[PDF] TS. Contrôle 5 -Correction 1 ( 5 points ) On se place dans lespace

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TS. Contrôle 5 -Correction|

1( 5 points )On se place dans l"espace muni d"un repère orthonormé.

On considère les pointsA(0 ; 4 ; 1),B(1 ; 3 ; 0),C(2 ;¡1 ;¡2)etD(7 ;¡1 ; 4).

1.Démontrer que les pointsA,BetCne sont pas alignés.

On a

¡¡!AB0

@1 ¡1

¡11

A et¡¡!AC0 @2 ¡5

¡31

A . Or :12

6AE¡1¡5.

Les coordonnées des vecteurs

¡¡!AB et¡¡!AC ne sont pas proportionnelles.

Les vecteurs

¡¡!AB et¡¡!AC ne sont pas colinéaires : les points ne sont pas alignés2.Soit¢la droite passant par le pointDet de vecteur directeur¡!u0

@2 ¡1 31
A a.Démontrer que la droite¢est orthogonale au plan(ABC).

On a¡¡!AB¢¡!uAE1£2Å(¡1)£(¡1)Å(¡1)£3AE0 et¡¡!AC¢¡!uAE2£2Å(¡5)£(¡1)Å(¡3)£3AE0.

Les vecteurs¡¡!AB et¡¡!AC sont orthogonaux à¡!u.

La droite¢est orthogonale à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC): elle est orthogonale au plan (ABC)b.En déduire une équation cartésienne du plan(ABC).

De ce qui précède, on déduit que¡!uest un vecteur normal à (ABC). Une équation cartésienne de (ABC) est de la forme 2x¡yÅ3zÅdAE0. Comme le point A appartient au plan (ABC), ses coordonnées vérifient : On en déduit une équation cartésienne du plan ( ABC):2 x¡yÅ3zÅ1AE0c.Déterminer une représentation paramétrique de la droite¢. Comme la droite¢a pour vecteur directeur¡!u0 @2 ¡1 31
A et contient le point D(7 ;¡1 ; 4), une représentation paramétrique de¢est,¢:8 :xAE7Å2t yAE ¡1¡t

zAE4Å3t,t2?d.Déterminer les coordonnées du pointH, intersection de la droite¢et du plan(ABC).

Les coordonnées de HAE¢\(ABC) sont les solutions du système :8>>>< >>:xAE2tÅ7 yAE ¡t¡1 zAE3tÅ4

2x¡yÅ3zÅ1AE0,t2?()8

>>:xAE2tÅ7 yAE ¡t¡1 zAE3tÅ4 8 >>:xAE2tÅ7 yAE ¡t¡1 zAE3tÅ4 tAE ¡2()8 >>:xAE3 yAE1 zAE ¡2 tAE ¡2

Le point H a pour coordonnées

H(3 ; 1 ; ¡2)3.SoitP1le plan d"équation xÅyÅzAE0etP2le plan d"équation xÅ4yÅ2AE0.

a.Démontrer que les plansP1etP2sont sécants. Le planP1d"équationxÅyÅzAE0 a pour vecteur normal¡!n10 @1 1 11 A Le planP2d"équationxÅ4yÅ2AE0 a pour vecteur normal¡!n20 @1 4 01 A

Les coordonnées des vecteurs

¡!n1et¡!n2ne sont pas proportionnelles.

Les vecteurs

¡!n1et¡!n2ne sont pas colinéaires. Les plans ne sont pas parallèles; ils sont sécants

b.Vérifier que la droite d, intersection des plansP1etP2, a pour représentation paramétrique :8<

:xAE ¡4t¡2 yAEt zAE3tÅ2,t2?.

Considérons le système :

8< :xÅyÅzAE0 xÅ4yÅ2AE0 yAEt,t2?()8 :zAE ¡x¡y xAE ¡4t¡20 yAEt()8 :zAE3tÅ2 xAE ¡4t¡20 yAEt

On en déduit que la droited, intersection des plansP1etP2, a pour représentation paramétrique :

d:8 :xAE ¡4t¡2 yAEt zAE3tÅ2,t2?c.La droite d et le plan(ABC)sont-ils sécants ou parallèles?

On déduit de la représentation paramétrique précédente que la droiteda pour vecteur directeur¡!v0

@¡4 1 31
A

Le plan (ABC) a pour vecteur normal

¡!u0

@2 ¡1 31
A

u¢¡!vAE0.¡!uet¡!vsont orthogonaux : la droitedet le plan (ABC) sont parallèles.2( 5 points ) SABCDest une pyramide à base carréeABCD. Le pointOest le centre deABCD.

Jest le milieu de[SO]. Le pointKest tel que¡¡!SKAE13

¡¡!SD.

1.Justifier queS,B,D,O,JetKsont coplanaires.

