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2 Bac SVT & PC Limites et continuité A. KARMIM 1 IHH FHH I) LIMITE DUNE FONCTION 1) Activité et rappelles 1.1 Activités : Activité 1 : Déterminer les limites suivantes : Activité 2 : Considérons la fonction définie par : - 1- Déterminer 2- a) Déterminer : . b) Comparer et On dit que est continue en 2) Rappelles 2.1 Définition Définition : Soit une fonction définie sur un intervalle pointé de centre et un réel. On dit que la fonction tend vers le réel quand tend vers si : --- 2.2 Opérations sur les limites 2) Opérations sur les limites Toutes les propriétés qui seront citées dans ce paragraphe sous forme de tableau sont admises et on peut les démontrer en utilisant les définitions des limites. 1) Limite de la somme Formes indéterminées Ces propriétés sont vraies si tend vers ou Formes indéterminées Veut dire uon ne peut pas calculer la limite directement, il faut faire dautres calcules car il y a plusieurs cas. Exemples : -( , ( on a ; et

2 Bac SVT & PC Limites et continuité A. KARMIM 2 -( , on a ; et (( Dans les deux exemples on a le même cas que dans la dernière colonne du tableau mais on a deux résultats différents 2) Limites des produits - ou - ou - Formes indéterminées 3) Limites des inverses - - - - Remarque : - veut dire que tend vers 0 mais de la droite. - - - - chose uon oit bien sur la courbe de la fonction 3) Limites des quotients - ou - ou - - - - - - - Formes indéterminées Formes indéterminées Exemple : On veut déterminer la on a : On a : -- Donc Remarque : Eiter dcrire ces epressions ui nont pas de sens mathmatiue : , Ne pas utiliser ou dans les opérations dans ( et ne sont pas des réels)

2 Bac SVT & PC Limites et continuité A. KARMIM 3 Exercices Déterminer les limites suivantes : II) CONTINUITE DUNE FONCTION EN UN POINT Définition : Soit une fonction définie sur un intervalle de centre . On dit que la fonction est continue en si : elle admet une limite finie en Cest-à-dire : --- Exemples : Considérons la fonction définie par : -- ---- -- En utilisant la notion des limites étudier la continuité de la fonction en -. 3- Interprétations graphiques 3.1 Activité : Activité 1: Considérons la fonction définie par : - 1- Déterminer et étudier la continuité de la fonction en 2- Représenter graphiquement la fonction . Activité 2 : Considérons la fonction définie par : -- 1- a) la fonction admet-elle une limite en b) la fonction est-elle continue en 2- Représenter graphiquement la fonction .

La courbe de la fonction est la parabole de sommet et dae

2 Bac SVT & PC Limites et continuité A. KARMIM 4 3.2 Interprétations La courbe Linterprtation -((- est définie en nadmet pas de limite en nest pas continue en --(- - est définie en admet une limite en et nest pas continue en --(- est définie en admet une limite en et est continue en Exercice : Etudier la continuité de la fonction --- III) CONTINUITE A DROITE CONTINUITE A GAUCHE. 1) Activité et définition. 1.1 Activité. Introduction Dans leercice prrcedent o était définie par : -- ---- -- On a trouvé que : - ; on dit que la fonction est continue à gauche de 2 et - on dit que la fonction est pas continue à droite de 2. 1.2 Définitions Définition Soit une fonction définie sur un intervalle de la forme (où - ) On dit que la fonction est continue à droite de si : admet une limite finie à droite de et

Utiliser le faite que

2 Bac SVT & PC Limites et continuité A. KARMIM 5 Cest-à-dire : --- Soit une fonction définie sur un intervalle de la forme (où - ) On dit que la fonction est continue à gauche de si : admet une limite finie à gauche de et Cest-à-dire : --- Théorème Une fonction est continue en un point si et seulement si elle est continue à droite et à gauche de Exercice 1: Etudier la continuité de la fonction en Exercice 2 : Soit la fonction définie par : - -- Existent-t-il et pour que soit continue en 2 ? III) OPERATIONS SUR LES FONCTIONS CONTINUES. 1) Continuité sur un intervalle Définition : Soit une fonction dont le domaine de définition est , soit un intervalle inclus dans On dit que est continue sur louert si elle est continue en tout point de On dit que est continue sur si elle est continue sur et à droite de On dit que est continue sur si elle est continue sur , à droite de et à gauche de Remarque : Si une fonction est continue sur et sur elle est continue sur En général si est continue sur un intervalle et sur un intervalle et si alors est continue sur . peut-être continue sur et sur sans uelle soit continue sur Dans le graphique ci-dessous estcontinue sur - et continue sur [0,2] mais pas continue sur - car elle nest pas continue en 0

