Énigme N°6 – Les nombres parfaits – Réponse
L'autre nombre parfait inférieur à 30 est le nombre . Il possède 6 diviseurs qui LISTE DES 31 PREMIERS NOMBRES PREMIERS :.
Les nombres parfaits
On appelle nombre parfait un nombre qui est égal `a la somme de ses diviseurs propres.5 Voici la liste des huit premiers nombres parfaits.
Les Nombres Parfaits. Les Nombres Parfaits.
Un nombre parfait est un nombre dont la somme de ses diviseurs propres Nous nous sommes posé le problème de l'admission du nombre 1 dans la liste des.
Table des mati`eres 1 Caract`eres consécutifs 3 2 Nombre parfait 9
10 Récursivité sur liste chaˆ?née triée. 35. 10.1 Afficher les valeurs d'une liste Les nombres parfaits entre 1 et 10 000 000 sont 6 28
I. Diviseurs dun entier II. Nombres parfaits III. Résoudre un
Rappel : un nombre parfait est un nombre entier égal à la somme des diviseurs hormis lui-même. a) En s'inspirant du programme qui affiche la liste des
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Chapitre 3. - Nombres parfaits
générer des listes de plus 16 380 termes ; si le nombre possède plus de 16 380 diviseurs 1 Pour Euclide un nombre parfait est « égal » à ses parties.
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Afficher(nombre « n'est pas un nombre parfait. ») } Détermination des nombres parfaits entre 1 et n. Variables n : entier nombre : entier diviseur : entier.
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largement majoritaires au début ; le premier nombre abondant qui apparaît est 12. Un nombre parfait déjà rencontré 6
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On appelle nombre parfait un nombre qui est égal `a la somme de ses diviseurs propres 5 Par exemple 6 est parfait puisque 6 = 1 + 2 + 3 ; de même 28 est
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Les Nombres Parfaits Agathe CAGE Matthieu CABAUSSEL David LABROUSSE (2ndendendende Lycée MONTAIGNE BORDEAUX) et Alexandre DEVERT Pierre Damien DESSARPS (TS
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Un nombre n [1] est dit parfait si et seulement si la somme de ses diviseurs (1 et n com- pris) vaut 2n On cherche à déterminer les conditions qui réalisent
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Un nombre parfait est un entier positif égal a la somme de ses diviseurs Les nombres parfaits sont divisés en deux parties ; pairs et impairs
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un entier) donc m(n) = q entier C'est la proposition 3 Liste des premiers nombres à moyenne harmonique entière : 1 6 28
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10 Récursivité sur liste chaˆ?née triée 35 10 1 Afficher les valeurs d'une liste Les nombres parfaits entre 1 et 10 000 000 sont 6 28 496 8128
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Nombres abondants parfaits ou déficients • Un nombre est abondant lorsque la somme de ses diviseurs est supérieure à 2 fois ce nombre
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14 mar 2018 · Fermat Mersenne factorisation et nombres parfaits `a la BNF Définition d'un nombre premier début de la liste
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PARTIE I : Les nombres parfaits et les nombres amicaux Définition : un nombre est dit parfait lorsqu'il est égal à la somme de ses diviseurs à l'exception
Quels sont les nombres parfaits ?
Les nombres parfaits sont des entiers égaux à la somme de leurs diviseurs. Ainsi, 6 se divise par 2, 3 et 1. En additionnant 2, 3 et 1, on arrive à 6 Même chose pour 28, somme de 1 + 2 + 4 + 7 + 14.Est-ce que 6-28 Et 496 sont des nombres parfaits ?
Le premier nombre parfait est 6. En effet 1, 2 et 3 sont les diviseurs propres de 6 et 1+2+3=6. 28 est également un nombre parfait : 1+2+4+7+14=28. Les nombres parfaits sont rares, il n'en existe que trois inférieurs à 1000 qui sont 6, 28 et 496.Est-ce que 496 est un nombre parfait ?
