Exercices de mathématiques
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IREM de Clermont-Ferrand ʹ Groupe Aurillac-LycéeCorrection énoncé :
-exercice 3 : 1 b . A D2 ( ou bien tu mets des pointillés comme dans la version initiale : tu choisis )
Corrections :
Ex 1 commun:
1- 1361 personnes
2- Chômeurs ; C ; 2812 ; FC
3- Hommes au chômage ayant entre 25 et 49 ans ; 816 personnes
4- Femmes de plus de 15 ans au chômage ou personnes au chômage entre 50 et 64 ans. 1633
personnes.5- Hommes de plus de 15 ans au chômage. 1451.
6- Personnes au chômage de plus de 25 ans. 2154 personnes.
Ex 2 commun:
3-
4- [1 ; 2 [
5- [ 0 ; 3 [
6- Disjoints
7- ] -ь ; 4]
8- ] -ь ; 1[ ‰[3 ͖нь ; idem
9- ] -ь ; -1]
Ex 3 commun:
b- -(-1)+ 3 = 4 z -1 donc A D2 c- D1ˆD2 = ^B` avec B ( 2/3 ; 7/3 ), résoudre 2x+1=-x+32- )"
Ex 4 :
Aϯϯϸʹϭϯʹϲ͘
š}]i}µOEW
A~î[tõ~ïtî[=ñ~î[=íø Aò[tò[øtîó=íô[=ñ~ð[î=ð[=íAϭϰϸнϰϰʹϮϮ͘
Ex 5:AEu‰oPµ] W
Aò[=ï=ð~î[=íø
Aï~î[=í=ð~î[=íø
AEu‰oPµ] W
Aïò[øt~ñ[=íø
A~ò[øt~ñ[=íø
š}]i}µOEW
Aî~ñ[tíø=íì[tî
Aî~ñ[tíø=î~ñ[tí
A~ñ[tí~íì[
A~[øtð=~[=îø
A~[tî~[=î=~[=îø
A~[=î~î[
š}]i}µOEW
A~ð[tïøtîñ[ø
A~ð[tïøt~ñ[ø
Aðõt~ñ[=îø
Ex 6:AEu‰oPµ] W
Að=ଷ
š}]i}µOEW
Aସ
࢞ି~s/W[Añ A[X /DE At~DE=/E=D/Aît~ெൈே
Autour des fonctions
Pré-requis :
Notions de fonctions, images, antécédents, fonctions affines, OE }oµš]}v[ 'µš]}v
Fonctions de degré 2, tableaux de signes et de variations.Exercice 8 : Fonctions affines
On considère la fonction affine f définie sur par f() = 2 t 3. Sa représentation graphique est donnée ci-contre.1) a) šOEu]vOEPOE‰Z]'µuvšo[]uPde 2 par f.
L'image de 2 est 1 ou f(2) = 1
b) Retrouver ce résultat par le calcul. f(2) = 2 × 2 t 3 = 1.2) a) Déterminer POE‰Z]'µuvšo[vš vš‰OE(t0,5.
L'antécédent de -0,5 est environ 1,2.
b) Retrouver ce résultat par le calcul.On cherche tel que f() = -0,5
2 t 3 = -0,5 2 = 2,5 = 1,25.
Exercice 9 : Second degré
On considère la fonction f définie sur par f() = ² t 6 t 7. Sa représentation graphique est donnée ci-contre.1) šOEu]vOEPOE‰Z]'µuvšo[]uP‰OE(ñX
f(5) = -12. b) Retrouver ce résultat par le calcul. f(5) = 5² t 6 × 5 t 7 = -12.2) a) Déterminer graphiquement les antécédents de 0 par f .
Les antécédents de 0 sont -1 et 7.
b) Montrer que f() = ( t 3)² t 16 . On a : ( t 3)² t 16 = 2 t 6 + 9 t 16 = ² t 6 t 7.Donc f(x) = (x ʹ 3)² ʹ 16 .
c) Déterminer algébriquement les antécédents de 0.On cherche tel que f() 0
( t 3)² t 16 = 0 ( t 3 t 4)( t 3 + 4) = 0 ( t 7)( + 1) = 0 x = 7 ou x = -1 .3) Donner le tableau de variation de la fonction f.
3 +
4) Donner le tableau de signes de la fonction f.
5) a) Déterminer graphiquement les antécédents de 2 par f.
Les antécédents de 0 sont -1,3 et 7,2.
b) Déterminer algébriquement les antécédents de 2 par f.On cherche tel que f() = 2
( t 3)² t 16 = 2 ( t 3)² t 18 = ( t 3 t 18)( t 3 + 18) = 0 x = 3 + 32 ou x = 3 - 32 .Exercice 10 : Avec algorithme
On considère les deux algorithmes donnés ci-contre.1) Programmer ces deux algorithmes sur votre calculatrice.
Les tester sur quelques nombres.