2 Bac SVT & PC Limites et continuité A. KARMIM 6 - - 2) Opérations sur les fontions continues 2.1 Rappelles sur les opérations sur les limites finies Propriété : Soient et deux fonctions tels que : on a : - - - Ces propriétés sont vraies droite et gauche dun rel . 2.2 Opérations sur les fonctions continues Grace à la propriété précédente et à la définition de la continuité on peut en déduire : Propriété : Si et sont deux fonctions continues en alors : sont des fonctions continues en T Si et sont deux fonctions continues en et - alors sont des fonctions continues en . Si une fonction continue en et - alors : est continue en Remarque : La propriété précédente reste vraie soit à droite de , à gauche de ou sur un intervalle (En tenant compte des conditions)

2 Bac SVT & PC Limites et continuité A. KARMIM 7 Résultat : Une fonction polynôme sur est définie comme la somme des plusieurs monômes Et puisque la fonction est continue sur donc la fonction et par suite Propriété : Tout fonction polynôme est continue sur Propriété : Toute fonction rationnelle est continue sur tout intervalle Propriété : Les fonctions et sont continue sur Exemples : est continue sur car étant une fonction polynôme donc elle est continue sur de plus - (Son discriminant est négatif) est continue sur ; sur et sur . La fonction est continue sur tous le intervalles de la forme : ( où ) IV) IMAGE DUN INTERVALLE PAR UNE FONCTION CONTINUE 1) Image dun segment (interalle ferm) : Activité : Le graphe ci-contre est le graphe de la fonction - 1- Déterminer graphiquement les images des intervalles - , ; 2- Montrer algébriquement que Rappelle : Théorème : (Admis) Limage dun segment par une fonction continue est le segment où : et

2 Bac SVT & PC Limites et continuité A. KARMIM 8 La courbe ci-contre est la courbe de la fonction -

Cas particulier : Si est continue croissante sur alors Si est continue décroissante sur alors Remarque : La continuité dans le théorème précèdent est suffisante mais pas nécessaire Dans la figure ci-contre nest pas continue mais ---- 2) Image dun interalle. 2.1 Théorème général Théorème (admis) Limage dun interalle par une fonction continue est un interalle. Remarque : Linteralle et son image par une fonction continue nont pas nécessairement la même forme. Dans le cas de la courbe ci-contre on a : ---

2 Bac SVT & PC Limites et continuité A. KARMIM 9 2.2 Cas dune fonction strictement monotone : Remarque Si nest pas strictement monotone sur linteralle , on peut utiliser les propriétés précédentes en subdivisant lintervalle en intervalles où est strictement monotone et on utilise la propriété . Exercice : 1- Dresser le tableau de variation de la fonction -( 2- Déterminer les images des intervalles suivants : - - - - V) THEOREME DES VALEURS INTERMEDIERE - TVI. 1) Le théorème : 1.1 Cas général Preuve : Rappelons que : Soit une fonction continue sur un intervalle ; et deux éléments de tels que : . On sait que où et On a donc et . Soit compris entre et on a donc : et puisque donc admet au moins un antécédent dans linteralle . Do pour tout compris entre et il existe au moins un tel que Théorème T.V.I : Soit une fonction continue sur . Pour tout compris entre et il existe au moins un tel que : strictement croissante : strictement décroissante

2 Bac SVT & PC Limites et continuité A. KARMIM 10 1.2 Cas strictement monotone. Théorème T.V.I (cas strictement monotone) Soit une fonction continue strictement monotone sur . Pour tout compris entre et il existe un et un seul tel que Remarque : Lepression Pour tout compris entre et il existe un et un seul tel que " peut-être formulée comme : " Pour tout compris entre et luation admet une solution unique dans Corolaire1 (T.V.I) : Soit une fonction continue sur . Si - il existe au moins un tel que - Preuve : - veut dire que et ont des signes opposés donc 0 est compris entre et On prend - dans le théorème général des valeurs intermédiaire. Corolaire2 (T.V.I) : Soit une fonction continue strictement monotone sur . Si - il existe un et un seul tel que - 2) Applications : Exercice 1 : 1- Montrer ue luation - admet une racine unique dans [0,1] 2- Montrer ue luation - admet une racine unique dans . VI) FONCTIONS COMPOSEES ET FONCTIONS RECIPROQUES. 1) Composition de deux fonctions 1.1 Rappelle Activité : Soit - et 1- Déterminer : , dterminer les conditions deistence de . 2- Déterminer :, dterminer les conditions deistence de , La fonction qui à tout réel associe , sappelle la composition des fonction et dans cet ordre et se note La fonction qui à tout réel associe , , sappelle la composition des fonction et dans cet ordre et se note 3- A-t-on ?

