3ème - Arithmétique - Exercices
dans la division euclidienne de 146 par 15 le quotient est 9 et le reste est 11. ? Exercice p 58
Exercices 3ème - Arithmétique
Fiche d'exercices: Arithmétique. Diviseurs multiples
Exercices sur la division euclidienne Exercice 1 Déterminer le reste
Exercices sur la division euclidienne. Exercice 1. Déterminer le reste des divisions euclidiennes dans les cas suivants : 1) 3217 par 19. 2) 1273 par 17.
3ème D IE2 nombres premiers Sujet 1 2018-2019
3ème D. Sujet 1 2016-2017. IE2 nombres premiers. CORRECTION. 3. Exercice 1 : b) On effectue les divisions euclidiennes de 223 par la liste des premiers ...
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Exercice 5. 1. Montrer que si A et B sont deux polynômes à coefficients dans Q alors le quotient et le reste de la division euclidienne de A par B
Factorisation de polynômes de degré 3
Exercice : finir de factoriser P. Deuxième méthode : division euclidienne de polynômes. x3. ?. 4x2. ?. 7x. +.
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Exercice 2 : 1) Reformuler les affirmations suivantes en utilisant le mot « multiple ». a. 12 est un diviseur de 72. b. Le reste de la division euclidienne
UN PEU DARITHMETIQUE…
Effectuer la division euclidienne d'un nombre entier (dividende) par un autre EXERCICE TYPE 5 Un apiculteur doit transporter 800 pots identiques de miel ...
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Calculer les restes de la division euclidienne de 14
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? Exercice p 58 n° 3 : On a : 226 24 9 10 = × + a) Donner le quotient entier et le reste de la division euclidienne de 226 par 24 b) Donner le quotient
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Exercice 3 : Quel est ce nombre mystérieux ? Exercice 4 : Voici une liste de nombres entiers Recopier parmi les nombres entiers de la liste ci-dessus ceux qui
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Contrôle de mathématiques Troisième EXERCICE 1 : Calculer les PGCD suivant avec la méthode de votre choix 1 PGCD(117;299) 2 PGCD(2705;7033)
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Dans cet exercice on n'utilisera pas l'algorithme d'Euclide ! 1 Simplifie au maximum la fraction 270 210 en préci- sant à chaque étape par quel nombre cette
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Quels sont les restes obtenus dans la division euclidienne par 12 des nombres 13 132 133 134 ? Démontrer sans calculer ce nombre que 135 – 1 est divisible
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Exercice 2 : 1) Reformuler les affirmations suivantes en utilisant le mot « multiple » a 12 est un diviseur de 72 b Le reste de la division euclidienne
Polynômes
Corrections de Léa Blanc-Centi.
1 Opérations sur les polynômes
Exercice 1Trouver le polynômePde degré inférieur ou égal à 3 tel que :P(0) =1 etP(1) =0 etP(1) =2 etP(2) =4:
Exercice 21.Ef fectuerla di visioneuclidienne de AparB: (a)A=3X5+4X2+1;B=X2+2X+3 (b)A=3X5+2X4X2+1;B=X3+X+2 (c)A=X4X3+X2;B=X22X+4 (d)A=X57X4X29X+9;B=X25X+4 2.Ef fectuerla di visionselon les puissances croissantes de AparBà l"ordrek(c"est-à-dire tel que le reste
soit divisible parXk+1) : (a)A=12X+X3+X4;B=1+2X+X2;k=2 (b)A=1+X32X4+X6;B=1+X2+X3;k=4 À quelle condition sura;b;c2Rle polynômeX4+aX2+bX+cest-il divisible parX2+X+1 ? 1. Déterminer les pgcd des polynômes sui vants: (a)X3X2X2 etX52X4+X2X2 (b)X4+X32X+1 etX3+X+1 (c)X5+3X4+X3+X2+3X+1 etX4+2X3+X+2 (d)nXn+1(n+1)Xn+1 etXnnX+n1 (n2N) 12.Calculer le pgcd Ddes polynômesAetBci-dessous. Trouver des polynômesUetVtels queAU+BV=
D. (a)A=X5+3X4+2X3X23X2 etB=X4+2X3+2X2+7X+6 (b)A=X62X5+2X43X3+3X22X etB=X42X3+X2X+1 1.Montrer que si AetBsont deux polynômes à coefficients dansQ, alors le quotient et le reste de la division
euclidienne deAparB, ainsi que pgcd(A;B), sont aussi à coefficients dansQ. 2. Soit a;b;c2Cdistincts, et 0F actoriserles polynômes sui vants: a)X2+(3i1)X2i b)X3+(4+i)X2+(52i)X+23i Pour quelles valeurs deale polynôme(X+1)7X7aadmet-il une racine multiple réelle? Chercher tous les polynômesPtels queP+1 soit divisible par(X1)4etP1 par(X+1)4.
