[PDF] 1 Propriétés élémentaires des opérations addition et multiplication

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Universite Paris 13, Institut Galilee

Departement de Mathematiques

Licence 2emeannee Informatique

2013-2014

Cours de Mathematiques pour l'Informatique

Des nombres aux structures

Sylviane R. Schwer

Lecon du mardi 14 janvier 2014

Rappels concernant l'ensemble des nombres naturels Qu'est ce qu'un nombre ? Mathematiquement, un nombre est un element d'un ensemble structure de nombres. Fondes sur des proprietes algebriques, il y a l'ensemble des nom- bres naturels, l'ensemble des nombres entiers relatifs, l'ensemble des nombres rationnels, l'ensemble des nombres reels, l'ensemble des nombres complexes, ... Un ensemble de nombres est donc un exemple particulier destructure algebrique, c'est-a-dire une famille d'objets qui peuvent d'une part se combiner a l'aide de certains operateurs pour donner un objet de m^eme nature { ces operateurs sont alors ditsloisou operations internes, comme l'addition { et d'autre part se combiner avec des objets d'une autre structure pour donner des objets de cette autre structure { ces oporateurs sont alors ditsloisouoperations externes, comme la multiplication avec des reels dans les espaces vectoriels ou les ensembles de fonctions. L'etude de ce cours porte sur l'ensemble de base des nombres, l'ensemble des entiers naturels, sur lequel se fondent les constructions de tous les autres ensembles de nombres.

Nous notons :

Nl'ensemble des nombres naturels positifs ou nuls 0, 1, 2, 3 ... N l'ensemble des nombres naturels strictement positifs ou nuls 1, 2, 3 ... Nous rappelons d'abord les proprietes indispensables a conna^tre sur les operations arithmetiques elementaires : addition, multiplications, puis puis nous interesserons a la relation d'ordre naturel { l'ordre lie a la numeration { deN. Nous terminerons par les oporateursPetQ, appliques aux suites ou fonctions entieres a valeurs entieres.

1 Proprietes elementaires des operationsadditionet

multiplicationdansN L'addition de deux nombres entiers naturels a pour resultat un nombre entier naturel appelesomme. La multiplication de deux nombres entiers naturels a pour resultat un nombre entier naturel appeleproduit. Nous sacrierons a l'usage de confondre l'operation a son resultat. Ces deux operations sont des operations internes deNdenie par les egalites : somme (+) :n+ 0 =netn+ (m+ 1) = (n+m) + 1. 1 Sia+b=c, alorscest la somme deaet deb, resultat de l'addition deaet deb. On peut dire quebest la dierence entreaetcetaest la dierence entrebetc. produit () :n0 = 0 etn(m+ 1) =nm+n. Siab=c, alorscest le produit deaet deb, resultat de la multiplication deaet deb. On dit quecest unmultipledea. Il est aussi multiple deb. Reciproquement, on dit queaetbsont desdiviseursdec.

1.1 proprietes communes

Nous enoncons ces proprietes sans les prouver, ce qui se fait aisement par recurrence.

Notons?l'une ou l'autre des deux operations + ou.

commutativite :8a;b2N;a?b=b?a Cette propriete permet de ne regarder le comportement des operations que d'un seul c^ote. C'est pourquoi il est judicieux de commencer par la verier. associativite :8a;b;c2N;a?(b?c) = (a?b)?c

1.2 elements particuliers

element neutre

1"?2N;8a2N;a?"?="??a=a

0 est l'element neutre de l'addition dansN:8a2N;0 +a=a+ 0 =a

1 est l'element neutre de la multiplication dansN:8a2N;1a=a1 =a

Un ensemble muni d'une operation associative et qui possede un element neutre est appelemonode. Si l'operation est commutative, on dit que le monode est commutatif. Nest un monode commutatif additif et multiplicatif. element absorbant 2 ?2N;8a2N;a? ??a= l'addition n'a pas d'element absorbant.

0 est element absorbant de la multiplication :8a2N;0a=a0 = 0.1

On demontrera dans la seconde partie du cours que s'il existe un element neutre, celui-ci est unique.

