2.4 Undetermined Coefficients
the coefficients 4 and 5 to identify atoms sinx and xex; then r(x) is a Correction rule: if solution e-px of y/ + py = 0 appears in trial.
Further Remarks on the Differential Correction Algorithm
xe-X. DEFINITIONS. For f E C[0 1]
Numerical Solution of Non-linear Equations
(ii) The equation xex – cos x = 0 is a transcendental equation as it contains Remark 2.1: If a is a real root of the equation f (x) = 0 correct to N ...
MLN1783722 - Proper Use of Modifiers 59 & –X{EPSU}
The Medicare National Correct Coding Initiative (NCCI) includes Procedure-to-Procedure (PTP) edits that define when you shouldn't report certain HCPCS or
UNIT - I Solution of Algebraic and Transcendental Equations
Similarly we get x4 = 1.3125
AP Calculus AB Sample Student Responses and Scoring
(a) The average rate of change of f on the interval 0 x ? x e x. ?. = ?. ( ). ( ). ( ). 3 2. 3 2. 3 2. 3. 3. 3 cos sin. 2. 2. 2 f.
Bernoulli trials An experiment or trial
http://www.stat.columbia.edu/~liam/teaching/4109-fall10/chapter5.pdf
ALTERNATING PROJECTION BASED PREDICTION-CORRECTION
PREDICTION-CORRECTION METHODS FOR STRUCTURED V = {{xy)'x e X
THE FIXED POINT PROPERTY FOR ARCWISE CONNECTED
The present collaboration has produced a correct proof. Since contains no circle if eeX and if f:X—+X is continuous
EXERCISES FOR CHAPTER 6: Taylor and Maclaurin Series
Find the Taylor series for the function x4 + x 2 centered at a=1. Solution f (2)(0) = 2 f (3)(x) = 2e x + e x xe x f (3)(0) = 3 so that xe x x 2.
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CORRECTION DES EXERCICES VARIATION DE FONCTION AVEC EXPONENTIELLE Exercice 1 : Considérons la fonction f : x ?? 2ex ? 2x + 3 définie et dérivable sur
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Correction : La fonction f est définie sur l'ensemble des nombres réels x tels que x2 f(x)=1 ? x3 + x2 ? 5x +2=1 admet au moins une solution sur ]0
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On considère la fonction f définie et dérivable sur l'intervalle [0;+?[ par f (x)=xe?x 1 Déterminer la limite de la fonction f en +? 2 Déterminer la
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D La fonction f atteint un minimum pour x = 1 Correction A : FAUX 1 ² 1 lim ( ) lim lim 0 x x x x x x x x f x e x xe
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x2 + x + 1 ex • n(x)=e-x2+x Corrigé Calculer les dérivées des fonctions suivantes : • f est de la forme ku avec k constante donc f/(x) = 2ex
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1) Déterminer la limite de f(x) quand x tend vers – ? 2) Montrer que f(x)= x e? + 1 1
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Soit une fonction f définie sur R par la donnée de f (x) On admet que f est dérivable sur R Déterminer une expression de f (x) 1 f (x) = e
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un réel ? > 0 tel que l'implication x ? ? ? x2 ? ? soit vraie pour tout réel x En effet f(x)=0 pour tout x ? [0 1[ d'où : lim x?1 x
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On consid`ere la fonction f définie sur R par f(x) = xe?x et Cf sa courbe représentative Partie I 1) Déterminer les variations de f 2) Déterminer lim x?+?