496 = 1 x 496 = 2 x 248 = 4 x 124 = 8 x 62 = 16 x 31 1+ 2+ 4+ 8+ 16+ 31+ 62+ 124+ 248 = 496 Donc 496 est un nombre parfait.- 120 = 23 × (24 - 1) n'est pas parfait, car 24 - 1 = 15 n'est pas premier, mais abondant : la somme de ses 24 diviseurs est supérieure à 120.
Agathe CAGE, Matthieu CABAUSSEL, David LABROUSSE (2Agathe CAGE, Matthieu CABAUSSEL, David LABROUSSE (2Agathe CAGE, Matthieu CABAUSSEL, David LABROUSSE (2
ndendendendeLycée MONTAIGNE BORDEAUX) Lycée MONTAIGNE BORDEAUX) Lycée MONTAIGNE BORDEAUX) Lycée MONTAIGNE BORDEAUX)
et Alexandre DEVERT , Pierre Damien DESSARPS (TS Lycée SUD MEDOC LETAILLAN MEDOC)et Alexandre DEVERT , Pierre Damien DESSARPS (TS Lycée SUD MEDOC LETAILLAN MEDOC)et Alexandre DEVERT , Pierre Damien DESSARPS (TS Lycée SUD MEDOC LETAILLAN MEDOC)et Alexandre DEVERT , Pierre Damien DESSARPS (TS Lycée SUD MEDOC LETAILLAN MEDOC)
La première partie est l'étude faite par trois élèves de seconde.La première partie est l'étude faite par trois élèves de seconde.La première partie est l'étude faite par trois élèves de seconde.La première partie est l'étude faite par trois élèves de seconde.
LaLa La La deuxième partie ,qui complète "
deuxième partie ,qui complète "deuxième partie ,qui complète "deuxième partie ,qui complète "
parfaitement parfaitementparfaitementparfaitement » la première a été rédigée par les élèves de TS.» la première a été rédigée par les élèves de TS.» la première a été rédigée par les élèves de TS.» la première a été rédigée par les élèves de TS.
PARTIE 1
PARTIE 1PARTIE 1PARTIE 1
Un nombre parfait est un nombre dont la somme de ses diviseurs propres est égaleUn nombre parfait est un nombre dont la somme de ses diviseurs propres est égale Un nombre parfait est un nombre dont la somme de ses diviseurs propres est égale Un nombre parfait est un nombre dont la somme de ses diviseurs propres est égale
à ce nombre, ou, sous une autre formulation, un nombre dont la somme dà ce nombre, ou, sous une autre formulation, un nombre dont la somme dà ce nombre, ou, sous une autre formulation, un nombre dont la somme dà ce nombre, ou, sous une autre formulation, un nombre dont la somme de ses diviseurs
e ses diviseurs e ses diviseurs e ses diviseurs est égale à deux fois ce nombre.est égale à deux fois ce nombre.est égale à deux fois ce nombre.est égale à deux fois ce nombre.
Pour mieux comprendre, prenons le premier nombre parfait : 6. Par la première formulation, on peut dire que 6=1+2+3. Et par la deuxième formulation , on aégalement que 12= 2x6 =1+2+3+6.
Nous avons remarqué,en faisant de nombreux essais que les nombres parfaits nombres parfaitsnombres parfaitsnombres parfaits pairs semblaient s'écrire sous lapairs semblaient s'écrire sous la pairs semblaient s'écrire sous la pairs semblaient s'écrire sous la
forme formeformeforme 2 222nnnn . P, avec P nombre premier, . P, avec P nombre premier,. P, avec P nombre premier,. P, avec P nombre premier, et que P est de la forme 2 et que P est de la forme 2et que P est de la forme 2et que P est de la forme 2n+1 n+1n+1n+1 ---1, avec n+1 premier.
1, avec n+1 premier.1, avec n+1 premier.1, avec n+1 premier.