2) Quelle conjecture pouvez-vous formuler ? La démontrer.
On conjecture que les deux algorithmes sont égaux.Algorithme A : c = 2 t 6 + 8
Algorithme A : c = ( t 3)² t 1 = 2 t 6 + 8
3) Quels nombres doit-on entrer pour obtenir 48
comme résultat ? (Résolution algébrique attendue).On résout c = 48 ( t 3)² t 1 = 48
( t 3)² = 49 t 3 = 7 ou t 3 = -7 = 10 ou = - 4Exercice 11 : Plus corsé
On considère la fonction f définie sur par f() = 3 t ² t 6. Sa représentation graphique est donnée ci-contre.1) šOEu]vOEPOE‰Z]'µuvšo[]uP‰OE(t3
2. f(t3 2) 3 b) Retrouver ce résultat par le calcul. f(t32)= (t3
2)3 t t3
2)² t 6 × t3
2 = -27
8 - 94 + 9 = 27
82) a) Déterminer graphiquement les antécédents de 0 par f.
Les antécédents de 0 sont -2 , 0 et 3.
b) Développer ( t 3)( + 2). ( t 3)( + 2) = 2 t t 6.En déduire une factorisation de la fonction f.
f() = ( 2 t t 6) = x(x ʹ 3)(x + 2). c) Déterminer algébriquement les antécédents de 0. On résout f() = 0 ( t 3)( + 2) = 0 x = 0 ou x = 3 ou x = -2.3) Donner le tableau de variation de la fonction f.
-1,2 1,8 +4) En utilisant la factorisation trouvée en 2 b),
donner le tableau de signes de la fonction f.5) a) Déterminer graphiquement les antécédents de t 6 par f.
Les antécédents de -6 sont -2,5 , 1 et 2,5.
b) Factoriser 3 t ² et t 6 + 6. 3 t ² = ² (x t 1) et t 6 + 6= -6(x t 1) c) Déterminer algébriquement les antécédents de -6. On utilisera les factorisations trouvées en 5 b). f() = - 6 3 t ² t 6 = -6 3 t ² t 6 + 6 = 0 ² (x t 1) -6(x t 1) = 0 (x t 1)(x2 t 6) = 0 (x t 1)(x t 6)(x + 6) = 0Les antécédents de -6 sont 1 ; 6 et - 6.
Exercice 12 : Optimisation
Kv]‰}[µvOEOE u šoíìu€š XPour fabriquer une boîte sans couvercle,
on enlève à chaque coin un carré de côté cm on relève les bords pour obtenir un pavé droit.1) Donner un intervalle pour la variable .
x [ 0; 5 ]2) Déterminer le volume V() de la boîte.
V() = (10 t 2)2 = ( 100 t 40 + 42) = 4x3 ʹ 40x2 + 100x.3) Utiliser la calculatrice pour déterminer le volume maximal et la valeur de x correspondante (On arrondira au dixième).
Le maximum est 74,1 cm3 pour x 1,7 cm.
Livret 2nde vers 1ère S
Equations et inéquations
Exercice 13 :
1- (5x - 1)(x - 9) - (x - 9)(2x - 1) = 0
(x - 9)[5x - 1 - (2x - 1)] = 0 (x - 9)(3x) = 0 d x - 9 = 0 ou 3x = 0 x = 9 x = 0 2- x x x x43 5 13 (3x - 1)x = (3x - 4)(x - 5)3x² - x = 3x² - 19x + 20
18x = 20
d 9 10x 3- 3 5432
25²16
x x x3(16x² - 25) = (4x - 5)(2x - 3)
3(4x + 5)(4x - 5) = (4x - 5)(2x - 3)
(4x - 5)[12x + 15 - (2x - 3)] = 0 (4x - 5)(10x + 18) = 0 d 4x - 5 = 0 ou 10x + 18 = 0 4 5x 5 9x4- 2(x - 1)(x - 3,5) = 4x² - 28x + 49
2(x - 1)(x - 3,5) = (2x - 7)²
2(x - 1)(x - 3,5) = 4(x - 3,5)²
(x - 3,5)[2x - 2 - 4(x - 3,5)] = 0 (x - 3,5)(-2x + 10) = 0 doù x - 3,5 = 0 ou -2x + 10 = 0 x = 3,5 x = 5 5-4)²3(
3² x xx x² - 3x = 4(x - 3)² x(x - 3) = 4(x - 3)² (x - 3)[x - 4(x - 3)] = 0 (x - 3)(-3x + 12) = 0 d x - 3 = 0 ou -3x + 12 = 0 x = 3 x = 4Exercice 14 :
1-a- x² + 2x = (x + 1)² - 1
