[PDF] Quelques notions mathématiques de base

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Université de Caen

Quelques notions math

´ematiques de baseChristophe Chesneau

https://chesneau.users.lmno.cnrs.fr/Caen, le 28 Septembre 2017

Table des matières

Table des matières

1 Notions sur les ensembles 5

1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2 Opérations sur les ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.3 Introduction au dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

1.4 Application - fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

2 Calcul de sommes et de produits 29

2.1 Fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

2.2 Formules de sommes finies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.3 Formules de sommes infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.4 Somme d"une famille de réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36

2.5 Somme double . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

3 Calcul intégral39

3.1 Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

3.2 Primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

3.3 Intégrale simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

3.4 Compléments sur l"intégrale simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

3.5 Intégrale généralisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

3.6 Convergence des intégrales de références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

Index53

Note L"objectif de ce document est de présenter de manière concise quelques notions mathéma- tiques fondamentales (utilisées souvent en probabilités entre autre).

Contact :christophe.chesneau@gmail.com

Bonne lecture!C. Chesneau3

1 Notions sur les ensembles

1 Notions sur les ensembles

1.1 Définitions

Ensemble

Un ensemble est une collection d"objets appelés éléments. Les ensembles sont représentés en

lettres majuscules (A,B...) et les éléments, en lettres minuscules (x,y...). Il peut se représenter sous la forme accolade :A={...}, par : extension : liste de ses éléments séparés des ",",

compréhension : brève description ou propriété caractéristique de ses éléments.La notationfx;:::gsignifie "ensemble des valeursxtelles que ...".

BLes éléments deA=f1;2gsont1et2.

BOn aA=fx;x2= 1g=f1;1g.

BOn peut écrireA={numéros affichables par un dé}=f1;2;3;4;5;6g.

Appartenance

SoitAun ensemble. L"appartenance d"un élémentxàAs"écritx2A(prononcer "xappar- tient àA"). La non appartenance d"un élémentxàAs"écritx62A(prononcer "xn"appartient pas àA").Quandx2A, on dit aussi que "xest élément deA", "xest dansA" ou "Apossèdex".

BSoitA=f1;2;3g. On a12Aet462A.

Égalité de deux ensembles

SoientAetBdeux ensembles. L"égalité deAetBse noteA=B(prononcer "AégalB"). Elle est caractérisée par l"équivalence :A=Bsi, et seulement si, pour toutx2A, on a x2Bet, pour toutx2B, on ax2A. La non égalité deAetBse noteA6=B(prononcer

"Adifférent deB").Autrement dit, deux ensembles sont égaux si, et seulement si, ils ont exactement les mêmes éléments.

C. Chesneau5

1 Notions sur les ensembles

BSoientA=f1;2getB=f1;2;1;1;1;1;2g. On aA=B.

Inclusion

SoientAetBdeux ensembles. L"inclusion stricte deAetBse noteAB(prononcer "A inclus strictement dansB"). Elle est caractérisée par l"équivalence :ABsi, et seulement si, pour toutx2A, on ax2B, et il existe uny2Btel quey62A. La non inclusion stricte deAetBse noteA6B(prononcer "Anon inclus strictement dans B").L"inclusion stricte deAetBse note parfois "A(B".

SiAetBsont deux ensembles tels queAB, alorsAest appelé partie deB.Une partie deAest parfois appelée "sous-ensemble deA".

L"inclusion (non stricte) deAetBse noteAB(prononcer "Ainclus dansB"). Elle est caractérisée par l"équivalence :ABsi, et seulement si, pour toutx2A, on ax2B, ou

A=B.Autrement dit, on aAinclus dansBsi, et seulement si, tout élément deAest aussi élément deB.

SiABetBA, alors on aA=B.

Ensemble vide

L"ensemble vide est l"ensemble ne contenant aucun élément. Il est noté?.Pour tout ensembleAnon vide, on a toujours l"inclusion?A.

BOn aA=fx;x <0etx >0g=?.

Singleton

Un ensemble à un seul élément est appelé singleton.Ensemble des entiers

L"ensemble des entiers est l"ensemble contenant les entiers0,1,2.... Il est notéN.On poseN=fentiers non nulsg.

Ensemble des entiers relatifs

L"ensemble des entiers relatifs est l"ensemble contenant les entiers0,1,2...ainsi que1,

2.... Il est notéZ.C. Chesneau6

1 Notions sur les ensembles

Les entiers0,1,2...sont parfois appelés entiers relatifs positifs, et les valeurs1,2...sont appelées entiers relatifs négatifs.

On poseZ=fentiers relatifs non nulsg.

Ensemble des réels

L"ensemble des nombres réels est l"ensemble contenant tous les nombres positifs, négatifs ou nuls, ayant une représentation décimale finie ou infinie. Il est notéR.On a?NZR. BOn a

12;5;45

;11000 R.