Indications.Commencer par trouver une solution particulièreP0avec l"une des méthode suivantes :
1. à partir de la relation de Bézout entre (X1)4et(X+1)4; 2. en considérant le polynôme déri véP00et en cherchant un polynôme de degré minimal.Montrer quePconvient si et seulement si le polynômePP0est divisible par(X1)4(X+1)4, et en déduire
toutes les solutions du problème. Quels sont les polynômesP2C[X]tels queP0diviseP? 2Exercice 10
Trouver tous les polynômesPqui vérifient la relationP(X2) =P(X)P(X+1)
Soitn2N. Montrer qu"il existe un uniqueP2C[X]tel que 8z2CP z+1z =zn+1z nMontrer alors que toutes les racines dePsont réelles, simples, et appartiennent à l"intervalle[2;2].
1. Soit P=Xn+an1Xn1++a1X+a0un polynôme de degrén>1 à coefficients dansZ. Démontrer que siPadmet une racine dansZ, alors celle-ci divisea0. 2. Les polynômes X3X2109X11 etX10+X5+1 ont-ils des racines dansZ? Soienta0;:::;andes réels deux à deux distincts. Pour touti=0;:::;n, on pose L i(X) =Õ 16j6n j6=iXaja iaj (lesLisont appeléspolynômes interpolateurs de Lagrange). CalculerLi(aj).Soientb0;:::;bndes réels fixés. Montrer queP(X) =åni=0biLi(X)est l"unique polynôme de degré inférieur ou
égal ànqui vérifie:
P(aj) =bjpour toutj=0;:::;n:
Application.Trouver le polynômePde degré inférieur ou égal à 3 tel queP(0) =1 etP(1) =0 etP(1) =2 etP(2) =4:
Indication pourl"exer cice4 NLe calcul du pgcd se fait par l"algorithme d"Euclide, et la "remontée" de l"algorithme permet d"obtenirUetV.Indication pourl"exer cice5 NCalculer pgcd(P;P0).Indication pourl"exer cice9 NSiP=P0QavecP6=0, regarder le degré deQ.Indication pourl"exer cice10 NMontrer que siPest un polynôme non constant vérifiant la relation, alors ses seules racines possibles sont 0 et
1.Indication pourl"exer cice11 NPour l"existence, preuve par récurrence surn. Pour les racines, montrer queP(x) =2cos(narccos(x=2)).4
Correction del"exer cice1 NOn cherchePsous la formeP(X) =aX3+bX2+cX+d, ce qui donne le système linéaire suivant à résoudre:
8>>< >:d=1 a+b+c+d=0 a+bc+d=28a+4b+2c+d=4
Après calculs, on trouve une unique solution :a=32 ,b=2,c=12 ,d=1 c"est-à-direP(X) =32
X32X212
X+1:Correction del"exer cice2 N1.(a) 3 X5+4X2+1= (X2+2X+3)(3X36X2+3X+16)41X47 (b)3 X5+2X4X2+1= (X3+X+2)(3X2+2X3)9X2X+7
(c)X4X3+X2= (X22X+4)(X2+X2)7X+6 (d)X57X4X29X+9 = (X25X+4)(X32X214X63)268X+261 2. (a)1 2X+X3+X4= (1+2X+X2)(14X+7X2)+X3(96X)
(b)1 +X32X4+X6= (1+X2+X3)(1X2X4)+X5(1+2X+X2)Correction del"exer cice3 NLa division euclidienne deA=X4+aX2+bX+cparB=X2+X+1 donne
X4+aX2+bX+c= (X2+X+1)(X2X+a)+(ba+1)X+ca
OrAest divisible parBsi et seulement si le resteR= (ba+1)X+caest le polynôme nul, c"est-à-dire si
et seulement siba+1=0 etca=0.Correction del"exer cice4 N1.L "algorithmed"Euclide permet de calculer le pgcd par une suite de di visionseuclidiennes.
