Séance de soutien PCSI2 numéro 8 : Fonctions réelles : limites et
donc f est continue sur R. 2 Théorèmes fondamentaux sur les fonctions conti- nues. 2.1 Théorème des valeurs intermédiaires. Exercice 7 : Montrer qu'un
CONTINUITÉ
Démontrer que l'équation f (x) = 2 admet au moins une solution sur [-1 ; 4]. - f est continue sur [-1 ; 4] car une fonction polynôme est continue sur R . - f ?
Continuité et dérivabilité dune fonction
7 nov. 2014 La fonction f est continue sur un intervalle I si et seulement si
2. Continuité des fonctions
« Une fonction f est continue sur un intervalle si on peut dessiner son graphe sans lever le crayon d'un bout à l'autre de l'intervalle. » Continuité sur un.
Chapitre 3 Dérivabilité des fonctions réelles
Soit f : I ? R une fonction et soit x0 ? I. On dit que f est dérivable en x0 si la limite ce qui montre que f est continue en x0.
Corrigé du TD no 11
nombres rationnels autrement dit l'adhérence de Q est égale à R (on dit que Q est dense dans La fonction f est continue dérivable sur R
Chapitre 1 - Fonctions de plusieurs variables. Limites dans R
Une fonction lipschitzienne est continue. Exercice 3. Démontrer la proposition 2.15. Définition 2.16. On dit que f est contractante si elle est K-lipschitzienne
Chapitre 2 - Continuité dune fonction de plusieurs variables
Montrer que l'application (x1x2) ?? x1 est continue sur R2. 3. Montrer que toute norme sur Rn définit une fonction continue de Rn dans R. Proposition 2.4.
Examen de rattrapage de juillet 2014
f : R ? R une fonction. Montrer que si f est continue ou monotone
Analyse Fonctionnelle TD 1 : Espaces métriques. Espaces vectoriels
2 oct. 2015 un espace vectoriel normé et T : E ? R une forme linéaire non nulle. Montrer les équivalences suivantes. T est continue ?? Ker T est fermé ...
[PDF] Chapitre 2 Continuité des fonctions réelles
Soient a et b deux réels avec a < b et soit f : [a b] ? R une fonction continue Alors f est bornée sur [a b] et atteint ses bornes Démonstration
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Définition : Soit une fonction f définie sur un intervalle I On dit que f est continue sur I si on peut tracer la courbe représentative de f sur I "sans lever
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Définition intuitive : Une fonction est continue sur un intervalle si sa courbe représentative peut se tracer sans lever le crayon Méthode : Reconnaître
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On dit qu'une fonction est continue sur un intervalle si elle est continue en tout point de l'intervalle Aux extrémités de l'intervalle il faut comprendre
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Définition Soit f une fonction sur R et a un réel On dit que f est continue en a si pour tout intervalle non vide centré en f (a)
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On dit qu'une fonction est continue sur un intervalle I lorsque le tracé de sa Pour démontrer que l'équation ( ) = a une unique solution sur
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Démonstration Nous devons montrer que f est continue en a i e que lim Si I est un INTERVALLE et f : I ?? une fonction continue cette version
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Continuité d'une fonction Sur un intervalle Pour démontrer qu'une fonction est continue sur un intervalle il suffit de dire qu'elle est
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On suppose que f est continue en a et que f(a) = 0 Montrer que f est non nulle sur un intervalle ouvert contenant a Exercice 2 2 (Fonction lipschitzienne)
Comment justifier qu'une fonction est continue sur R ?
Ainsi, il suffit de dire que en dehors de ces réels 0 et 1 (c'est à dire en tout réel distinct de 0 et de 1) la fonction est bien continue (car ce sont des fonctions "usuelles"). Ensuite, il suffit de savoir si en 0, à gauche, la fonction admet une limite et si c'est la même que celle en 0, à droite (si elle existe).Comment montrer qu'une fonction est continue en un réel ?
On dit qu'une fonction à valeur réelle ( ) est continue en = si l i m ? ? ? ( ) = ( ) .Comment prouver qu'une fonction est continue sur un intervalle ?