Les sept premiers nombres parfaits pairs sont :
6666 = 2x3 = 1+2+3
avec n=1 6 = 2 1 (2 2 -1) 28282828 = 4x7 = 1+2+4+7+14
avec n=2 28=22(2 3 -1) 496
496496496 = 16x31 = 1+2+4+8+16+31+62+124+248
avec n=4 496=24 (2 5 -1) 8 128
8 1288 1288 128 = 64 x 127 = 1+2+4+8+16+32+64+127+254+508+1 016+2 032+4 046
avec n=68 128 = 2
6 (2 7 -1)33 550 336
33 550 33633 550 336
33 550 336 = 4 096 x 8 191
avec n=1233 550 336 = 212
(2 13 -1)8 589 869 056
8 589 869 0568 589 869 0568 589 869 056 = 65 536 x 131 071
avec n=168 589 869 056 = 2
16 (2 17 -1)137 438 691 328
137 438 691 328137 438 691 328137 438 691 328 = 262 144 x 524 287
avec n=18137 438 690 328 = 2
18 (2 19 -1)Maintenant, nous allons démontrer :
1)Si P est premier et 2
nP parfait, alors P=2
n+1 -12)Si 2
n+1 -1 est premier, alors n+1 est premier.1)Si P est premier et 21)Si P est premier et 21)Si P est premier et 21)Si P est premier et 2
nnnn P parfait, alors P=2P parfait, alors P=2P parfait, alors P=2P parfait, alors P=2 n+1n+1n+1n+1 ----1111Démonstration :
On écrit la somme des diviseurs propres de 2
n P :P+2P+2
2 P+2 3 P+2 4P+....+ 2
n-1 P+2 0 +2 1 +2 2 +2 3 +2 4 +....+2 nOr nous savons:
(X-1) (1+X+X 2 +X 3 +X 4 +.....X n ) = ( X n+1 -1)Donc après avoir mis P en facteur on obtient:
P(2 n -1) = P(1+2+2 2 +2 3 +2 4 +2 n-1 2 n+1 -1 = 1+2+2 2 +2 3 +2 4 +2 nDonc, la somme des diviseurs propres de 2
nP vaut :
P(2 n -1)+2 n+1 -1Puisque 2
nP est parfait, on a :
P(2 n -1)+2 n+1 -1=2 nP ce qui nous donne :
P=2 n+1 -1.Donc :
2222nnnn
P = 2P = 2P = 2P = 2
nnnn (2(2(2(2 n+1n+1n+1n+1 ----1)1)1)1)2)Si 22)Si 22)Si 22)Si 2
n+1n+1n+1n+1----1 est premier, alors n+1 est premier.1 est premier, alors n+1 est premier.1 est premier, alors n+1 est premier.1 est premier, alors n+1 est premier.
Nous allons ici raisonner par l'absurde.
Si n+1 non premier, cela implique que n+1= ab, avec a>1 et b>1En utilisant la règle de factorisation (X
b -1) = (X-1)(X 0 +X 1 +X 2 +...+X b-1 nous avons en prenant X=2 a : 2 ab -1=2 n+1 -1=(2 a -1)(1+2 a +...+(2 a b-1 (2 a -1) est un entier ; (1+2 a +...+(2 a b-1 ) est un entier.Donc (2
a -1)(1+2 a +...+(2 a b-1 ) est un produit de deux entiersDonc (2
a -1)(1+2 a +...+(2 a b-1 ) n'est pas premierDonc (2
n+1 -1) n'est pas premierEn conclusion :
Si 2Si 2Si 2Si 2
n+1n+1n+1n+1----1 premier, on a n+1 premier.1 premier, on a n+1 premier.1 premier, on a n+1 premier.1 premier, on a n+1 premier.
Mais si n+1 premier, 2
Mais si n+1 premier, 2Mais si n+1 premier, 2Mais si n+1 premier, 2 n+1n+1n+1n+1----1 n'est pas forcement premier.1 n'est pas forcement premier.1 n'est pas forcement premier.1 n'est pas forcement premier.
Demonstration :
Nous savons, par démonstration, que si 2
n+1 -1 premier, alors n+1 premier.quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45[PDF] fiche pédagogique tri des déchets
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