COURS N°10 : STRUCTURE À TERME DES TAUX DINTÉRÊT
Les Yt sont des taux comptant ou spot. 1.2- LA COURBE DES TAUX À TERME ( LES TAUX FORWARD). Personne ne connaît aujourd'hui les taux comptant futurs i.e
ÉDITORIAL
19 avr. 2022 L'aplatissement de la courbe de taux américaine a suscité bien des ... laquelle un autre indicateur a été construit : le spread forward à ...
Génération de scénarios économiques - Modélisation des taux d
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Mod`eles stochastiques de taux dintérêts
11 janv. 2011 5.2.5 Dynamique des taux Libor forward sous une même mesure . ... On appelle courbe des taux ou structure par terme des taux la fonction.
Création dun outil de couverture de taux dintérêts en ligne
6 Courbe des taux forward. 34. III Construction d'un pricer de swap. 35. 7 Cas général. 35. 8 Cas particulier. 36. IV Application sous l'interface Shiny.
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deux courbes de taux d'inflation distinctes obtenues par des techniques de modélisation Diffusion des courbes de taux forward pour Jarrow Yildirim .
Modèles de Taux
la courbe de taux forward du 19/08/13. Remarquons que le taux Libor peut s'exprimer en fonction du prix forward. Yt = Xt/Nt avec Nt = B(t S)/(S ? T)
Les courbes de taux
Cross-currency swaps – inutile en framework mono-courbe . être méticuleux il faudrait comparer avec les taux forward OIS) ce qui est surprenant.
Mod`eles de taux
données de marché (on parlera abusivement de courbe de taux initiale). On définit le taux forward instantané `a la date t pour l'échéance T par.
Bureau détude 2013-2014 Implémentation du LIBOR Market Model
VI.2 Courbe des taux ZC au 31/12/2013 et autres entrées . . . . . . . . . . . . 54. VI.3 Taux forward sur 10 ans donné par le Libor Market Model `a 1
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Construction de courbe de taux
Typologies de modeles de taux
Un modele de taux : le G2++
Mise en uvre : G2++
ReferencesGeneration de scenarios economiques
Modelisation des taux d'inter^et
Pierre-E. Therond
Galea & AssociesjISFA - Universite Lyon 1
22 novembre 2013
Pierre TherondGeneration de scenarios economiques
Construction de courbe de taux
Typologies de modeles de taux
Un modele de taux : le G2++
Mise en uvre : G2++
ReferencesMotivation
La modelisation des taux d'inter^et est le cur d'un generateur de scenarios economiques. En particulier, dans les modelesmarket-consistent, les taux projetes constituent lesdriftsdes autres classes d'actifs. On se concentre dans ce cours sur les modeles de taux utilises pour proceder a des evaluationsmarket-consistentd'engagements d'assureurs. Dans d'autres situations (allocation strategique d'actifs, revalorisation a long terme, etc.) d'autres approches peuvent ^etre plus pertinentes (cf. Planchet et al. (2009)).Pierre TherondGeneration de scenarios economiques
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Un modele de taux : le G2++
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ReferencesMotivation
Idealement, les modeles de taux doivent ^etre susamment complexes pour :representer correctement la structure par termes des taux d'inter^et (et notamment la courbe des taux a la date de projection);integrer une dynamique d'evolution de la courbe des taux coherentes avec les deformations observees sur les marches Dans le m^eme temps, leur mise en uvre et leur contr^ole est facilite parleur simplicite de discretisation et de simulation; l'existence de formules fermees d'obtention de prix pour les instruments nanciers (obligations sans risque, contrats a terme et options).Pierre TherondGeneration de scenarios economiques
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ReferencesNotations
Taux d'inter^et instantane a la datet:rtPrix d'une obligation zero-coupon de nominal 1, a la date 0, de maturiteT:P(0;T) =E
expZ T 0 r sdsPrix d'une obligation a la datet, de maturiteT:P(t;T) =E
expZ T t rsdsjFtTaux zero-coupon a la date 0, de maturiteT:R(0;T)Taux forward instantane a la datetde maturiteT:
f(t;T) =dln(P(t;T))dTPierre TherondGeneration de scenarios economiques
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ReferencesPlan du cours
1Construction de courbe de taux2Typologies de modeles de taux3Un modele de taux : le G2++4Mise en uvre : G2++Pierre TherondGeneration de scenarios economiques
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Typologies de modeles de taux
Un modele de taux : le G2++
Mise en uvre : G2++
ReferencesIntroduction
Methode du bootstrapping
Methode de Nelson-Siegel
Methode Smith-Wilson
Sommaire1Construction de courbe de tauxIntroductionMethode du bootstrapping
Methode de Nelson-Siegel
Methode Smith-Wilson
2Typologies de modeles de taux3Un modele de taux : le G2++4Mise en uvre : G2++Pierre TherondGeneration de scenarios economiques
Construction de courbe de taux
Typologies de modeles de taux
Un modele de taux : le G2++
Mise en uvre : G2++
ReferencesIntroduction
Methode du bootstrapping
Methode de Nelson-Siegel
Methode Smith-Wilson
1.1. Introduction
Qu'est-ce-qu'une courbe de taux?