²O2(BD)½(SBD);

²J2(SO)½(SBD);

²K2(SD)½(SBD).

S,B,D,O,J et K sont coplanaires dans le plan (SBD)2.a .Démontrer que¡¡!BKAE¡¡!SBÅ13

¡¡!SD.

D"après la relation de Chasles :

¡¡!SDb.Justifier que¡¡!SOAE12

¡!SBÅ¡¡!SD´

et en déduire que

¡!BJAE¡34

¡!SBÅ14

¡¡!SD.

O est le milieu de

[BD], donc d"après la règle du parallélogramme

¡¡!SOAE12

¡!SBÅ¡¡!SD´¡!

¡¡!SOAE¡¡!SBÅ14

¡!SBÅ¡¡!SD´

AE¡34

¡!SBÅ14

¡¡!SD

c.Montrer que les pointsB,KetJsont alignés.

¡!BJAE¡34

¡!SBÅ14

¡¡!SDAE34

¡¡!SBÅ13

AE34 ¡¡!BKLes points B, K et J sont donc alignés. 3.

P ositionsr elativesd epla ns.

a.Déterminer l"intersection des plans(BJC)et(ABC).(BJC)\(ABC)AE(BC)b.Déterminer l"intersection des plans(BJC)et(SCD).(BJC)\(SCD)AE(CK)En effet, K2(SD)½(SCD) et K2(BJ)½(BJC)

c.Déterminer l"intersection des plans(BJC)et(SAD).(BJC)\(SAD)AE(KL) où LAE(SA)\(CJ)d.Sur la figure ci-jointe, construire, sans justification, la section de la pyramideSABCDpar le plan(BJC).

D"après lethéorème du toit, comme (AD)(BC) on a,(K L)(BC)avec (KL)AE(BJC)\(SAD)

3( 4 points )Les quatre questions sont indépendantes.

non justifiée ne sera pas prise en compte. Dans l"espace muni d"un repère orthonormé, on considère -les pointsA(12 ; 0 ; 0),B(0 ;¡15 ; 0),C(0 ; 0 ; 20),D(2 ; 7 ;¡6),E(7 ; 3 ;¡3); -le planPd"équation cartésienne :2xÅy¡2z¡5AE0.

Affirmation 1Une équation cartésienne du plan parallèle àPet passant par le pointAest :2xÅyÅ2z¡24AE0.

Un vecteur normal au planPa pour coordonnées0

@2 1

¡21

A Un vecteur normal au plan dont une équation est 2xÅyÅ2z¡24AE0 a pour coordonnées0 @2 1 21
A ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires donc les plans ne sont pas parallèles. Affi rmationf ausseAffirmation 2Une représentation paramétrique de la droite(AC)est :8 :xAE9¡3t yAE0 zAE5Å5t,t2R.

PourtAE¡1 on trouve les coordonnées de A et pourtAE3 celles de C.Affi rmationvr aieAffirmation 3La droite(DE)et le planPont au moins un point commun.

La droite (DE) a pour vecteur directeur

¡¡!DE0

@5 ¡4 31
A et on a vu que¡!u0 @2 1

¡21

A est un vecteur normal au planP. Or

tiondeP(4Å7Å12¡5AE0estuneégalitéfausse),ladroite(DE)eststrictementparallèleauplanP.Affi rmationf ausseAffirmation 4La droite(DE)est orthogonale au plan(ABC).

DE¢¡¡!ABAE0

@5 ¡4 31
A ¢0 @¡12

¡15

01 A AE¡60Å60Å0AE0 et¡¡!DE¢¡¡!ACAE0 @5 ¡4 31
A ¢0 @¡12 0 201
A

AE¡60Å0Å60AE0.A ffirmationvr aie4( 6 points )Description de la figure dans l"espace muni du repère orthonormé³

A ;¡¡!AB ;¡¡!AD ;¡¡!AE´

ABCDEFGH désigne un cube de côté 1.

On appellePle plan (AFH).

Le point I est le milieu du segment [AE],

le point J est le milieu du segment [BC], le point K est le milieu du segment [HF], le point L est le point d"intersection de la droite (EC) et du planP. Bonus :Tracer la section du cube par le plan(EIJ).

Ceci est un questionnaire à choix multiples (QCM). Pour chacune des questions, une seule des quatre affirmations est

exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune

justification n"est demandée. Une réponse exacte rapporte un point, une réponse fausse ou une absence de réponse ne

rapporte aucun point, il en est de même dans le cas où plusieurs réponses sont données pour une même question.

1. a .Le produit scalaire¡!AF¢¡¡!BGest égal à0. b.Le produit scalaire¡!AF¢¡¡!BGest égal à(¡1). c.Le produit scalaire¡!AF¢¡¡!BG est égal à 1 Dans le repère mentionné dans le sujet, on a

¡!AF0

@1 0 11 A et¡¡!BG0 @0 1 11 A , d"où¡!AF¢¡¡!BGAE1£0Å0£1Å1£1AE1. d.Le produit scalaire¡!AF¢¡¡!BGest égal à2.