Si f est une fonction continue sur [a, b] telle que f (a) et f (b) ont des signes opposés, alors il existe au moins un réel c dans l'intervalle ouvert ]a, b[ tel que f (c) = 0. Moins formel : « Une fonction continue ne peut changer de signe qu'après s'être annulée. »C'est-à-dire :
1Les fonctions affines sont continues sur R.2Les fonctions polynômes sont continues sur R.3La fonction inverse est continue sur ] ? ? ; 0 [ ? ] 0 ; + ? [ ] - \\infty ; 0[ ? ]0 ; +\\infty[ ]??;0[?]0;+?[4La fonction racine carrée est continue sur ] 0 ; + ? [ ]0 ; +\\infty[ ]0;+?[
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3.1 Fonctions d´erivables
Dans tout ce chapitre,d´esigne un intervalle non vide deR. D´efinition 3.1.1.Soit:Rune fonction, et soit0. On dit queest d´erivable en0si la limite lim0(0+)(0)
existe, et est finie. Cette limite s"appelle la d´eriv´ee deen0, on la note(0). Bien sˆur, il revient au mˆeme de regarder la limite lim0()(0)
0Rappelons l"interpr´etation g´eom´etrique de la d´eriv´ee : siest d´erivable en0, alors
la courbe repr´esentative de la fonctionadmet une tangente au point (0(0)), de coefficient directeur(0).En fait, la fonction(0+)(0)
dont on consid`ere ici la limite en 0, n"est pasd´efinie en ce point. Dans ce cas, l"existence de la limite ´equivaut `a l"´egalit´e des limites `a
gauche et `a droite. C"est pourquoi on introduit les d´eriv´ees `a gauche et `a droite. D´efinition 3.1.2.Soit:Rune fonction, et soit0. 27(1) On dit queest d´erivable `a gauche en0si la limite lim
00(0+)(0)
existe, et est finie. Cette limite s"appelle la d´eriv´ee de`a gauche en0, on la note (0). (2) On d´efinit de mˆeme la d´eriv´ee `a droite, que l"on note(0).Proposition 3.1.3.Soit: []Rune fonction.
(1)Soit0][. Alorsest d´erivable en0si et seulement siest d´erivable `a droite et `a gauche en0et(0) =(0). (2)est d´erivable ensi et seulement siest d´erivable `a droite en. (3)est d´erivable ensi et seulement siest d´erivable `a gauche en. Les notions de d´eriv´ee `a droite et `a gauche ne sont pas tr`es importantes. Elles per- mettent cependant de v´erifier qu"une fonction est (ou n"est pas)d´erivable en un point. Proposition 3.1.4.Siest d´erivable en0, alorsest continue en0. D´emonstration.Supposonsd´erivable en0, alors la limite lim0=0()(0)
0 existe, et est finie. En multipliant par la fonction (0), qui tend vers 0, on en d´eduit que lim0=0()(0) = 0
c"est-`a-dire lim0=0() =(0)
ce qui montre queest continue en0. La r´eciproque est fausse. Par exemple, la fonction: est continue en 0, mais n"est pas d´erivable en ce point. En effet,(0) =1 et(0) = 1. Proposition 3.1.5.Soit:Rune fonction, et soit0. Alorsest d´erivable en0, de d´eriv´ee(0), si et seulement si il existe une fonctiontelle quelim0() = 0,
satisfaisant (0+) =(0) +(0) +() pour touttel que0+. 28D´emonstration.. Supposonsd´erivable en0. Alors il suffit de d´efinir () =(0+)(0) (0) pour= 0, et(0) = 0.. Supposons qu"il existe une fonctiontelle que lim0() = 0, satisfaisant (0+) =(0) ++() pour un certain r´eel. On peut ´ecrire : (0+)(0) Quandtend vers 0, le membre de droite tend vers. Doncest d´erivable en0et (0) =. Cons´equences imm´ediates de cette proposition : - siest d´erivable en0, et siest un r´eel, alorsest d´erivable en0, de d´eriv´ee (0). - une fonction constante est partout d´erivable, de d´eriv´eenulle. - une fonction affine:+est partout d´erivable, et(0) =pour tout0.