La structure par terme des taux d'inter^et (ou courbe des taux) est la fonction qui, a une date donnee, associe pour chaque maturite le niveau du taux d'inter^et associe.Pierre TherondGeneration de scenarios economiques
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Methode du bootstrapping
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1.1. Introduction
En pratique, il existe sur les marches non pas une courbe des taux mais plusieurs courbes des taux. Nous pouvons distinguer deux familles :Courbes de marche, i.e. construitesdirectementa partir des cotations sur les marches :courbe de taux swap courbe de rendement des obligations d' EtatCourbes implicites, i.e. construitesindirectementa partir des cotations de marche d'instruments comme les obligations et les swaps :courbe de taux zero-coupon courbe des taux forward courbe des taux forward instantanes courbe des taux de rendement au pairPierre TherondGeneration de scenarios economiques
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1.1. Introduction
Avant de s'interesser a la modelisation de la dynamique des taux d'inter^et, on s'interesse aux dierentes techniques qui permettent de construire une courbe des taux a partir des donnees de marche :bootstraping,Nelson-Siegel,
Smith-Wilson.
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1.2. Methode du bootstrapping
Qu'est-ce-que le bootstrapping?
Le bootstraping est une procedure qui permet de reconstituer une courbe zero-coupon pas a pas, i.e. segment de maturite par segment de maturite. En pratique cela revient a :Pour le segment de maturite inferieure a 1 anExtraction des taux zero-coupon gr^ace aux prix des titres
zero-coupon cotes sur le marcheInterpolation lineaire ou cubique pour obtenir une courbe continuePierre TherondGeneration de scenarios economiques
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1.2. Methode du bootstrapping
Pour le segment de maturite allant de 1 an a 2 ansOn observe le prix et les caracteristiques (
ux contractuels) de l'obligation a l'echeance la plus rapprochee. Supposons qu'elle verse deux ux (coupon / coupon + remboursement) :le facteur d'actualisation du premier ux est connu gr^ace a l'etape 1le facteur d'actualisation du second ux est solution de l'equationFormellement, on a :
P(0;t2) =CPzc(0;t1) + (100 +C)Pzc(0;t2)
avecCle coupon,t11 et 1Typologies de modeles de taux
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ReferencesIntroduction
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1.2. Methode du bootstrapping
Pour le segment de la courbe allant de 2 ans a 3 ans On reitere l'operation precedente a partir des titres ayant une maturite comprise entre 2 ans et 3 ans. etc.Pierre TherondGeneration de scenarios economiques
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1.2. Methode du bootstrapping
Illustration
Sur le marche, toutes les echeances d'obligation zero-coupon n'existent pas. Supposons que l'on ait les donnees suivantes :Table :
L isted esob ligationsPrincipal Maturite en annee Coupon annuel Prix100 0.25 0% 97.5
100 0.50 0% 94.9
100 1.00 0% 90.0
100 1.50 8% 98.0
100 2.00 12% 99.0
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1.2. Methode du bootstrapping
Illustration
Les trois premieres obligations ne payent pas de coupon, les taux ZC correspondant a ces maturites sont obtenus aisement :R(0;T) avec T exprime en annee.100 = 97:5
1 +R 0;14 14 ,R 0;14 =10097:5 4 1 ,R 0;14 = 10;65%Pierre TherondGeneration de scenarios economiquesConstruction de courbe de taux
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1.2. Methode du bootstrapping