2 Bac SVT & PC Limites et continuité A. KARMIM 11 Exercice : Soient et 1- Déterminer et son ensemble de définition. 2- Déterminer et son ensemble de définition. 1.2 Composition et limite et continuité Théorème : Soient une fonction définie sur un intervalle et une fonction définie sur un intervalle tels que et un élément de . Si est continue en et continue en alors est continue en . T Si est continue et continue en alors est continue . Exemples : est continue sur ( est continue sur Théorème : Soit une fonction définie sur un intervalle pointé de centre telle que ; si est continue en alors Exercices Déterminer les limites suivantes : 1. 2. 2) Fonctions réciproques Activité : Soit ( 1- Montrer que pour tout dans - , luation admet une solution uniue dans linteralle - 2- Etudier la monotonie et la continuité de sur

2 Bac SVT & PC Limites et continuité A. KARMIM 12 On dit que la fonction admet une fonction réciproque de vers Remarque : On a : Théorème : Soit une fonction définie continue et strictement monotone sur un intervalle , On a admet une fonction réciproque définie de vers . Exercice 1 Soit la fonction - définie sur . 1- Déterminer - 2- Montrer que admet une fonction réciproque de vers - et déterminer pour dans Exercice 2 : Soit la fonction - définie sur . 1- Montrer que est strictement croissante sur puis déterminer 2- Montrer que admet une fonction réciproque de vers et déterminer pour dans Propriété 1 : Si admet une fonction réciproque de vers alors à la même monotonie sur que celle de sur . Preuve : (- est strictement monotone) Donc le taux de sur à le même signe que le taux de sur Et on conclut. Propriété 2 : Si admet une fonction réciproque de vers alors et sont symétriques par rapport à :

2 Bac SVT & PC Limites et continuité A. KARMIM 13 Rappelles : TDans un repère orthogonal si on a un point son symétrique par rapport à la droite est le point . : Soit une fonction continue strictement monotone sur un intervalle , sa fonction réciproque définie de vers . et sont les courbes respectives de et de . Soit un point de la courbe son symétrique par rapport à la droite est le point . Or : donc do Propriété : Soit une fonction continue strictement monotone sur un intervalle , sa fonction réciproque définie de vers . et sont symétriques par rapport à la droite A remarquer que la symétrie des deux courbes concerne toutes leurs composantes ; les asymptotes ; les tangentes et demi-tangentes 3) La fonction racine 3.1 Définition et règles de calculs Propriété et définition : Soit un élément de ; la fonction est une fonction continue strictement croissante sur elle admet donc une fonction réciproque de vers . La fonction réciproque sappelle la fonction racine et se note Conséquence de la définition : La fonction est définie sur -

2 Bac SVT & PC Limites et continuité A. KARMIM 14 La fonction est continue sur strictement croissante. o o o - Si alors Si - alors La courbe de la fonction Règle de calcul : (à prouver) (à prouver) Remarque : pair impair - - - - : Exercice 1 : 1. Résoudre dans : = 16 2. Résoudre dans : - Exercice 2 : 1. Résoudre dans luation - 2. Résoudre dans luation - 3. Résoudre dans linuation -.

2 Bac SVT & PC Limites et continuité A. KARMIM 15 3.2 Lepression conjuguai et ses applications Ordre 3 : On sait que et Il en résulte : ( et ( Par suite : (( (( Applications : Rendre le dénominateur rationnel : T Déterminer les limites suivantes : ( : On sait que : ( Il en résulte que : ( Et par suite : (( A remaruer uon ne peut pas factoriser : Applications : Déterminer les limites suivantes : 4) Puissance rationnelle : 4.1 Puissance entier Rappelle : Soit un réel et un entier naturel non nul on a : et (-) Pour - on a 4.2 Puissance rationnelle Propriété : Pour tout réel - et pour tout entier non nul on pose :

2 Bac SVT & PC Limites et continuité A. KARMIM 16 Preuve : (en exercice) Définition : Soit un réel positif et un rationnel () ; où et on pose : Propriétés Soit deux réels positifs, et des rationnels on a : Exercice 1 : Démontrer 1 et 2 Exercice 2 : Comparer les nombres et -- Application aux calculs des limites. Calculer les limites suivantes : o -( o -( o o (discuter suivant les valeurs de et ) 1. 2. 3. (-) 4. (-) 5. 6.

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