[PDF] Exercices dioptres sphériques et lentilles

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1 exercices, dioptres sphériques et lentilles

Exercices, dioptres sphériques et lentilles

1. Lentille demi-boule

Considérons une lentille demi-boule de centre O, de sommet S, de rayon ROS5cm==, et d'indice N1,5=, plongée dans l'air d'indice n 1=.

1.1. Dans l'approximation de Gauss, déterminez la position du foyer image F

′ de cette lentille.

1.2. La lentille est éclairée par des rayons parallèles à l'axe optique OS, à la distance

R 2 de celui-ci.

Le foyer image G′ de ces rayons ne coïncide plus avec F′. Déterminez l'aberration de sphéricité

GF′′.

solution

2. Lentille boule

On rappelle la relation de conjugaison et l'expression du grandissement du dioptre sphérique avec origine au centre dans l'approximation de Gauss, pour le couple de point BB' : nn'nn'

CB' CB CS--=, CB'

CBγ=.

S est le sommet du dioptre, C son centre. n est l'indice du milieu à gauche du dioptre et n' l'indice à

droite. La lumière se propage de la gauche vers la droite.

La lentille étudiée est une boule de verre de rayon R et d'indice N, plongé dans l'air d'indice égale à 1.

On veut montrer dans l'approximation de Gauss qu'elle est équivalente à une lentille mince.

2.1. Déterminez la relation de conjugaison de cette lentille boule et en déduire sa distance focale

image f' en fonction de R et N.

2.2. Donnez en la démontrant, l'expression du grandissement γ de cette lentille.

On veut maintenant retrouver l'expression de f' directement à partir des lois de Descartes, toujours

dans l'approximation de Gauss. On suppose donc H et 2

S confondus et on identifie la tangente et le

sinus d'un angle à cet angle. 1 S 2 SO A A'NO S N exercices, dioptres sphériques et lentilles 2

2.3. Déterminer les angles du triangle OJF' en fonction de N et r.

2.4. Déterminer la distance HF' en fonction de R et N, puis la distance focale

f' OF'= toujours en fonction de R et N. Comparer avec le résultat obtenu à la question 2.1.. solution

3. Constructions géométriques

Construire les images des objets AB en utilisant la convention suivante : traits pleins pour les rayons

lumineux réels, traits pointillés pour les rayons lumineux virtuels. La lumière se propage de la gauche

vers la droite. solution

4. Lentille mince convergente

4.1. Formation d'une image réelle.

L'objet AB est situé à gauche du foyer objet.

- Quelles sont les caractéristiques de l'image A'B' ? Connaissez-vous une application courante d'un tel

dispositif ? - Comment obtenir une image plus proche de la lentille ? Plus grande ? - La distance objet/écran D étant fixée, comment doit-on choisir la distance focale f ′ de la lentille pour que l'image de l'objet soit nette sur l'écran ? Pour f ′ donnée, combien y a-t-il de positions possibles pour la lentille ?

4.2. Distance focale.

On obtient l'image A' d'un point A par un dioptre sphérique de sommet S et de centre C, séparant deux

milieux d'indices n (à gauche) et n' (à droite) par la relation : n' n n' n

SA' SA SC--=.

Une lentille mince convergente est formée de l'association de deux dioptres sphériques de rayons

1 R et 2

R . En utilisant la relation précédente, et le fait que la lentille soit mince, trouver l'expression de la

distance focale f ′ en fonction de l'indice N de la lentille et des rayons 1 R et 2 R.

4.3. Loupe.

Rappeler le principe de fonctionnement d'une loupe. En déduire comment reconnaître facilement une

lentille convergente. Définir le grossissement et la puissance de la loupe. solution

5. Association de deux lentilles

5.1. Association de deux lentilles convergente.

Approche géométrique

F' i r r i OI J H

OA B F F'

F'AB F O

3 exercices, dioptres sphériques et lentilles

- Construire géométriquement l'image A'B' de l'objet AB ( de hauteur l = 1 cm et placé à 4 cm devant 1 O ) à travers le système optique décrit sur la Figure, où 12 f' 2f' 8cm== et 12

OO 4cm=.

Utilisation des formules de conjugaison

- Reprendre la même démarche mais par le calcul.

Grandissement du montage

- Exprimer le grandissement de ce montage.

5.2. Association d'une lentille divergente et d'une lentille convergente accolée

Approche géométrique

- Construire géométriquement l'image A'B' de l'objet AB (placé à 16 cm devant 1

O ) à travers le

système optique décrit sur la figure, où 12 f' 2f' 8cm=- =- et 12

OO 0cm=.