Intervalles

Soienta2Retb2Rtel quea < b. On appelle intervalle tous les ensembles suivants : [a;b] =fx2R;axbg. ]a;b[ =fx2R;a < x < bg. [a;b[ =fx2R;ax < bg. ]a;b] =fx2R;a < xbg. [a;1[ =fx2R;axg. ]a;1[ =fx2R;a < xg. ] 1;a] =fx2R;xag. ] 1;a[ =fx2R;x < ag.Les réelsaetbsont appelées extrémités de l"intervalle[a;b].

BOn a[1;2]R+.

BOn a]1;2[[1;2].

BOn a[1;1[6[0;8].

On pose

R={nombres réels on nuls}.

R+={nombres réels positifs}= [0;1[.

R={nombres réels négatifs}=] 1;0].

R+={nombres réels positifs non nuls}=]0;1[.

R={nombres réels négatifs non nuls}=] 1;0[.C. Chesneau7

1 Notions sur les ensembles

1.2 Opérations sur les ensembles

Réunion

SoientAetBdeux ensembles. On appelle réunion deAetBl"ensemble des éléments qui

appartiennent àAouB. Il est notéA[B(prononcer "AunionB").L"ensembleA[Best caractérisée par l"équivalence :x2A[Bsi, et seulement si,x2Aoux2B.

Le mot "ou" n"est pas exclusif;xpeut appartenir à la fois àAetB. Pour toutAB, on aA[B=B. En particulier, on aA[?=A. La partie colorée du diagramme suivant, appelé diagramme de Venn, représenteA[B:AB

Réunion : généralisation

Soientn2Net(Ak)k2f1;:::;ngune famille d"ensembles. La réunion des(Ak)k2f1;:::;ngest l"ensemble des éléments qui appartiennent àA1, ouA2, ..., ouAn. Il se noteSn k=1Ak.L"ensemble Sn k=1Ak, est caractérisé par l"équivalence :x2Sn k=1Aksi, et seulement si, il existe au moins unk2 f1;:::;ngtel quex2Ak. Autrement écrit, n k=1A k=A1[A2[:::[An:

BSoientA=f1;2g,B=f2;3;4;5getC=f1;2;6g. On a

A[B[C=f1;2g [ f2;3;4;5g [ f1;2;6g=f1;2;3;4;5;6g.

BSoientA= [1;2[,B= [2;5[etC= [3;6[. On aA[B[C= [1;2[[[2;5[[[3;6[= [1;6[.C. Chesneau8

1 Notions sur les ensembles

Intersection

SoientAetBdeux ensembles. L"intersection deAetBest l"ensemble des éléments communs

àAet àB. Il est notéA\B(prononcer "AinterB").L"ensembleA\Best caractérisé par l"équivalence :x2A\Bsi, et seulement si,x2Aetx2B.

Pour toutAB, on aA\B=A. En particulier, on aA\?=?. BSoientA=f1;2getB= [2;3[. On aA\B=f1;2g \[2;3[=f2g. La partie colorée du diagramme suivant représenteA\B:AB

Ensembles disjoints

Deux ensemblesAetBsont dit disjoints si, et seulement si, on aA\B=?.BSoientA=f1;2getB=f3g. On aA\B=f1;2g \ f3g=?. Par conséquent,AetBsont

disjoints.

Intersection : généralisation

Soientn2Net(Ak)k2f1;:::;ngune famille d"ensembles. La réunion des(Ak)k2f1;:::;ngest l"ensemble des éléments communs àA1, etA2, ..., etAn. Il se noteTn k=1Ak.L"ensemble Tn k=1Akest caractérisé par l"équivalence :x2Tn k=1Aksi, et seulement si, pour tout k2 f1;:::;ng, on ax2Ak. Autrement écrit, n k=1A k=A1\A2\:::\An: BSoientA=f1;2g,B=f2;3;4;5getC= [2;3[. On aA\B\C=f1;2g\f2;3;4;5g\[2;3[=f2g. BSoientA=fnombres impairsg,B=fnombres multiples de3getC= [1;20]. On a

A\B\C=f3;9;15g.C. Chesneau9

1 Notions sur les ensembles

Ensembles disjoints deux à deux

Les ensembles(Ak)k2f1;:::;ngsont dit disjoints deux à deux si, et seulement si, pour tout k2 f1;:::;nget toutl2 f1;:::;ngtel quek6=l, on aAk\Al=?.Règles de calcul

SoientA,BetCtrois ensembles. On a

(A[B)\C= (A\C)[(B\C). (A\B)[C= (A[C)\(B[C). La partie colorée du diagramme suivant représente à la fois(A[B)\Cet(A\C)[(B\C), illustrant ainsi l"égalité du premier point :A BC

Règles de calcul : généralisation

Soientn2N,(Ak)k2f1;:::;ngune famille d"ensembles etBun ensemble. On a (Sn k=1Ak)\B=Sn k=1(Ak\B). (Tn k=1Ak)[B=Tn k=1(Ak[B).