Illustration
Par des calculs similaires, on a :
R 0;12 =:1103 R(0;1) =:1111Pierre TherondGeneration de scenarios economiquesConstruction de courbe de taux
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1.2. Methode du bootstrapping
Illustration
Pour obtenirR0;32
, il sut de resoudre : 98 =8(1 + 0;1103)12
+1081 +R(0;32
)1+12 ,R 0;32 = 12;58%Enn,R(0;2) est obtenu par la realisation de :
99 =12(1 + 0;1111)1+112(1 +R(0;2))2
,R(0;2) = 12;69%Pierre TherondGeneration de scenarios economiquesConstruction de courbe de taux
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1.2. Methode du bootstrapping
Nous avons alors les taux zero-coupon suivants :
Table :
L est auxz ero-couponMaturite Taux ZC
0.25 10,65%
0.5 11,03%
1 11,11%
1.5 12,58%
2 12,69%A ce stade, la courbe des taux n'est denie qu'a certaines
maturites. Pour obtenir toutes les maturites, des methodes d'interpolation peuvent ^etre employees.Pierre TherondGeneration de scenarios economiques
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1.2. Methode du bootstrapping
Interpolation
Lorsque l'on utilise un bootstrap, il est necessaire de choisir une methode d'interpolation. Celles-ci peuvent, par exemple, ^etre :lineaires, cubiques.Interpolation lineaire
On conna^t les taux zero-coupon de maturitest1ett2. On interpole le taux de maturitet12t1Pierre TherondGeneration de scenarios economiques
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1.2. Methode du bootstrapping
Interpolation cubique
On procede a une interpolation cubique par segment de courbes. On denit un premier segment entret1ett3ou l'on dispose de trois tauxR(0;t1),R(0;t2) etR(0;t3). Le tauxR(0;t) de maturitetest deni par :at3+bt2+ct+d sous la contrainte que la courbe passe par les trois points. D'ou :R(0;t1) =at31+bt21+ct1+d
R(0;t2) =at32+bt22+ct2+d
R(0;t3) =at33+bt23+ct3+dPierre TherondGeneration de scenarios economiquesConstruction de courbe de taux
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1.3. Methode de Nelson-Siegel
La methode de Nelson-Siegel consiste a modeliser la courbe de taux zero-coupon au moyen de :R(0;) =0+11exp(=)=
+21exp(=)=exp(=) (1) avec :R(0;) le taux ZC de maturitele parametre d'echelle
0le facteur de niveau i.e. le taux long
1le facteur de rotation i.e. l'ecart entre taux court et taux
long2le facteur de pentePierre TherondGeneration de scenarios economiques
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1.3. Methode de Nelson-Siegel
Remarque :
Une etude menee par Roncalli [1998] avec lamethode de l'Analyse en Composantes Principalesa mis en evidence que deux facteurs expliquent plus de 98% de la variance totale : le facteur de niveau et le facteur de pente.Mise en uvre1Estimation des parametres2Les implementer dans la formuleR(0;)Pierre TherondGeneration de scenarios economiques
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1.3. Methode de Nelson-Siegel
Mise en uvre surR1l i b r a r y (" YieldCurve" )# C hargementd up ackagedata ( FedYieldCurve )# D onnee sd up ackage
3tau Estimation
d es p aram e t res y tres Pierre TherondGeneration de scenarios economiques
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1.3. Methode de Nelson-Siegel
Figure :
M ethodeN elson-Sielgel
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1.3. Methode de Nelson-Siegel
Le modele de Nelson-Siegel ne permet de reconstituer toutes les courbes de taux rencontrees sur le marche. En particulier les formes a une bosse et un creux ne peuvent ^etre reproduites. Le modele de Nelson-Siegel augmente y remedie.