Utilisation des formules de conjugaison

- Reprendre la même démarche mais par le calcul.

Grandissement du montage

- Exprimer le grandissement de ce montage. solution

6. Aberrations chromatiques, principe d'un achromat

On dispose de deux verres dont les indices sont donnés par le tableau suivant pour trois longueurs

d'ondes particulières. Dans le crown B. 1864, on taille une lentille mince biconvexe de diamètre D = 8 cm. Les rayons de courbures des faces sont 1

R30cm= et

1

R' 1,8m=.

6.1. Calculer (à l'aide du résultat 4.2.) la distance focale

1 f′ de cette lentille pour chacune des trois longueurs d'ondes du tableau.

6.2. Un faisceau de lumière blanche, cylindrique, parallèle à l'axe optique de la lentille, recouvre toute

la face d'entrée. Qu'observe-t-on sur un écran placé au voisinage du foyer image "moyen" de la

lentille ? Evaluer la dimension minimale de la tache observée. λ Crown B. 1864 Flint C. 8132

656,3 nm 1,51552 1,67482

587,6 nm 1,51800 1,68100

486,1 nm 1,52355 1,69607

1 O 2

OA B 21

F'F' 1 L 2 L 1 O 2

OA B 1

F' 2 F' 2 F 1 L 2 L exercices, dioptres sphériques et lentilles 4

6.3. On veut réaliser un doublet achromatique en accolant à

1

L une lentille mince

2

L réalisée en flint

C. 8132, de sorte que la distance focale du doublet ainsi constitué soit la même pour les deux longueurs d'onde extrêmes du tableau. Comment doit-on choisir 2

L ? Calculer sa distance focale ainsi

que celle du doublet.

6.4. Les faces en regard des deux lentilles ont le même rayon de courbure, soit 1,8 m. Calculer le

rayon de courbure de l'autre face de 2 L.

Solution

solutions S 1

1.1. Dans l'approximation de Gauss, la relation de conjugaison d'un dioptre sphérique avec origine au

sommet s'écrit : ()nnnn

SA SA SC′

S est le sommet du dioptre, C son centre. n est l'indice du milieu à gauche du dioptre et n' l'indice à

droite. La lumière se propage de la gauche vers la droite. Dans notre cas, A est à l'infini. On en déduit :

1SF RN1′=-

et :

NOF RN1′=-.

Application :

OF 15cm′=.

1.2.

Dans le triangle OIH :

HItaniOH=.

Dans le triangle G'HI :

HItan r iHG-=′.

r-ir i i H OSG'I R 2

5 exercices, dioptres sphériques et lentilles

Donc :

HI HIOG OH HGtani tan r i′′=+ = +-.

Mais

HI R 2= et :

R1 1OG2 tani tan r i()′=+()()-().

Application : Puisque

sini 1 2= et D'après Descartes sinr nsini=, on déduit i 30=° et r48,59=°.

Puis :

OG 11,8 cm

l'aberration de sphéricité est :

G F OF OG′′ ′ ′=-.

D'où :

GF 3,2cm′′=.

retour énoncé S 2

2.1. L'image

0 A de A par le premier dioptre sphérique de sommet 1

S est donnée par la relation de

conjugaison avec origine au centre : 01

1 N 1N 1N

R

OA OA OS---= =-.

L'image A' de

0 A par le deuxième dioptre sphérique de sommet 2

S est donnée par la relation de

conjugaison avec origine au centre : 02

N1N1N1

R

OA OA OS---==′.

En sommant membres à membres ces deux relations, on obtient la relation de conjugaison d'une lentille mince : ()2N 111 NR

OA OA--=′.

La distance focale image est donc :

NRf2N 1′=-.

2.2. Les grandissements du premier et second dioptre sont respectivement :

01 OA

OAγ= et

2 0 OA

OA′γ=.

Le grandissement de la lentille boule est :

0021
00

ABAB AB

AB A B AB′′ ′′

exercices, dioptres sphériques et lentilles 6 et donc : 0 0

OAOA OA

OA OA OA′′γ= =.

C'est le grandissement d'une lentille mince.

2.3. Dans le triangle OJF' :

() ( )F OJ i 2r 2r i′=π- - π- = -, ()OJF i′=π-, () ()()JF O 2r i i 2i 2r′=π- - - π- = -.

Dans l'approximation de Gauss, i Nr= et donc :

()()FOJ r 2 N′=-, ()OJF Nr′=π-, ()()JF O 2r N 1′=-.