(a)X52X4+X2X2= (X3X2X2)(X2X)+2X23X2 puisX3X2X2= (2X23X2)(12 X+14 )+34 X32 puis 2X23X2= (34 X32 )(83 X+43 Le pgcd est le dernier reste non nul, divisé par son coefficient dominant: pgcd(X3X2X2;X52X4+X2X2) =X2 (b)X4+X32X+1= (X3+X+1)(X+1)X24X puisX3+X+1= (X24X)(X+4)+17X+1 donc pgcd(X4+X32X+1;X3+X+1) =pgcd(X24X;17X+1) =1 carX24Xet 17X+1 n"ont pas de racine (même complexe) commune. 5 (c)X5+3X4+X3+X2+3X+1= (X4+2X3+X+2)(X+1)X31 puisX4+2X3+X+2= (X31)(X2)+2X3+2 pgcd(X5+3X4+X3+X2+3X+1;X4+2X3+X+2) =X3+1 (d)nXn+1(n+1)Xn+1 = (XnnX+n1)(nX(n+1))+n2(X1)2 Sin=1 alorsXnnX+n1=0 et le pgcd vaut(X1)2. On constate que 1 est racine de X nnX+n1, et on trouveXnnX+n1= (X1)(Xn1+Xn2++X2+X(n1)). Sin>2: 1 est racine deXn1+Xn2++X2+X(n1)et on trouve X n1+Xn2++X2+X(n1) = (X1)(Xn2+2Xn3++(n1)X2+nX+(n+1)), donc finalement(X1)2divise X nnX+n1 (on pourrait aussi remarquer que 1 est racine de multiplicité au moins deux de X nnX+n1, puisqu"il est racine de ce polynôme et de sa dérivée). Ainsi sin>2;pgcd(nXn+1(n+1)Xn+1;XnnX+n1) = (X1)2 2. (a) A=X5+3X4+2X3X23X2 etB=X4+2X3+2X2+7X+6 doncA=BQ1+R1avecQ1=X+1,R1=2X310X216X8 puisB=R1Q2+R2avecQ2=12 X+32 etR2=9X2+27X+18 et enfinR1=R2Q3avecQ3=29 X49DoncD=X2+3X+2, et on obtient
9D=BR1Q2=B(ABQ1)Q2=AQ2+B(1+Q1Q2)
soit U=19 (Q2) =118 X16 V=19 (1+Q1Q2) =118 X2+19 X+518 (b)On a A=BQ1+R1avecQ1=X2+1,R1=X2X1
puisB=R1Q2+R2avecQ2=X2X+1 etR2=X+2 et enfinR1=R2Q3+R3avecQ3=X1 etR3=1DoncD=1, et on obtient
1=R1R2Q3=R1(BR1Q2)Q3=R1(1+Q2Q3)BQ3
= (ABQ1)(1+Q2Q3)BQ3 =A(1+Q2Q3)B(Q1(1+Q2Q3)+Q3) soitU=1+Q2Q3=X3
V=Q1(1+Q2Q3)Q3=1+X+X3+X5Correction del"exer cice5 N1.Lorsqu"on ef fectuela di visioneuclidienne A=BQ+R, les coefficients deQsont obtenus par des
opérations élémentaires (multiplication, division, addition) à partir des coefficients deAetB: ils restent
donc dansQ. De plus,R=ABQest alors encore à coefficients rationnels. Alorspgcd(A;B)=pgcd(B;R)etpourl"obtenir, onfaitladivisioneuclidiennedeBparR(dontlequotientet le reste sont encore à coefficients dansQ), puis on recommence... Le pgcd est le dernier reste non nul,
c"est donc encore un polynôme à coefficients rationnels. 62.Notons P1=pgcd(P;P0): commePest à coefficients rationnels,P0aussi et doncP1aussi. OrP1(X) =
(Xa)p1(Xb)q1(Xc)r1. En itérant le processus, on obtient quePr1(X) = (Xc)est à coefficients rationnels, doncc2Q. On remonte alors les étapes:Pq1(X) = (Xb)(Xc)rq+1est à coefficients rationnels, etXbaussi en tant que quotient dePq1par le polynôme à coefficients rationnels(Xc)rq+1, doncb2Q. Demême, en considérantPp1, on obtienta2Q.Correction del"exer cice6 N1.(a) X33= (X31=3)(X2+31=3X+32=3)oùX2+31=3X+32=3est irréductible surR. On cherche
ses racines complexes pour obtenir la factorisation surC: X33= (X31=3)(X+12
31=3i2
35=6)(X+12
31=3+i2
35=6)(b) P assonsà X121.z=reiqvérifiez12=1 si et seulement sir=1 et 12q0[2p], on obtient donc comme racines complexes leseikp=6(k=0;:::;11), parmi lesquelles il y en a deux réelles (1 et 1) et cinq couples de racines complexes conjuguées (eip=6ete11ip=6,e2ip=6ete10ip=6,e3ip=6ete9ip=6, e
