[PDF] Enseigner la proportionnalité

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ENSEIGNER LA PROPORTIONNALITÉ

Au cycle 3

Introduction

ʃCette notion en prise directe avec la vie courante est un LQŃRQPRXUQMNOH GH PRXPHV OHV GLVŃLSOLQHV VŃLHQPLILTXHV Ń·HVP SRXUTXRL O·LQLPLMPLRQ MX[ UMLVRQQHPHQPV SURSUHV j OM proportionnalité est particulièrement importante. ʃLa notion de proportionnalité est présente dans les situations mathématiques depuis la maternelle. En effet, les jeux G·pŃOMQJH VRQP GpÓj GHV SURNOqPHV UHOHYMQP GH OM proportionnalité.

Introduction

Une bille bleue vaut deux billes rouges. Si je te donne 2 billes bleues, combien me donnes-tu de billes rouges ? vaut valent ????

Extraits du nombre au cycle III

3

La proportionnalité

dans les nouveaux programmes

Les nouveaux programmes

CompétencesDomaines

du socle

Modéliser

delaviequotidienne. multiplicatives,deproportionnalité.

1, 2, 4

grandeurs(aire,volume,anglenotamment). instruments Le programme de mathématiques est composé de 3 thèmes -Nombres et calculs -Grandeurs et mesures -Espace et géométrie Résolution de problème, organisation et gestion de données et proportionnalité sont transversales aux 3 thèmes

Connaissances et compétences

associées ([HPSOHV GH VLPXMPLRQV G·MŃPLYLPpV HP

Proportionnalité

Reconnaitre et résoudre des problèmes

relevant de la proportionnalité en utilisant une procédure adaptée.

Situations permettant une rencontre

avec des échelles, des vitesses constantes, des taux de

SRXUŃHQPMJH HQ OLHQ MYHŃ O·pPXGH

des fractions décimales.

Mobiliser les propriétés de linéarité

(additives et multiplicatives), de proportionnalité, de passage à

O·XQLPp.

Utiliser des exemples de tableaux de

proportionnalité.

Nombres et calculs

Connaissances et compétences associéesExemples de situations,

G·MŃPLYLPpV HP GH UHVVRXUŃHV SRXU

Proportionnalité

Identifier une situation de proportionnalité

entre deux grandeurs.

¾Graphiques représentant des variations

entre deux grandeurs.

Comparer distance parcourue et

temps écoulé, quantité

G·HVVHQŃH ŃRQVRPPpH HP

distance parcourue, quantité de liquide écoulée et temps écoulé, etc.

Grandeurs et mesures

Dans le cadre des grandeurs, la proportionnalité sera mise en évidence et convoquée pour résoudre des problèmes dans différents contextes. Connaissances et compétences associéesExemples de situations,

G·MŃPLYLPpV HP GH UHVVRXUŃHV SRXU

Proportionnalité

Reproduire une figure en respectant une

échelle.

¾$JUMQGLVVHPHQP RX UpGXŃPLRQ G·XQH ILJXUHB

Reproduire une figure à partir

G·XQ PRGqOH O·pŃOHOOH SRXYMQP

être donnée par des éléments

déjà tracés).

Espace et géométrie

Les activités spatiales et géométriques sont à mettre en lien avec les deux autres thèmes : résoudre dans un autre cadre des problèmes relevant de la proportionnalité. Les 6 compétences

La proportionnalité est

une modalisation du réel, on est dans le champ MODELISER

La proportionnalité, une modélisation

du réel

Exemple de cycle de modélisation

3RXU 20 ŃUrSHV LO PH IMXP 8C3 G·±XIVB

Les savoirs

mathématiques

4ème

proportionnelleRègles de trois

Fonction

linéaire

Coefficient de

proportionnalité

Produit en croixPassage à

O·XQLPp

Propriétés de

linéarité de

O·MGGLPLRQ HP GH

la multiplication

Situation

proportionnelle et non proportionnelle

Et vous, vous en savez quoi ?

https://www.plickers.com/liveview

La règle de trois

La règle de trois utilise deux

procédures de calculs : -IH SMVVMJH j O·XQLPp -Les propriétés de linéarités de la multiplication (deux fois)