2On demontrera dans la seconde partie du cours que s'il existe un element absorbant, celui-ci est

unique. 2

1.3 proprietes propres aux elements de la structure

paire d'elements symetriques.a;b2Nsont symetriques relativement a l'operation ?s'ils satisfont3a?b=b?a="?. (e?;"?) est une paire d'elements symetriques. Pour l'addition,aetbsont ditsopposes. La seule paire d'elements symetriques deNpour l'addition est (0;0). Pour la multiplication,aetbsont dits inverses. La seule paire d'elements symetriques deNpour la multiplication est (1;1). elements reguliersa2Nest regulier si l'equivalence suivante est satisfaite

8b;c2N; b=c()a?b=a?c()b?a=c?a:

Tout entier naturel est regulier pour l'addition.

Tout entier naturel dierent de 0, element absorbant du produit, est regulier pour la multiplication : (ab=ac)()(b=coua= 0) (ba=ca)()(b=c ou a= 0) sommes et produits dont le resultat est l'element neutre ou l'element absorbant : a?b= 0()a= 0et b= 0: a+b= 1()(a= 1 etb= 0) ou (a= 0 etb= 1): ab= 1()a= 1et b= 1:

1.4 propriete relative

distributivite de la multiplication par rapport a l'addition :8a;b;c2N a(b+c) = (ab) + (ac) (a+b)c= (ac) + (bc)

1.5 autres operations multiplicatives dansN

Ce sont des operations unaires deN, denies par recurrence.

1.5.1 puissances d'un entier naturel

8a2N,a0= 1,an+1=aan.

La fonction puissance n'est pas distributive par rapport a l'addition :8n >1,

9a;b2N;(a+b)n6=an+bn

La fonction puissance n'est donc pas une fonction lineraire.

On a les proprietes suivantes :8p;q2N,

a p+q=apaq(ap)q=apq:3 On demontrera dans la seconde partie du cours que si un element possede un symetrique, celui-ci est unique. 3

1.5.2 fonction factorielle

0! = 1, (n+ 1)! = (n+ 1)n!.

La fonction factorielle n'est pas distributive par rapport a l'addition :

9p;q2N;(p+q)!6=p! +q!

La fonction factorielle n'est donc pas une fonction lineraire.

2 Ordre naturel surN

L'ordre naturel correspond a l'ordre d'enumeration des nombres cardinaux appris des la petite enfance : un, deux, trois, quatre, ... 0 est ajoute en t^ete de la sequence. Mathematiquement, la relation inferieure ou egale, notee, est denie dansNpar mn() 9p2N; n=m+p: On dit quemest unpredecesseur denou quenest unsuccesseur dem. Sip= 1, on dit quemest lepredecesseur denou quenest lesuccesseur dem. Sip6= 0, alors l'inegalite est stricte et l'on notem < n.

2.1 Proprietes de la relation d'ordre naturel

C'est une relation d'ordrec'est-a-dire

re exive :8n2N; nn antisymetrique :8n;m2N; mnetnm)n=m transitive :8n;m;p2N; mnetnp)mp

De plus,

m < netnp)m < p, mnetn < p)m < p. lineaire ou totale :8n;m2N, soitn=msoitn < msoitm < n. avec 0 comme plus petit element :8n2N, 0n. Cette propriete est essentielle car elle permet d'armer que tout entiernn'a qu'un nombre ni d'entiers naturels plus petits que lui. C'est la base des demonstrations par recurrence. En particulier, les preuves elementaires de terminaison des algo- rithmes.

Toute partie deNpossede un plus petit element

sans plus grand element :8n2N;9p2N;n < p. discrete: tout entier naturelnnon nul possede un plus proche voisin qui lui est inferieur {n1 { c'est le plus grand de ses predecesseurs. 4 un plus proche voisin qui lui est superieur {n+ 1 { c'est le plus petit de ses successeurs.

0 n'a pas de predecesseur, son successeur est 1.

Toute partie bornee deNest nie.

Toute partie nie deNpossede un plus grand element. compatible avec la somme et le produit

4:8m;n;p2N,

mn()m+pn+p m < n()m+p < n+p mnetp6= 0()mpnp m < netp6= 0()mp < np.

2.1.1 soustraction dansN

Sia+b=calorsacetbc. Nous avons dit queaetait la dierence entrebet cetbla dierence entreaetc. La dierence est une relation symetrique5. L'operation arithmetiquesoustractionqui permet le calcul d'une dierence entre deux nombres quel- conquesaetbimpose que son premier argument soit plus grand ou egal a son second argument. Ce n'est donc pas une operation denie sur toutN.