4ip=6ete8ip=6,e5ip=6ete7ip=6), d"où la factorisation surC[X]:
X121= (X1)(X+1)(Xeip=6)(Xe11ip=6)(Xe2ip=6)
(Xe10ip=6)(Xe3ip=6)(Xe9ip=6)(Xe4ip=6) (Xe8ip=6)(Xe5ip=6)(Xe7ip=6) Comme(Xeiq)(Xeiq) = (X22cos(q)X+1), on en déduit la factorisation dansR[X]: X121= (X1)(X+1)(X22cos(p=6)X+1)
(X22cos(2p=6)X+1)(X22cos(3p=6)X+1) (X22cos(4p=6)X+1)(X22cos(5p=6)X+1) = (X1)(X+1)(X2p3X+1) (X2X+1)(X2+1)(X2+X+1)(X2+p3X+1) (c) Pour X6+1,z=reiqvérifiez6=1 si et seulement sir=1 et 6qp[2p], on obtient donc comme racines complexes lesei(p+2kp)=6(k=0;:::;5). D"où la factorisation dansC[X]: X6+1= (Xeip=6)(Xe3ip=6)(Xe5ip=6)(Xe7ip=6)
(Xe9ip=6)(Xe11ip=6) Pour obtenir la factorisation dansR[X], on regroupe les paires de racines complexes conjuguées : X6+1= (X2+1)(X2p3X+1)(X2+p3X+1)
(d)X9+X6+X3+1=P(X3)oùP(X) =X3+X2+X+1=X41X1: les racines dePsont donc les trois racines quatrièmes de l"unité différentes de 1 (i,i,1) et X9+X6+X3+1=P(X3)
= (X3+1)(X3i)(X3+i) = (X3+1)(X6+1) On sait déjà factoriserX6+1, il reste donc à factoriser le polynômeX3+1= (X+1)(X2X+1), oùX2X+1 n"a pas de racine réelle. Donc X9+X6+X3+1= (X+1)(X2X+1)(X2+1)
(X2p3X+1)(X2+p3X+1) Pour la factorisation surC: les racines deX2X+1 sonteip=3ete5ip=3, ce qui donne X9+X6+X3+1= (X+1)(Xeip=3)(Xe5ip=3)
(Xeip=6)(Xe3ip=6)(Xe5ip=6) (Xe7ip=6)(Xe9ip=6)(Xe11ip=6) 72.(a) Pour X2+(3i1)X2i, on calcule le discriminant
D= (3i1)24(2i) =2i
et on cherche les racines carrées (complexes!) deD:w=a+ibvérifiew2=Dsi et seulement si w=1iouw=1+i. Les racines du polynômes sont donc12 ((3i1)(1i))etP(X) = (X+i)(X1+2i). (b) Pour X3+(4+i)X2+(52i)X+23i:1 est racine évidente, etP(X) = (X+1)(X2+(3+ i)X+23i). Le discriminant du polynômeX2+(3+i)X+23ivautD=18i, ses deux racinescarrées complexes sont(3+3i)et finalement on obtientP(X) = (X+1)(Xi)(X+3+2i).Correction del"exer cice7 NSoitx2R;xest une racine multiple dePsi et seulement siP(x) =0 etP0(x) =0:
P(x) =P0(x)0()(x+1)7x7a=0
7(x+1)67x6=0
()(x+1)x6x7a=0 en utilisant la deuxième équation (x+1)6=x6 ()x6=a (x+1)3=x3en prenant la racine carrée ()x6=a x+1=xen prenant la racine cubique qui admet une solution (x=12 ) si et seulement sia=164.Correction del"exer cice8 N1.On remarque que si Pest solution, alorsP+1= (X1)4Aet par ailleursP1= (X+1)4B, ce qui
donne 1=A2 (X1)4+B2 (X+1)4. Cherchons des polynômesAetBqui conviennent: pour cela, on écrit la relation de Bézout entre(X1)4et(X+1)4qui sont premiers entre eux, et on obtient A2 =532 X3+58X2+2932
X+12 B2 =532 X3+58X22932
X+12On a alors par construction
(X1)4A1=21+(X+1)4B2
=1+(X+1)4B etP0= (X1)4A1 convient. En remplaçant, on obtient après calculs : P 0=516X72116
X5+3516
X33516