2.Dans le repère orthonormé³

A ;¡¡!AB ;¡¡!AD ;¡¡!AE´

a.Le planPa pour équation cartésienne : xÅyÅz¡1AE0. b.Le planPa pour équation cartésienne : x¡yÅzAE0. c.Le planPa pour équation cartésienne :¡xÅyÅzAE0.

d.Le planPa pour équation cartésienne :xÅy¡zAE0On le vérifie en injectant les coordonnées des points A, F et H dans l"équationxÅy¡zAE0.

3. a .

¡¡!EGest un vecteur normal au planP.

b. ¡!EL est un vecteur normal au planPUn vecteur normal dePest¡!n0 @1 1

¡11

A , or¡¡!EC0 @1 1

¡11

A . Par conséquent¡¡!EC est normal àP, et comme ¡!EL et¡¡!EC sont colinéaires,¡!EL est de ce fait aussi normal àP. c.

¡!IJest un vecteur normal au planP.

d.

¡!DIest un vecteur normal au planP.

4. a .

¡!ALAE12

¡¡!AHÅ12

¡!AF.

b.

¡!ALAE13

¡¡!AK.

c.

¡!IDAE12

¡!IJ.

d.

¡!ALAE13

¡¡!ABÅ13

¡¡!ADÅ23

¡¡!AEOna

¡¡!EC0

@1 1

¡11

A :xAEt yAEt(t2?) zAE1¡t.

Le point L a donc pour coordonnées L(t,t,1¡t), et comme L2Palors :tÅt¡(1¡t)AE0 d"où l"on tiretAE13

c"est-à-dire L¡13 ,13 ,13

¢, d"où le résultat.

5.Une représentation paramétrique du plan(P)d"équation x¡2yÅ3zÅ5AE0avec t et t0des paramètres réels, est :

a. 8 :xAEt yAE1¡2t zAE ¡1Å3tb.8 :xAEtÅ2t0 yAE1¡tÅt0 zAE ¡1¡tc. 8 :xAEtÅt0 yAE1¡t¡2t0 zAE1¡t¡3t0d.8 :xAE1Å2tÅt0 yAE1¡2tÅ2t0 zAE ¡1¡t0 8< :xAEtÅ2t0 yAE1¡tÅt0

zAE ¡1¡tpasseparlepointA(0;1;¡1)quiestélémentde(P)car0¡2Å3£(¡1)Å5AE0etapourvecteurs

directeurs

¡!u0

@1 ¡1

¡11

A et¡!v0 @2 1 01 A

. Or¡!n¢¡!uAE0 et¡!n¢¡!vAE0 donc¡!nnormal à deux vecteurs non colinéaires du

plan est normal au plan. On a bien une représentation paramétrique du plan (P).

6.Le plan(S)a pour représentation paramétrique8

:xAE ¡2ÅkÅ2k0 yAE ¡k¡2k0aveck2?etk02?. zAE ¡1¡kÅ3k0 a.Les plans(P)et(S)sont parallèles. b.La droite (¢) de représentation8 :xAE¸ yAE ¡2¡¸

zAE ¡3¡¸avec¸2?, est l"intersection des plans (P) et (S)On vérifie que la droite¢est contenue dans chacun des deux plans (qui ne sont pas confondus par ailleurs).

²Pour tout¸2?,¸¡2£(¡2¡¸)Å3£(¡3¡¸)Å5AE¸Å4Å2¸¡9¡3¸Å5AE0 prouve (¢)½(P).

²SoitQlepointde(¢)deparamètre¸AE0:Q(0;¡2;¡3)etsoitRlepointdeparamètre¸AE¡2:R(¡2; 0;¡1).

On reconnaît le point de (S) de paramètres (kAE0,k0AE0) donc R2(S).

Montrons que Q2(S).

Résolvons le système8

:0AE ¡2ÅkÅ2k0

¡2AE ¡k¡2k0

¡3AE ¡1¡kÅ3k0

En additionnant les lignes (1) et (3) on obtient 5k0AE0 donck0AE0 et en remplaçant dans les trois équations

on obtient bien une seule valeur dekAE2. Cela prouve que Q2(P) pour (kAE2,k0AE0).

Conclusion : les points Q et R sont dans (S), donc la droite (¢)AE(QR) est entièrement contenue dans (S).

c.Le pointM(¡1 ; 2 ; 3)appartient à l"intersection des plans(P)et(S). d.Les plans(P)et(S)sont perpendiculaires.

(Remarque: Les réponsesa.etc.pouvaient être éliminées de manière directe, mais la réponseb.exclut aussi la

réponsed.).quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45

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