Soita;c2N,ac,caest deni parb2Ntel quec=a+b.

cab=c(a+b) =c(b+a) =cba, mais la soustraction n'est ni commutative ni associative. ab=ba()a=b. Sia6=b, seulaboubaest deni. [(ab)c=a(bc)()c= 0.

0 est element neutre a droite :a0 =a.

Le produit est distributif pour la soustraction :a(bc) =abac. La relation d'ordre naturel est compatible avec la soustraction :8a;b;c2N, (ab()acbc) et (a < b()ac < bc).

2.1.2 approximation dansN

Tout entier non nulmpeut servir de mesure, c'est-a-dire que l'on peut encadrer tout nombre entier naturel entre deux multiples successifs de p. On dit queNest un ensemble archimedien.

8p2N;8n2N;9a2N; apn <(a+ 1)p

2.2 Intervalles deNmuni de son ordre naturel

La notion d'intervalle est commune a tous les ensembles munis d'une relation d'ordre. Elle generalise la notion geometrique de segment, qui permet de denir la notion de convexite.5 Une relationReldans un ensembleEest symetrique si8a;b2E;a Rel b()b Rel a. 5 Denition 2.2.1 (intervalles bornes)SoitEun ensemble muni d'une relation d'ordre . Soient deux elementsaetbdeEtels queab. On denit l'intervalle ferme[a;b] =fn2E;anbg l'intervalle semi-ouvert a droite[a;b[=fn2E;an < bg l'intervalle semi-ouvert a gauche]a;b] =fn2E;a < nbg l'intervalle ouvert]a;b[=fn2E;a < n < bg Netant un ensemble sans plus grand element pour l'ordre naturel, on denit des Denition 2.2.2 (intervalles non bornes deN)Soira2N. l'intervalle ferme inni[a;1[=fn2N;ang l'intervalle ouvert inni]a;1[=fn2N;a < ng En revanche, les ensemblesfn2N;nagetfn2N;n < agdenissent des intervalles bornes deNpuisque cet ensemble possede un plus petit element. Ces intervalles sont appelees sections commencantes. On notera [[a]] l'ensemblefn2N;nagqui s'ecrit aussi [0;a]. etant un ordre discret, toute partie propre deNne contenant pas 0 qui peut s'exprimer sous une forme intervallaire bornee [resp. non bornee], peut s'ecrire sous la forme intervallaire bornee [resp. non bornee] de n'importe quel type. Par exemple, ]a;b[= [a+ 1;b[=]a;b+ 1] = [a+ 1;b+ 1] ]a;1[= [a+ 1;1[ Les singletonsfagsont des intervalles. Sia6= 0 alorsfag= [a] =]a1;a] = [a;a+1[= ]a1;a+ 1[ maisf0gne possede que deux ecritures intervalaires [0;0] et [0;1[. L'ordre naturel deNetant total,Nest lui-m^eme un intervalle non borne, il ne possede qu'une seule ecriture intervallaireN= [0;1[. Par analogie avec la geometrie, on dira qu'une partie deNest convexe si quelque soit deux de ses elements, elle contient tout l'intervalle entre eux. Les seules parties convexes deNpour l'ordre naturel sont les intervalles deN.

2.2.1 Parties s-hereditaires deNpour son ordre naturel.

Une relation d'ordre total discrete denit une fonction succession, qui a chaque element lui associe, s'il existe, son successeur.

Soit la fonction

s:N!Nx7!x+ 1. Une partieAdeNest dites-hereditairesi elle est stable pars, c'est-a-dire sis(A)A. s(f3;5;8g) =f4;6;9g;s([a;b[) = [a+ 1;b+ 1[ ;s([a;1[= [a+ 1;1[ Les seules parties hereditaires non vides deNsont les intervalles innis. En fait l'une des caracteristiques deNest Proposition 2.1 (principe de recurrence)Si une partie deNcontient 0 et est s- hereditaire alors c'estNlui-m^eme. 6

3 Operateurs

PetQ Soient (uk)k2Nune suite denie surN,a;b2N. On denitPb k=auketQb apar : si a=b bX k=au k=ubetbY k=au k=ub si a3.1 Operation sur les indices

3.1.1 translation

Il s'agit de faire des translations d'intervalles. Si l'on deplace les bornes de l'intervalle [a;b] a gauche dansPouQ, il faut compenser en deplacant l'intervalle a droite dansquotesdbs_dbs8.pdfusesText_14

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