Le produit en croix

Gâteau46

Prix10 ʙ

4 x ?= 10 x 6

Pour trouver le prix de 6 gâteaux, je multiplie le nombre de gâteaux que je cherche (6) par le prix donné (10ʙ) pour un autre nombre de gâteau (4)

La quatrième proportionnelle

Je suis la quatrième

proportionnelle

IH SMVVMJH j O·XQLPp

Le coefficient de proportionnalité

Deux grandeurs sont proportionnelles

quand on obtient les valeurs de l'une en multipliant par le même nombre ² autre que 0 ²toutes les valeurs de l'autre. Le nombre qui permet de passer d'une suite de nombres à l'autre s'appelle le " coefficient de proportionnalité». IM ŃRPSUpOHQVLRQ GH O·XQLPp GX ŃRHIILŃLHQP GH SURSRUPLRQQMOLPp SRVH GHV SURNOqPHV SXLVTX·LO V·MJLP VRXYHQP GX TXRPLHQP GH 2 XQLPpVB La différence entre le coefficient de proportionnalité et le SMVVMJH j O·XQLPp "6 biscuits coûtent 7ʙ20, combien coûtent 10 biscuits ?»

Biscuits610

Prix7ʙ2012 ʙX 1,2Biscuits1610

Prix1,2ʙ7ʙ2012 ʙ

12 Q·M SMV G·XQLPp Ń·HVP

OM JUMQGHXU G·XQ

quotient

1,2 est un prix

La linéarité de la proportionnalité

Par définition la proportionnalité est une fonction linéaire. proportionnelles quand on a une fonction linéaire (qui se reconnaît au SMVVMJH SMU O·RULJLQH TXMQG RQ PUMŃH OH JUMSOH GH OM IRQŃPLRQ ); aXet donc F(0) = 0 )

3URSULpPpV GH OLQpMULPp GH O·MGGLPLRQ

Si deux suites sont proportionnelles, f(x1+x2) = f(x1) + f(x2) Propriétés de linéarité de la multiplication Si deux suites sont proportionnelles, f(kX) = k f(X)

Situations proportionnelles et non

proportionnelles https://www.plickers.com/liveview

Il est important de sensibiliser les élèves à la nécessité de vérifier la plausibilité du

résultat mathématique par rapport à la situation réelle. ([HPSOH OM PMLOOH GH O·HQIMQP TXL GRXNOH TXMQG O·kJHest doublée. On pourra aussi mettre le doigt sur des situations proportionnelles qui restent de

O·RUGUH GH OM SUpGLŃPLRQB

Exemple : si 2 pommes pèsent 640g, alors 4 pommes pèsent 1280g

Les différentes procédures

-Les conceptions initiales des enseignants -Analyser les procédures induites par les manuels -Les variables didactiques -Analyser les procédures des élèves : procédure expertes ou adaptées ?

Conception actuelle des enseignants

Sachant que 4 bonbons valent 2 euros,

combien valent 8 bonbons ?

Sachant que 4 bonbons valent 2 euros,

combien valent 8 bonbons ? Version 1 H[PUMLPV GH OM SUpVHQPMPLRQ G·$UQMXG 6LPMUG j O·(6(1 Sachant que 4 bonbons valent 2 euros, combien valent 8 bonbons? grandeur, dans la même unité

4 bonbons coûtent 2 euros

8 bonbons coûtent ?

proportionnalité rapport interne simple rapport externe simple 37

Sachant que 4 bonbons valent 2 euros,

combien valent 8 bonbons ?

Sachant que 4 bonbons valent 2,42 euros,

combien valent 8 bonbons ?

Sachant que 4 bonbons valent 2 euros,

combien valent 8 bonbons ?

Sachant que 4 bonbons valent 2,42 euros,

combien valent 8 bonbons ? Version 2 H[PUMLPV GH OM SUpVHQPMPLRQ G·$UQMXG 6LPMUG j O·(6(1 Sachant que 4 bonbons valent 2,42 euros, combien valent 8 bonbons?

