[PDF] [PDF] CHAPITRE 1 Analyse Tridimensionnelle des Contraintes et Critères

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CHAPITRE 1

Analyse Tridimensionnelle des Contraintes

et Critères d'Écoulement

État de contrainte en 3D

Contraintes principales (cercle de Mohr)

Critère de défaillance

Contrainte de cisaillement max. (Tresca)

Énergie de distorsion max. (Von Mises)

Contrainte normale max.

Notions de base utilisées

L'équilibre dans l'espace

Les notions de contraintes

Les notions de déformations

Les relations contrainte-déformation-température

Les critères de défaillance

Notions d'équilibre (statique)

DCL

Équation d'Équilibre

F=0 M=0

Notion de contrainte

Soit un point P appartenant au plan

dont la normale est n est une force interne agissant sur une surface infinitésimale au pt P. A R R F V A Pn

Notions de contraintes

1. Contrainte normale

2. Contraintes de cisaillement

n A V

0AlimIJ

s ns A V

0AlimIJ

t nt o' A

F0Alimı

n nt ns 'F V A Pn V t V s t s

Les notions de déformations

(2D: dans le plan xy)

Déformation normales

x y

Déformation de cisaillement

xyy xxvv yyuu yyvv xxuu x y xy2 u v x yA BC

A'B'C'

x

ABAB'B'Alim0xx

xu xxuxxuux lim0xx w H o' yv yyvyyvvy lim0yy yu xv xy w w w J Les notions de contraintes-déformations-température

Loi de Hooke

x x y y z z T=T-T o /EıȞİ/EıȞİ/Eıİ xzxyxx /EıȞİ/Eıİ/EıȞİ yzyyyx

E/E/E/

zzzyzx

ǻTĮİǻTĮİǻTĮİ

zyx Les notions de contraintes-déformations-température

Loi de Hooke - (suite)

Relation contraintes-déformations

xy zxy yx xy yx yz zy

GIJȖ

xy xy

GIJȖ

xz xz

GIJȖ

yz yz >@ǻTĮ )ıı(Ȟı E1İ zyxx >@ǻTĮ )ıı(Ȟı E1İ xzyy >@ǻTĮ )ıı(Ȟı E1İ yxzz

GIJȖ

xy xy

GIJȖ

xz xz G yz yz

État tridimensionnel

Soit P un parallélépipède infinitésimal

Tenseur de contrainte

ij P x y z x xy xz x xy xz zx z yx y yz y yz yx zy z zx y x z zzyzxyzyyxxzxyx zzzyzxyzyyyxxzxyxx ij

Équilibre des moments suivant z

0ǻxǻzǻyIJǻyǻzǻxIJ

yxxy yxxy zxxz zyyz M z = 0 M y = 0 M x = 0 jisiı ijij jisiıı iij j,iıı jiij

État Plan de Contrainte

x xy x xy yx yx y y yyxxyx yFacexFace yxxy W V x xy x xy yx y y yx y x face positiveface négative x xy xz x xy xz zx z yx y yz y yz yx zy z zx y x z z x y zy zxzyz

0 Condition:

Contraintes suivant un plan incliné

P P FF FF F n F t section A W cosAsinF cos AF AF tt sincosAF cosAcosF cos AF AF nn 2 cosAF A F0 ,0

Transformation des contraintes

F y' x xy x' x'y' x' x'y' y'x' y' y' y'x'

Transformation des contraintes

x xy x xy yx y y yx x xy x' x'y' y yx x'y' y x A cos 'A sin 'A x A cos x' A x'y' A x'y' y A sin yn A sin xy A cos 0

T'VTT'V'V

cossinAsincosAsinsinAcoscosAA xyxyyx'x 0 'VTT'V'W sinsinAcoscosAcossinAsincosAA xyxyyx'y'x

Équilibre en x'

Équilibre en y'DCL

VVV V2222sincos

xyyxyx 'x

VV W222cossin

xyyx 'y'x V

VV V2222sincos

xyyxyx 'y

TWTVTV Vcossinsincos

xyyx'x 2 22

TWTTVV W

22
sincossincos xyyx'y'x

T22sincossin

2121
2 cossin 2121
2 coscos

Équilibre en x'

Équilibre en y'

Trigonométrie

Transformation des contraintes

Transformation

x' y' x y x

Un réservoir sous pression de 2.5 m de

diamètre est fabriqué à partir de plaques de 10mm soudées bout à bout et sont en forme d'hélice.

Sachant que la pression maximale

est de 1.2 MPa, calculer : a) les contraintes générées, max b) la contrainte normale et la contrainte de cisaillement tangentes à la ligne de soudure t

30°N

T tz

Exemple

Contraintes principales en 3D

Soit un élément coupé OABC

Contrainte normale S(S

x , S y , S z ) ou S(S n , S s

OD = = cos OA

ODm = = cos OB

ODn = = cos OC

E J xx yx zx (A) = (A) + (A)m + (A)nS xx yx zx = + m + nS yxy y zy = + m + nS zxz yz z = + m + nS 0 = F x 0 = F y 0 = F z y yz yx zy z zx x xy xz y x zN S B A C OD

Équilibre

Si S est parallèle à N, alors

Contrainte normale S

n ou S (S x , S y , S z S s = 0 x ny zquotesdbs_dbs32.pdfusesText_38

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