Voici deux exemples bien connus.
Exemples.a) Soit1 un entier, nous allons d´eriver la fonction:. Soit0 un r´eel fix´e, alors d"apr`es la formule du binˆome de Newton nous avons, pour tout, (0+) = (0+)=? =0? 0 =0+(10) +2? =2? 20? et le dernier terme est une fonction de la forme(). Ainsi,est d´erivable en0, et (0) =10. b) Soit la fonction:1 , et soit0= 0. Alors, pour toutnous avons (0+)(0) =10+10=0(0+)
d"o`u lim0(0+)(0)
=120Doncest d´erivable en0, et(0) =1
20. 29C"est Blaise Pascal qui, au d´ebut du 17esi`ecle, a le premier men´e des ´etudes sur la notion de tangente `a une courbe.
D`es la seconde moiti´e du 17
esi`ecle, le domaine math´ematique de l"analyse num´erique connaˆıt une avanc´ee prodigieuse grˆace aux travaux de Newtonet de Leibniz en mati`ere de calcul diff´erentiel et int´egral. Le marquis de l"Hˆopital participe aussi, `a la fin du 17 esi`ecle, `a ´etoffer cette nouvelle th´eorie, notamment en utilisant la d´eriv´ee pour calculerune limite dans le cas de formesind´etermin´ees particuli`eres (c"est la r`egle de L"Hˆopital, ´enonc´ee `a la fin du chapitre).
Finalement, d"Alembert introduit la d´efinition rigoureuse dunombre d´eriv´e en tant que limite du taux d"accroissement - sous une forme semblable `a celle qui est enseign´ee de nos jours. Cependant, `a l"´epoque de d"Alembert, c"est la notion de limite qui pose probl`eme. C"est seulement avec les travaux de Weierstrass au milieu du 19esi`ecle que le concept de d´eriv´ee sera enti`erement formalis´e.C"est Lagrange (fin du 18
esi`ecle) qui a introduit la notation(0) pour d´esigner la d´eriv´ee deen0. Leibniz notait (0) et Newton (0). Ces trois notations sont encore usit´ees de nos jours.3.2 Op´erations sur les d´eriv´ees
Commen¸cons par les op´erations alg´ebriques sur les d´eriv´ees. Th´eor`eme 3.2.1.Soient:Rdeux fonctions, et soit0. On suppose que etsont d´erivables en0. Alors (1)+est d´erivable en0, et (+)(0) =(0) +(0) (2)est d´erivable en0, et ()(0) =(0)(0) +(0)(0) (3)si(0)= 0, alors est d´erivable en0, et (0) =(0)(0)(0)(0)(0)2D´emonstration.(1) Il suffit d"´ecrire
(() +())((0) +(0))0=()(0)0+()(0)0
30et de passer `a la limite quand0. (2) Il suffit d"´ecrire ()()(0)(0)
0=()(0)0() +(0)()(0)0
et de passer `a la limite quand0, en se servant de la continuit´e deen0. (3) Nous avons 1 ()1(0)0=1()(0)()(0)0
Par passage `a la limite, on en d´eduit que la fonction 1 est d´erivable en0, de d´eriv´ee ?1 (0) =(0)(0)2On applique alors le point (1) qui donne
(0) =(0)1(0)+(0)? (0)(0)2? d"o`u le r´esultat.Cons´equences de ce th´eor`eme :
- une fonction polynˆome est d´erivable surR, et sa d´eriv´ee est un polynˆome. - une fonction rationnelle (quotient de deux polynˆomes) est d´erivable sur son ensemble de d´efinition, et sa d´eriv´ee est une fonction rationnelle. En effet, nous avons vu que les fonctions de la formesont d´erivables sur toutR. On en d´eduit que les monˆomessont d´erivables, puis que les sommes demonˆomes, c"est-`a-dire les polynˆomes, sont d´erivables surR. Le r´esultat pour les fonctions
rationnelles en d´ecoule, par d´erivation d"un quotient. Apr`es les op´erations alg´ebriques, passons `a la composition des fonctions. Th´eor`eme 3.2.2(D´erivation des fonctions compos´ees).Soient:Ret:R deux fonctions telles que(), et soit0. Siest d´erivable en0, et siest d´erivable en(0), alorsest d´erivable en0et ()(0) =((0))(0) D´emonstration.Il existe des fonctions1et2telles que lim01() = 0 = lim02()
satisfaisant, pour tout, (0+) =(0) +(0) +1() 31et, pour tout, ((0) +) =((0)) +((0)) +2()
Prenons en particulier
=((0) +1())Alors nous avons
((0+)) =((0) +) =((0)) +((0)) +2() =((0)) +((0) +1())((0)) +((0) +1())2(((0) +1())) =((0)) +(0)((0)) +3() o`u l"on a pos´e3() =1()((0)) + ((0) +1())2(((0) +1()))
Il est clair que lim
03() = 0, d"o`u le r´esultat.