4 bonbons coûtent 2,42

8 bonbons à ?

-à-dire utiliser les relations de linéarité : propriété additive et multiplicative. rapport interne simple rapport externe complexe 40

Sachant que 4 bonbons valent 2 euros,

combien valent 8 bonbons ?

Sachant que 4 bonbons valent 2,42 euros,

combien valent 8 bonbons ?

Sachant que 4 bonbons valent 2 euros,

combien valent 14 bonbons ?

Sachant que 4 bonbons valent 2 euros,

combien valent 8 bonbons ?

Sachant que 4 bonbons valent 2,42 euros,

combien valent 8 bonbons ?

Sachant que 4 bonbons valent 2 euros,

combien valent 14 bonbons ? Version 3 H[PUMLPV GH OM SUpVHQPMPLRQ G·$UQMXG 6LPMUP j O·(6(1 Sachant que 4 bonbons valent 2 euros, combien valent 14 bonbons?

4 bonbonscoûtent 2 euros

14 bonbonscoûtent ?

proportionnalité rapport interne complexe rapport externe simple 43

Sachant que 4 bonbons valent 2 euros,

combien valent 8 bonbons ?

Sachant que 4 bonbons valent 2,42 euros,

combien valent 8 bonbons ?

Sachant que 4 bonbons valent 2 euros,

combien valent 14 bonbons ?

Sachant que 4 bonbons valent 2,42 euros,

combien valent 14 bonbons ?

Sachant que 4 bonbons valent 2 euros,

combien valent 8 bonbons ?

Sachant que 4 bonbons valent 2,42 euros,

combien valent 8 bonbons ?

Sachant que 4 bonbons valent 2 euros,

combien valent 14 bonbons ?

Sachant que 4 bonbons valent 2,42 euros,

combien valent 14 bonbons ? Version 4 H[PUMLPV GH OM SUpVHQPMPLRQ G·$UQMXG 6LPMUG j O·(6(1 Sachant que 4 bonbons valent 2,42 euros, combien valent 14 bonbons?

4 bonbonscoûtent 2,42 euros

14 bonbonscoûtent ?

Pas de procédure efficace simple

rapport externe complexe rapport interne complexe 46

Sachant que 4 bonbons valent 2 euros,

combien valent 14 bonbons ?

9HQGXV j O·XQLPp MX PrPH PMULI

Sachant que 4 bonbons valent 2 euros, et que 6

bonbons valent 3ʙ, combien valent 14 bonbons ?

HQPURGXŃPLRQ G·XQ PURLVLqPH

couple de données

Repérer des régularités

Tester des hypothèses

Diversifier les procédures

6ROXPLRQ H[SHUPH RX MGMSPpH"

Il me faut 2 citrons pour 5 personnes, combien de citrons me faut-il pour 20 personnes ?

Elève 1Elève 2

Calcul expert avec prise de risque.

Schématisation simple et efficace

Points de vigilance la proportionnalité

résolution de problèmes multiplicatifs. diverses situations relevant de la proportionnalité auxquelles il peut donner du sens. Il apprend à repérer des situations relevant ou non de la proportionnalité. de sens, parmi lesquelles il pourra choisir en fonction des nombres en jeudans le problème à résoudre 49
Le sens de la proportionnalité (liaison multiplicative entre deux JUMQGHXUV QH GRLP SMV VH SHUGUH MX SURILP G·XQH UHSUpVHQPMPLRQ PMNOHMX RX G·XQH PHŃOQLTXH SURGXLP HQ ŃURL[B Pour parler de proportionnalité avec les élèves, il est important de ne pas systématiser la représentation sous forme de tableau de nombres.

1RXV SRXYRQV UpVXPHU OHV GRQQpHV G·XQ SURNOqPH GH

LQLPLpV HP MYHŃ OHVTXHOV OH Ń{Pp LPSOLŃLPH G·XQ PMNOHMX HVP ŃOMLUHPHQP identifié.

