'Analyse en Composantes Principalesa mis en evidence que deux facteurs expliquent plus de 98% de la variance totale : le facteur de niveau et le facteur de pente.

Mise en uvre1Estimation des parametres2Les implementer dans la formuleR(0;)Pierre TherondGeneration de scenarios economiques

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1.3. Methode de Nelson-Siegel

Mise en uvre surR1l i b r a r y (" YieldCurve" )# C hargementd up ackagedata ( FedYieldCurve )# D onnee sd up ackage

3tau

Estimation

d es p aram e t res

y tres

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1.3. Methode de Nelson-Siegel

Figure :

M ethodeN elson-Sielgel

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1.3. Methode de Nelson-Siegel

Le modele de Nelson-Siegel ne permet de reconstituer toutes les courbes de taux rencontrees sur le marche. En particulier les formes a une bosse et un creux ne peuvent ^etre reproduites. Le modele de

Nelson-Siegel augmente y remedie.

La fonctionnelle du modele de Nelson-Siegel augmente est donnee par :

R(0;) =0+11exp(=1)=

1 +21exp(=1)=

1exp(=1)

+31exp(=2)=

2exp(=2)

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1.3. Methode de Nelson-Siegel

Par rapport a Nelson-Siegel, l'ajout d'une troisieme variable explicative permet de mieux prendre en consideration les formes de courbure. Mise en uvre surRdata ( ECBYieldCurve )# C hargementd esd onnee sd ansl e package

2tauECB

4B

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1.3. Methode de Nelson-Siegel

Figure :

M ethodeN elson-Sielgel-Svensson

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1.4. Methode Smith-WilsonSur le marche, nous observons des prix zero-coupons de

dierentes maturites :u1;:::uNLe but de la methode de SW est de trouver le prix des ZC pour les autres maturitesEntreu1;:::;uN,methode d'interpolationEntreuN+, ...,methode d'extrapolation en fonction d'untaux forward longUltimate Forward Rate (UFR)On pourra alors facilement determiner la courbe des taux ZC

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1.4. Methode Smith-Wilson

La fonction de prix utilisee par Smith-Wilson est : P zc(0;) =eUFR+NX j=1 jW(;uj) avec :

W(;uj) =eUFR(+uj)

n min(;uj)0:5emax(;uj) emin(;uj)emin(;uj)o

ou :UFRest l'ultimate forward rateest une mesure de la vitesse de convergence versUFRNest le nombre de d'obligations ZC dont le prix est observeu= (u1;:::;uN) le vecteur des maturites de ces obligations ZCPierre TherondGeneration de scenarios economiques

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1.4. Methode Smith-Wilson

Determination de

(1)

AUFRetxes, le vecteur

s'obtient comme solution d'un systeme d'equations lineaires denies par l'expression du prix de chaque obligation ZC consideree.

Soit :

m j=Pzc(0;uj) =eUFRuj+NX j=1quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35

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