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f ' = f f (0) = 1 h(x) = f (x) f (?x) h'(x) = f '(x) f (?x) + f (x) ? f '(?x exp1= e expx = exp(x ×1) = exp(1) ( )x = ex expx = ex ? ? 2 x2 = 2
1. Find the first 4 terms of the Taylor series for the following functions:
(a) lnx centered at a=1, (b) 1 x centered at a=1, (c) sinx centered at a= 4Solution
(a) f(x)=lnx. So f (1) (x)=1 x, f (2) (x)=1 x 2, f (3) (x)=2 x 3 , f (4) (x)=6 x 4 and so lnx=ln1+(x1)1+(x1) 2 2! (1)+(x1) 3 3! (2)+(x1) 4 4! (6)+... =(x1)(x1) 22+(x1) 3 3 (x1) 4 4 (b) f(x)=1 x. So f (1) (x)=1 x 2 , f (2) (x)=2 x 3 , f (3) (x)=6 x 4 and so 1 x =1+(x1)(1)+(x1)2 2! (2)+(x1) 3 3! (6)+ =1(x1)+(x1) 2 (x1) 3 (c) f(x)=sinx. So f (1) (x)=cosx, f (2) (x)=sinx, f (3) (x)=cosx and so sinx=22 +(x 4 )(2 2 )+(x 4 2 2! (2 2 )+(x 4 3 3! (22 2 2 1+(x 4 )(x 4 2 2 (x 4 3 6
2. Find the first 3 terms of the Taylor series for the function
sin x centered at a=0.5.Use your answer to find an approximate value to
sin( 2 10Solution
f(x)=sinx. So f (1) (x)=cosx, f (2) (x)= 2 sinx, f (3) (x)= 3 cosx, f (3) (x)= 4 sinx and so sinx=sin 2 +(x1 2 2 2! 2 )+(x1 2 4 4! 4 =1 2 (x1 2) 2 2! 4 (x1 2) 4 4!K. A. Tsokos: Series and D.E.
70sin(1 2+1 10)=1 2 (1 10) 2 2! 4 (1 10) 4 4! =10.0493+0.0004 =0.9511 (To 4 decimal places the GDC gives the same answer.)
3. Find the Taylor series for the function
x 4 +x2 centered at a=1.Solution
f(x)=x 4 +x2. f (1) (x)=4x 3 +1, f (2) (x)=12x 2 , f (3) (x)=24x, f (4) (x)=24 and all other derivatives are zero. Thus x 4 +x2=0+(x1)5+(x1) 2 2!12+(x1)
3 3!24+(x1)
4 4! 24=5(x1)+6(x1) 2 +4(x1) 3 +(x1) 4
4. Find the first 4 terms in the Taylor series for
(x1)e x near x=1.Solution
Either find the Taylor series for
e x and then multiply by (x1): f(x)=e x f(1)=e f (1) (x)=e x f (1) (1)=e f (2) (x)=e x f (2) (1)=e f (3) (x)=e x f (3) (1)=e so that (x1)e x (x1)e+(x1)e+(x1) 2 2! e+(x1) 3 3! e (x1)e+(x1) 2 e+(x1) 3 2 e+(x1) 4 6 e or with a bit more work, f(x)=(x1)e x f(1)=0 f (1) (x)=(x1)e x +e x f (1) (1)=e f (2) (x)=(x1)e x +2e x f (2) (1)=2e f (3) (x)=(x1)e x +3e x f (3) (1)=3e f (4) (x)=(x1)e x +4e x f (4) (1)=4e so that (x1)e x0+(x1)e+(x1)
2 2!2e+(x1)
3 3!3e+(x1)
4 4! 4e (x1)e+(x1) 2 e+(x1) 3 2 e+(x1) 4 6 eK. A. Tsokos: Series and D.E.
715. Find the first 3 terms in the Maclaurin series for (a)
sin 2 x, (b) x 1x 2 , (c) xe x (d) x 1+x 2Solution
(a) f(x)=sin 2 xf(0)=0 f (1) (x)=2sinxcosx=sin2xf (1) (0)=0 f (2) (x)=2cos2xf (2) (0)=2 f (3) (x)=4sin2xf (3) (0)=0 f (4) (x)=8cos2xf (4) (0)=8 f (5) (x)=16sin2xf (5) (0)=0 f (6) (x)=32cos2xf (6) (0)=32 and so sin 2 x0+0+x 2 2! 2+0x 4 4! 8+0+x 6 6! 32x 2 x 4 3 +2x 6 45
In later exercises you will see more efficient ways to do this expansion. (b) f(x)=x 1x 2 f(0)=0 f (1) (x)=1x 2 x2x 21x
2 1x 2 =1 (1x 2 3/2 f(0)=1 f (2) (x)=3 2(1x 2 5/2 (2x)f(0)=0 f (4) (x)=3 2(1x 2 5/2 (2)+3 2quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45
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