X 2. Si (X1)4diviseP+1, alors 1 est racine de multiplicité au moins 4 deP+1, et donc racine de multiplicité au moins 3 deP0: alors(X1)3diviseP0. De même(X+1)3diviseP0. Comme(X1)3 et(X+1)3sont premiers entre eux, nécessairement(X1)3(X+1)3diviseP0. Cherchons un polynôme de degré minimal : on remarque que les primitives de l(X1)3(X+1)3=l(X21)3=l(X63X4+3X21) 8 sont de la formeP(X)=l(17 X735 X5+X3X+a). SiPconvient, nécessairement 1 est racine deP+1 et1 est racine deP1, ce qui donnel(1635 +a) =1 etl(1635 +a) =1. D"oùla=0 et comme on cherchePnon nul, il fauta=0 etl=3516 . On vérifie que P0(X) =3516
(17 X735X5+X3X) =516
X72116
X5+3516
X33516
Xest bien solution du problème: le polynômeA=P0+1 admet 1 comme racine, i.e.A(1)=0, et sa dérivée
admet 1 comme racine triple doncA0(1)=A00(1)=A000(1)=0, ainsi 1 est racine de multiplicité au moins
4 deAet donc(X1)4diviseA=P+1. De même,(X+1)4diviseP1.
Supposons quePsoit une solution du problème. On note toujoursP0la solution particulière obtenue ci-dessus.
AlorsP+1 etP0+1 sont divisibles par(X1)4, etP1 etP01 sont divisibles par(X+1)4. AinsiP P0= (P+1)(P0+1) = (P1)(P01)est divisible par(X1)4et par(X+1)4. Comme(X1)4et
(X+1)4sont premiers entre eux, nécessairementPP0est divisible par(X1)4(X+1)4. Réciproquement, siP=P0+(X1)4(X+1)4A, alorsP+1 est bien divisible par(X1)4etP1 est divisible par(X+1)4. Ainsi les solutions sont exactement les polynômes de la forme P0(X)+(X1)4(X+1)4A(X)
oùP0est la solution particulière trouvée précédemment, etAun polynôme quelconque.Correction del"exer cice9 NLe polynôme nul convient. Dans la suite on suppose quePn"est pas le polynôme nul.
Notonsn=degPson degré. CommeP0diviseP, alorsPest non constant, doncn>1. SoitQ2C[X]tel que P=P0Q. Puisque deg(P0) =deg(P)1>0, alorsQest de degré 1. AinsiQ(X) =aX+baveca6=0, et doncP(X) =P0(X)(aX+b) =aP0(X)(X+ba
Donc siz6=ba
et sizest racine dePde multipliciték>1, alorszest aussi racine deP0avec la même multiplicité, ce qui est impossible. Ainsi la seule racine possible dePestba Réciproquement, soitPun polynôme avec une seule racinez02C: il existel6=0,n>1 tels queP=l(Xz0)n, qui est bien divisible par son polynôme dérivé.Correction del"exer cice10 NSiPest constant égal àc, il convient si et seulement sic=c2, et alorsc2 f0;1g.
Dans la suite on supposePnon constant. NotonsZl"ensemble des racines deP. On sait queZest un ensemble
non vide, fini.Analyse
Siz2Z, alorsP(z) =0 et la relationP(X2) =P(X)P(X+1)impliqueP(z2) =0, doncz22Z. En itérant, on obtientz2k2Z(pour toutk2N). Sijzj>1, la suite(jz2kj)kest strictement croissante doncZcontient uneinfinité d"éléments, ce qui est impossible. De même si 0 ce qui est impossible pour la même raison. Donc les éléments deZsont soit 0, soit des nombres complexes de Or sieip=3était racine deP, alors(eip=3)2devrait aussi être dansZ, mais ce n"est aucun des quatre nombres complexes listés ci-dessus. Donc nieip=3, nieip=3ne sont dansZ. Les deux seules racines (complexes)Synthèse
La conditionP(X2) =P(X)P(X+1)devient
lX2k(X21)`=l2Xk(X1)`(X+1)kX` 9 qui équivaut à 8quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19
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