Points de vigilance la proportionnalité

Les variables didactiques

IH ŃORL[ GHV YMULMNOHV GLGMŃPLTXHV YM LQGXLUH O·XPLOLVMPLRQ GH O·XQH

RX O·MXPUH SURŃpGXUHB

IHV SURŃpGXUHV TXH O·RQ YM PHPPUH HQ pYLGHQŃH VRQP -I·XPLOLVMPLRQ GHV SURSULpPpV GH OLQpMULPp GH O·MGGLPLRQ HP GH OM multiplication. -Le passage par le rapport interne ou externe (coefficient de proportionnalité) -IH SMVVMJH SMU O·XQLPp (le produit en croix).

La progressivité

Repères de progressivité

ʃEn CM1, le recours aux propriétés de linéarité (additive et PXOPLSOLŃMPLYH GHVTXHOV $B 6LPMUG ŃRQVLGqUH TX·LO Q·\ M SMV GH différence) est à privilégier dans des problèmes mettant en jeu des nombres entiers. ʃCes propriétés doivent être explicitées, elles peuvent être LQVPLPXPLRQQMOLVpHV GH IMoRQ QRQ IRUPHOOH j O·MLGH G·H[HPSOHV VL Ó·ML 3 IRLV SOXV G·LQYLPpV LO PH IMXGUM 3 IRLV SOXV GH YMLVVHOOHV"B VL 6 stylos coûtent 10 euros alors 3 stylos coûtent 5 euros et 9 stylos

ŃR€PHQP 1D HXURV"B

H03257$1F( G( I·25$I

Repères de progressivité

IHV SURŃpGXUHV GX P\SH SMVVMJH j O·XQLPp RX ŃMOŃXO GX ŃRHIILŃLHQP de proportionnalité sont mobilisées progressivement sur des problèmes le nécessitant en fonction des nombres (entiers ou GpŃLPMX[ ŃORLVLV GMQV O·pQRQŃp RX LQPHUYHQMQP GMQV OHV ŃMOŃXOVB

Les nombres sont des variables didactiques

Les relations entre les nombres sont également des variables didactiques

10 objets coûtent 22 ʙ, combien coûtent 15 objets

10 objets coûtent 22 ʙ, combien coûtent 18 objets

Repères de progressivité

A partir du CM2, des situations impliquant des échelles ou des vitesses constantes peuvent être rencontrées. Le sens de O·H[SUHVVLRQ ©%GH ª MSSMUMvPB HO V·MJLP GH VMYRLU O·XPLOLVHU GMQV GHV ŃMV VLPSOHV D0 7D 10 2D RZ MXŃXQH PHŃOQLTXH Q·HVP nécessaire en lien avec les fractions. mais pose question (même difficulté que celle posée par le coefficient).

ŃH Q·HVP SMV OM PrPH ŃORVH TXH GH

figure 3 fois plus grande sans donner le début du tracé.

Classification des situations de

proportionnalité

1 / Problèmes de proportionnalité simple et directe :

a)Les problèmes de 4èmeproportionnelle Ce sont des problèmes où trois nombres sont connus, on cherche le quatrième

Classification des situations de

proportionnalité

1 / Problèmes de proportionnalité simple et directe :

b) Problèmes à questions successives Ce sont des problèmes identiques à la situation précédente, mais il faut chercher plusieurs quatrièmes proportionnelles, les résultats sont dépendants les uns des autres

Classification des situations de

proportionnalité

2/ Problèmes de proportionnalité simple composée :

Ce sont des problèmes faisant intervenir la composition de deux ou plusieurs relations de proportionnalité simple. IM GLIILŃXOPp UpVLGH GMQV O·RUJMQLVMPLRQ GHV GRQQpHV j PHPPUH HQ UHOMPLRQ HP GMQV OH ŃORL[ de la combinaison des résultats intermédiaires.

Classification des situations de

proportionnalité

3/ Problèmes de proportionnalité multiple (ou double) :

Ce sont des problèmes dans lesquels une grandeur est simultanément proportionnelle à plusieurs grandeurs

Nombre de jours15177

Nombre de

personnes11312

Prix en ʙ10ʙ50ʙ30ʙ70ʙ140ʙ

quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45

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