Ensemble des parties

SoitEun ensemble. L"ensemble des parties deEest notéP(E)(prononcer "P deE"). Il est défini par P(E) =fA;AEg:L"ensemble des parties deEest parfois notéP(E)ouP(E). BOn aP(f1;2;3g) =f?;f1g;f2g;f3g;f1;2g;f1;3g;f2;3g;f1;2;3gg.C. Chesneau10

1 Notions sur les ensembles

Partition

SoitEun ensemble. Soientn2Net(Ak)k2f1;:::;ngune famille de parties non vides deE. On dit que(Ak)k2f1;:::;ngforme une partition deEsi, et seulement si, pour toutk2 f1;:::;nget toutl2 f1;:::;ngtel quek6=l, on aAk\Al=?. on aSn k=1Ak=E.BSoientA=f1;2g,B=f3;4;5getC=f6;7g. CommeA\B=?,A\C=?etB\C=?, avecA[B[C=f1;2g[f3;4;5g[f6;7g=f1;2;3;4;5;6;7g, la famille(A;B;C)forme une partition deE=f1;2;3;4;5;6;7g. BSoientA=f1;2getB=f2;3g. La famille(A;B)ne forme pas une partition deE=f1;2;3g carA\B=f2g 6=?. Un exemple graphique de partition est donné ci-dessous :A 1A 4A 2A 3E

Complémentaire

SoientEun ensemble etAest une partie deE. Le complémentaire deAdansEest l"ensemble

des éléments deEqui ne sont pas dansA. Il est notéCEA.L"ensembleCEAest caractérisé par l"équivalence :x2CEAsi, et seulement si,x2Eetx62A.

Lorsqu"il n"y a pas d"ambiguïté surE, le complémentaire deAest notéCA, ouA, ouAc.

Par définition, on aA=A,A\A=?etA[A=E.

BSoientA=f1;2getE=f1;2;6g. On aCEA=f6g.

BSoientA=f1;2getE=R. On aCEA=] 1;1[[]1;2[[]2;1[.C. Chesneau11

1 Notions sur les ensembles

BSoitA=f0g. On aA=R.

La partie colorée du diagramme suivant représenteCEA:AE

Règles de calcul (Lois de Morgan)

SoientAetBdeux ensembles. On a

A[B=A\B.

A\B=A[B.

Lois de Morgan : généralisation

Soientn2Net(Ak)k2f1;:::;ngune famille d"ensembles. On a S n k=1Ak=Tn k=1A k. T n k=1Ak=Sn k=1A k.

Différence

SoientEun ensemble, etAetBdeux parties deE. La différence deAetBest l"ensemble

des éléments communs àAet àB. Il est notéAnB(ouAB) (prononcer "AmoinsB").L"ensembleAnBest caractérisé par l"équivalence :x2AnBsi, et seulement si,x2Aetx62B.

On peut remarquer queAnB=A\B.

BSoientA=f1;2getB=f2;3;4;5g. On aAnB=f1g.

BSoientA=ZetB=] 1;0]. On aAnB=N.

Produit cartésien

SoientEetFdeux ensembles. Le produit cartésien deEetFest l"ensemble de tous les couples, dont la première composante appartient àEet la seconde àF. Il est notéEF (prononcer "EcroixF").C. Chesneau12

1 Notions sur les ensembles

Autrement dit,EFest défini parEF=f(x;y);x2E; y2Fg.

On noteEE=E2. En particulier,R2=RRetN2=NN.

BOn af0;1g f1;2;3g=f(0;1);(0;2);(0;3);(1;1);(1;2);(1;3)g. La partie colorée du diagramme suivant représenteABavecA= [1;4]etB= [2;4]:xy 1 12 23
34
45

5AB[)A[)

B

Produit cartésien : généralisation

Soientn2Net(Ek)k2f1;:::;ngune famille denensembles. Le produit cartésien de (Ek)k2f1;:::;ngest notéE1:::En. Il est défini par E

1:::En=f(x1;:::;xn);pour toutk2 f1;:::;ng;on axk2Ekg:On note parfois

E

1:::En=nY

k=1E k ouE1:::En=k2f1;:::;ngEk. En particulier, si tous les ensembles sont égaux, alors on pose E

1:::E1|{z}

nensembles=En1.C. Chesneau13

1 Notions sur les ensembles

1.3 Introduction au dénombrement

Ensemble fini

On dit qu"un ensemble est fini s"il est vide ou s"il contient un nombre fini d"éléments distincts deux

à deux.

Dénombrer

Dénombrer un ensemble fini non vide consiste à déterminer le nombre de ses éléments.