On voudrait `a pr´esent calculer les d´eriv´ees des fonctions usuelles. Montrer que lesfonctions trigonom´etriques sin et cos sont d´erivables (et calculer leurs d´eriv´ees) n"est pas
´evident, et d´epend des d´efinitions que l"on donne pour ces fonctions. Pour log et exp, c"est plus facile... si on d´efinit log comme l"unique primitive de1 sur ]0+[ qui s"annule en 1. Mais encore faut-il montrer qu"une telle primitive existe : ce sera un r´esultat important du chapitre consacr´e `a l"int´egration. La fonction exp est ensuite d´efinie comme la r´eciproque de la fonction log, et pour la d´eriver on se sert du r´esultat suivant. Th´eor`eme 3.2.3(D´erivation des fonctions r´eciproques).Soit:Rune fonction continue strictement monotone. Alors : (1)L"ensemble:=()est un intervalle, dont les bornes sont les limites deaux bornes de. La fonctionr´ealise une bijection entreet. (2)La bijection r´eciproque1:est continue strictement monotone, de mˆeme sens de variations que. (3)Siest d´erivable en un point0, et si(0)= 0, alors1est d´erivable au point0=(0)et (1)(0) =1 (0)=1(1(0)) D´emonstration.(1) et (2) : c"est le th´eor`eme de la bijection (voir le chapitre 2). (3). Supposonsd´erivable en0. Soit0=(0) et soit, on s"int´eresse `a la quantit´e1()1(0)
0 32Posons=1(), alors cette quantit´e s"´ecrit
0 ()(0)Comme1est continue en0, nous avons :
lim01() =1(0) =0
Par composition des limites, on en d´eduit que
lim 01()1(0)
0= lim00()(0)=1(0)
d"o`u le r´esultat. Exemple.Supposons que la fonction1sur ]0+[ admette une primitive, not´ee log, qui s"annule en 1. Soit exp :R]0+[ l"application r´eciproque de log. Alors exp est d´erivable en tout point0R, et satisfait exp (0) =1 log(exp(0))=11 exp(0)= exp(0)3.3 D´eriv´ee et extr´ema locaux
Soit:Ret soit0. On dit queadmet unmaximum localen0s"il existe un voisinagede0tel que l"on ait ()(0) On dit queadmet unminimum localen0siadmet un maximum local en0. Enfin, on dit queadmet unextremum localsiadmet un maximum local ou un minimum local. Proposition 3.3.1.Soit:Rd´erivable, et soit0un point int´erieur `a. Si admet un extremum local en0, alors(0) = 0. D´emonstration.Quitte `a remplacerpar, on peut supposer queadmet un maximum local en0. Il existe donc un voisinagede0tel que l"on ait ()(0)0 Comme0est un point int´erieur `a, on peut choisirinclus dans, c"est-`a-dire que est d´efinie surtout entier. Commeest d´erivable en0, qui est int´erieur `a, les 33d´eriv´ees `a droite et `a gauche deen0existent, et sont ´egales. De plus, nous avons, pour tout,
0=()(0)
00 d"o`u, par passage `a la limite : (0) = lim00()(0) 00 Un raisonnement analogue montre que(0)0. Comme(0) =(0) =(0) on en d´eduit que(0) = 0. Autrement dit, les extr´ema d"une fonction `a l"int´erieur d"un intervalle sont `a chercher parmi les points o`u la d´eriv´ee s"annule. Attention, la r´eciproque est fausse : il se peut que la d´eriv´ees"annule en un point qui n"est pas un extremum. Par exemple, la fonction:3a sa d´eriv´ee qui s"annule en0, mais n"admet pas d"extremum en ce point.