2.4. Dans le triangle OHJ :

JHsin r 2 N r 2 NR

Dans le triangle HF'J :

JHtan2rN 1 2rN 1HF

Par conséquent :

()()Rr 2 N 2r N 1 HF′-= -, et : ()R2 NHF2N 1-′=-.

La distance focale f R HF

′′=+ est :

NRf2N 1′=-.

Ce résultat est identique à celui de la question 2.1.. retour énoncé

7 exercices, dioptres sphériques et lentilles

S 3 retour énoncé S 4

4.1. -L'image est renversée car le grandissement est :

AB OA0AB OA′′ ′

Si A est proche de F,

OA OA′> et 1γ<-. L'image est agrandie. L'application est l'utilisation d'une diapositive.

-Pour obtenir une image plus proche de la lentille, il faut éloigner l'objet. En effet, la relation de

conjugaison est : 111
ppf-=′′ avec pOA,pOA,fOF′′ ′′===.

Si A est loin de la lentille,

1p- est petit, 1p′ est grand donc p′ petit et A' est proche de la lentille.

Inversement si A est proche de la lentille,

1p- est grand et 1p′ petit donc p′ grand et le

grandissement en valeur absolue pp′γ= aussi.

ABF F'OA'B'

A F' B FA'B'O

A B écran

D A' B' O exercices, dioptres sphériques et lentilles 8

Nous pouvons écrire deux relations :

111
ppf-=′′ et p p D′-=.

D et f

′ sont fixés. On a donc deux équations à deux inconnues p et p′. Cherchons p. On élimine p′ et

il reste : 111
pDp f-=′+. On obtient l'équation du second degré en p : 2 pDpDf0′++=.

Son discriminant est :

2

D4Df′Δ= -.

Si 0Δ>, c'est à dire si D 4f′>, il existe deux positions possibles pour la lentille : 2

DD4Dfp2′

Expérimentalement, on mesure l'écart

2 dD4Df′=- entre ces deux positions et on peut ainsi obtenir la valeur de f 22

Ddf4D-′=.

C'est la méthode de Bessel, pour déterminer la distance focale d'une lentille. 4.2.

Pour une lentille mince,

12

SOS≡≡. La position de l'image

0

A de A par le premier dioptre, est

donnée par la relation de conjugaison : 01 N1N1

OA OA OC--=.

La position de l'image A' de

0 A par le deuxième dioptre est donnée par la relation de conjugaison : 2 C 1 C O 2 R 1 R 1 S 2 SN

9 exercices, dioptres sphériques et lentilles

02 1N1N

OA OA OC--=′.

On somme ces deux relations. En notant

11

OC R= et

22

OC R=- il vient :

12

11 11N1RROA OA()

La distance focale est :

12 12

RRfN1R R′=-+.

4.3.

Une loupe est une lentille mince convergente. L'objet AB à observer est placé très près de F, à droite.

L'image virtuelle A'B' est agrandie. C'est un moyen de voir que la lentille est convergente.

Sans loupe, AB est vu sous l'angle

m AB d m

d est la plus petite distance sous laquelle on peut voir l'objet AB net à l'oeil nu. On l'appelle le

punctum proximum.

Avec la loupe, A'B' est vu sous l'angle

′α supérieur à α. A B A' B' F' F AB m d A' B' exercices, dioptres sphériques et lentilles 10

La puissance de la loupe est :

P AB et le grossissement : m GPd retour énoncé S 5 5.1. Pour une construction à l'échelle, on mesure 2

OA 6cm′=.

La position de l'image

0

A de A par la lentille

1

L est donnée par la relation de conjugaison :

110 1
111
f OA OA

On en déduit :

10

OA 8cm=-.

La position de l'image A' de

0

A par la lentille

2

L est donnée par la relation de conjugaison :

2220
111
f OA OA

Sachant que

20

OA 12cm=- on déduit

2

OA 6cm′=.

Le grandissement s'écrit :

0021
00

ABAB AB

AB A B AB′′ ′′

Avec 2

0,5γ=- et

1

2γ=, on obtient :

1 1 O 2 O

A B 21

F'F' 1 L 2 L 1 F 2 FA' B'

11 exercices, dioptres sphériques et lentilles

5.2. On commence par déterminer la position de l'image 0

A de A par la lentille

1

L , puis on construit

l'image A' de 0

A par la lentille

2

L . Les lentilles sont accolées et donc

12

OOO≡≡.

Pour une construction à l'échelle, on mesure

OA 16cm′=.

La position de l'image

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