Ensemble dénombrable

On dit qu"un ensemble est dénombrable si on peut indexer ses éléments par les entiers naturels.

Cardinal

SoitEun ensemble fini. Le nombre des éléments deEest appelé cardinal deE. Il est noté Card(E).BSoientA=;,B=f1;2;3;4;5;8;9getC=fmois dans une annéeg. On aCard(A) = 0,

Card(B) = 7etCard(C) = 12.

Formule du crible

SoientAetBdeux ensembles finis. On a

Card(A[B) = Card(A) + Card(B)Card(A\B):En particulier, siAetBsont disjoints, alorsCard(A[B) = Card(A) + Card(B).

BSoientAetBdeux ensembles tels queCard(A) = 4,Card(B) = 3etCard(A\B) = 1. La formule du crible impliqueCard(A[B) = Card(A) + Card(B)Card(A\B) = 4 + 31 = 6.

Propriétés élémentaires

SoitEun ensemble. SoientAetBdeux parties deE. On a CardA = Card(E)Card(A),

Card(A) = Card(A\B) + CardA\B

Card(AnB) = Card(A)Card(A\B),

siAB, alorsCard(A)Card(B).C. Chesneau14

1 Notions sur les ensembles

Dans un cadre concret, pour rédiger la réponse d"un problème de dénombrement, l"utilisation des

cardinaux n"est pas obligatoire; cela peut se faire par le biais de phrases. BDans un lot de15produits, on extrait au hasard, successivement et avec remise2produits. On

suppose que le nombre de possibilités pour tirer2produits est225, et que le nombre de possibilités pour

ne tirer aucun produit défectueux est144. On cherche à calculer le nombre de possibilités pour tirer

au moins un produit défectueux. Le nombre de possibilités pour tirer au moins un produit défectueux

est égal au nombre de possibilités pour tirer2produits moins le nombre de possibilités pour ne tirer

aucun produit défectueux, donc225144 = 81. Raisonnement utilisant les cardinaux :on poseA={tirages avec remise de2produits contenant au

moins un produit défectueux}. On cherche à calculerCard(A). Comme la définition de l"ensembleA

fait apparaître "au moins un", il est arrangeant de considérer son complémentaire. On aA= {tirages

avec remise de2produits ne contenant aucun produit défectueux}=CEAoùE={tirages avec remise de2produits}. Par conséquent, on aCard(A) = Card(E)CardA = 225144 = 81.

Cardinal d"une partition d"un ensemble

SoientEun ensemble fini,n2Net(Ak)k2f1;:::;ngune partition deE. On a

Card(E) =nX

k=1Card(Ak):Principe additif

On considère une situation qui nous amène à faire un choix parmincas différents et exclusifs :

le cas1, ou le cas2, ..., ou le casn. Si, pour toutk2 f1;:::;ng, il y aukpossibilités pour lek-ème cas, alors le nombre total de possibilités est n X k=1u

k:BSur un étalage, il y a85fruits dont50pommes de la variétéDelbard Jubilée,30pommes de la

variétéCox Orange Pipinet5oranges. Il y a donc50 + 30 = 80façons différentes pour choisir une

pomme.C. Chesneau15

1 Notions sur les ensembles

Cardinal et produit cartésien

SoientEetFdeux ensembles finis. On a

Card(EF) = Card(E)Card(F):Cardinal et produit cartésien : généralisation Soientk2Net(Ei)i2f1;:::;kgune famille dekensembles finis. On a Card kY i=1E i! =kY i=1Card(Ei): En particulier, on aCard(Ek) = (Card(E))k.Principe multiplicatif On considère une situation conjuguantkétapes : une étape1, et une étape2, ..., et une étapek. Si, pour touti2 f1;:::;kg, il y anipossibilités pour lak-ème étape, alors le nombre total de possibilités est kY i=1n

i:BOn le lance3fois un dé à6faces et on s"intéresse, à chaque lancer, au numéro affiché. Combien

y-a-t"il de possibilités? Il y a6possibilités pour le premier lancer,6pour le deuxième, et6pour le

troisième. Par le principe multiplicatif, le nombre total de possibilités est666 = 216. BUn code secret se compose de deux symboles : le premier doit être choisi dans la grilleAet le deuxième, dans la grilleB.

Grille A| } ~ gFfGrille B

On cherche à calculer le nombre de codes différents. Il y a10possibilités pour le premier symbole,

et3pour le deuxième. Par le principe multiplicatif, le nombre de codes différents est310 = 30.C. Chesneau16

1 Notions sur les ensembles

k-liste SoitEun ensemble fini. Unek-liste deEest une liste dekéléments deE. Celle-ci est de la forme (e1;:::;ek);

où, pour touti2 f1;:::;kg,ei2E.Les éléments d"unek-liste ne sont pas nécessairement distincts deux à deux; ils peuvent apparaître

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