La fonctionnelle du modele de Nelson-Siegel augmente est donnee par : R(0;) =0+11exp(=1)=
1 +21exp(=1)=
1exp(=1)
+31exp(=2)=
2exp(=2)
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1.3. Methode de Nelson-Siegel
Par rapport a Nelson-Siegel, l'ajout d'une troisieme variable explicative permet de mieux prendre en consideration les formes de courbure. Mise en uvre surRdata ( ECBYieldCurve )# C hargementd esd onnee sd ansl e package 2tauECB 4B Pierre TherondGeneration de scenarios economiques
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Figure :
M ethodeN elson-Sielgel-Svensson
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1.4. Methode Smith-WilsonSur le marche, nous observons des prix zero-coupons de
dierentes maturites :u1;:::uNLe but de la methode de SW est de trouver le prix des ZC pour les autres maturitesEntreu1;:::;uN,methode d'interpolationEntreuN+, ...,methode d'extrapolation en fonction d'untaux forward longUltimate Forward Rate (UFR)On pourra alors facilement determiner la courbe des taux ZC Pierre TherondGeneration de scenarios economiques
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1.4. Methode Smith-Wilson
La fonction de prix utilisee par Smith-Wilson est : P zc(0;) =eUFR+NX j=1 jW(;uj) avec : W(;uj) =eUFR(+uj)
n min(;uj)0:5emax(;uj) emin(;uj)emin(;uj)o ou :UFRest l'ultimate forward rateest une mesure de la vitesse de convergence versUFRNest le nombre de d'obligations ZC dont le prix est observeu= (u1;:::;uN) le vecteur des maturites de ces obligations ZCPierre TherondGeneration de scenarios economiques
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1.4. Methode Smith-Wilson
Determination de
(1) AUFRetxes, le vecteur
s'obtient comme solution d'un systeme d'equations lineaires denies par l'expression du prix de chaque obligation ZC consideree. Soit :
m j=Pzc(0;uj) =eUFRuj+NX j=1quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35
Estimation
d es p aram e t resy ou :UFRest l'ultimate forward rateest une mesure de la vitesse de convergence versUFRNest le nombre de d'obligations ZC dont le prix est observeu= (u1;:::;uN) le vecteur des maturites de ces obligations ZCPierre TherondGeneration de scenarios economiquesPierre TherondGeneration de scenarios economiques
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Le modele de Nelson-Siegel ne permet de reconstituer toutes les courbes de taux rencontrees sur le marche. En particulier les formes a une bosse et un creux ne peuvent ^etre reproduites. Le modele de Nelson-Siegel augmente y remedie.
La fonctionnelle du modele de Nelson-Siegel augmente est donnee par : R(0;) =0+11exp(=1)=
1 +21exp(=1)=
1exp(=1)
+31exp(=2)=
2exp(=2)
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Par rapport a Nelson-Siegel, l'ajout d'une troisieme variable explicative permet de mieux prendre en consideration les formes de courbure. Mise en uvre surRdata ( ECBYieldCurve )# C hargementd esd onnee sd ansl e package 2tauECB
4B
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1.4. Methode Smith-WilsonSur le marche, nous observons des prix zero-coupons de
dierentes maturites :u1;:::uNLe but de la methode de SW est de trouver le prix des ZC pour les autres maturitesEntreu1;:::;uN,methode d'interpolationEntreuN+, ...,methode d'extrapolation en fonction d'untaux forward longUltimate Forward Rate (UFR)On pourra alors facilement determiner la courbe des taux ZC Pierre TherondGeneration de scenarios economiques
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La fonction de prix utilisee par Smith-Wilson est : P zc(0;) =eUFR+NX j=1 jW(;uj) avec : W(;uj) =eUFR(+uj)
n min(;uj)0:5emax(;uj) emin(;uj)emin(;uj)o Construction de courbe de taux
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1.4. Methode Smith-Wilson
Determination de
(1) AUFRetxes, le vecteur
s'obtient comme solution d'un systeme d'equations lineaires denies par l'expression du prix de chaque obligation ZC consideree. Soit :
m j=Pzc(0;uj) =eUFRuj+NX j=1quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35
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