De mˆeme, la proposition devient fausse si0est au bord de l"intervalle. Par exemple, la fonction+ 1, [01][01] admet un minimum en 0 et un maximum en 1, et pourtant sa d´eriv´ee ne s"annule jamais.3.4 Rolle, accroissements finis
3.4.1 Th´eor`eme de Rolle
Premi`ere observation : si on trace une courbe d´erivable entre deux points du plan,avec mˆeme ordonn´ee au d´epart et `a l"arriv´ee, alors il y atoujours un point o`u la tangente
est horizontale. 34Th´eor`eme 3.4.1(Rolle).Soit: []Rune fonction continue sur[], d´erivable sur][, telle que() =(). Alors il existe][tel que() = 0. D´emonstration.D"apr`es le th´eor`eme des bornes,admet un minimum et un maximum globaux sur [], not´esetrespectivement. Si=, alorsest constante sur [], doncest nulle sur tout ][ et c"est fini. Si=, alors, sachant que() =(), l"un au moins de ces deux extr´ema est atteint en un pointappartenant `a l"intervalle ouvert ][. Mais alors,est un extremum local int´erieur `a [], donc() = 0 d"apr`es ce qu"on a vu pr´ec´edemment. C"est en 1691 que Michel Rolle d´emontre ce th´eor`eme, pour les fonctions polynomiales uniquement. Il s"agit donc `a l"origine d"un r´esultat d"alg`ebre. Il faut attendre 1860 pour que Pierre-Ossian Bonnet ´enonce le th´eor`eme de Rolle dans saversion moderne. Celui-ci devient alors un point central de l"analyse r´eelle. Nous donnons ci-dessous la version"historique». Corollaire 3.4.2.Soitun polynˆome r´eel ayant au moinsracines r´eelles distinctes, avec2. Alors son polynˆome d´eriv´ea au moins1racines r´eelles distinctes. D´emonstration.Soient1 2 les racines derang´ees par ordre croissant. On applique le th. de Rolle `a la fonctionsur chacun des intervalles [12][1], ce qui donne1 points distincts en lesquelsest nul.
3.4.2 Th´eor`eme des accroissements finis
Question : que devient le th´eor`eme de Rolle dans le cas o`u()=()? R´eponse : le taux d"accroissement entreetest r´ealisable comme pente d"une tan- gente en un certain point. pente =()() 35Th´eor`eme 3.4.3(Accroissements finis).Soit: []Rune fonction continue sur []et d´erivable sur][. Alors il existe][tel que D´emonstration.Soit: []Rla fonction d´efinie par Alorsest continue sur [], d´erivable sur ][. De plus () = 0 et () = 0 On peut appliquer le th´eor`eme de Rolle `a: il existe donc][ tel que() = 0. Or d"o`u le r´esultat. Il existe aussi une version"diff´erentielle»de ce th´eor`eme. Th´eor`eme 3.4.4.Soit:Rd´erivable, et soit0. Alors, pour touttel que
0+, il existe un r´eel]01[tel que
(0+) =(0) +(0+) Ceci constitue une version"globale»de l"´ecriture (0+) =(0) +(0) +() D´emonstration.Si= 0 c"est ´evident. Supposons 0, on applique le th´eor`eme des accroissements finis `a la fonctionsur l"intervalle [00+]. Cela nous donne l"existence d"un]00+[ tel que (0+)(0) D"autre part, on peut toujours ´ecriresous la forme0+avec]01[. Ceci nous donne le r´esultat. Le cas 0 se traite par la mˆeme m´ethode. 36quotesdbs_dbs32.pdfusesText_38
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