b- x² + 2x - 8 = 0 (x + 1)² - 1 - 8 = 0 (x + 1)² - 9 = 0 c- (x + 1 + 3)(x + 1 - 3) = 0 (x + 4)(x - 2) = 0 doù x + 4 = 0 ou x - 2 = 0 x = -4 x = 22- x² + 12x + 11 = 0
(x + 6)² - 36 + 11 = 0 (x + 6)² - 25 = 0 (x + 6 + 5)(x + 6 - 5) = 0 (x + 11)(x + 1) = 0 doù x + 11 = 0 ou x + 1 = 0 x = -11 x = -1Exercice 15 : 1-
2- 0 : S = ]- ; 3,5] U [4 ; + [
P(x) < 0 : S = ]3,5 ; 4[
Exercice 16 : 1- (3x + 2)² -
(3x + 2)(-S = ]- ; -2/3] U [1/2 ; + [
2- (2 - x)² > 36
(2 - x)² - 36 > 0 (2 - x + 6)(2 - x - 6) > 0 (-x + 8)(-x - 4) > 0S = ]- ; -4[ U ]8 ; + [
x - 3,5 4 + -3x + 12 + + 0 -7 - 2x + 0 - -
P(x) + 0 - 0 + x - -2/33x + 2 - 0 + +
-2x + 1 + + 0 - P(x) - 0 + 0 - x - -4 8 -x+8 + + 0 - -x - 4 + 0 - - P(x) + 0 - 0 + Exercice 17 : 1- y = 20 - x Erreur dans le sujet ! 2- "DXOLHXGH•2- x 91
x(20 - x) 91 -x² + 20x - 91 0 et (7 - x)(13 - x) 0 x² - 20x + 91 0 -x² + 20x - 91 0 3-S = [ 7 ; 13]
Exercice 20 :
1-0²49
16²
x x0)23)(23(
)4)(4( xx xxS = [-4 ; -3/2[ U ]3/2 ; 4]
x - -4 1,5 + (-2x+3) / (x+4) - + 0 - x - 77 - x + 0 - -
13 - x + + 0 -
P(x) + 0 - 0 + x - -4 - x + 4 - 0 + + + + x 4 - - - - 0 +3 + 2x - - 0 + + +
3 - 2x + + + 0 - -
Q(x) - 0 + || - || + 0 - 2- 321 1 32
d x x x x 032
1 1 32
x x x x
0)32)(1(
)²1()²32( xx xx0)32)(1(
)132)(132( xx xxxx0)32)(1(
)2)(43( xx xxS = [-2 ; -3/2[U]-1; -4/3]
x - -2 -3/2 -1 -4/33x + 4 - - - - 0 +
x + 2 - 0 + + + + x+1 - - - 0 + +2x+3 - - 0 + + +
P(x) + 0 - || + || - 0 +Exercice 21
Voici un schéma tout à fait
tel problème. de calculer la hauteur SG. longueurs BI, puis BG et enfin SG.BA² = BI² + IA²
donc BI² = BA² - IA² donc BI² = 10² - 5²donc BI² = 100 - 25 = 75 donc BI = ξͷ = ξʹͷൈ͵ = 5 ξ͵
Pour la longueur BG, il faut se rappeler que, dans une pyramide régulière, le pied de la hauteur est aussi le centre de gravité de la base. Or, dans un triangle, le centre de gravité est situé au tiers de chacune des trois médianes, en partant de la base, soit encore aux deux tiers de chacune des trois médianes, en partant du sommet. ଷ ൈ 5 ൈ ξ͵ = ଵBS² = BG² + GS²
donc GS² = BS² - BG² donc GS² = 10² - (ଵ donc GS² = 100 - ଵ ଽ ൈ 3 donc GS² = 100 - ଵ cm soit environ 8,2 cm.Exercice 22
BC² = BH² + HC² avec BC = BF + FC = 4 + rBH = 4
HC = HD ± DC = 4 ± r
donc ( 4 + r )² = 4² + ( 4 ± r )² donc 16 + 8 r + r² = 16 + 16 - 8 r + r² donc 16 r = 16Exercice 23
VRAI/FAUX : Dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses en justifiant les réponses.2). La droite [' a pour coefficient directeur de [' est égal à 3, celui de [ est égale à 5. Or 3 5, donc
Exercice 24 :
On remarque que yA yB. Donc (AB) admet une équation de la forme y = mx+ p. Déterminons son coefficient directeur m = ௬ಳି௬ಲ2). Sur Geogebra.
Exercice 25:
ͻݔͳʹൌ͵ݔ͵ ssi ቄݕൌͻݔAinsi le professeur a 36 ans et sa fille 4 ans.
Exercice 26
Questionnaire à Choix Multiple.
1). Réponses b), d). 2). Réponses a), d). 3). Réponse b). 4). Réponse d). 5). Réponse a).
6). Réponse c). 7). Réponse d). 8). Réponses a), b). 9). Réponses a), c). 10). Réponses a), c).
EXERCICE n°27 :
1.Exercice 28 :
1).Exercice 29 : Dans un repère, on donne les points A(-1 ; 3), B(7 ; -1), C(5 ; 0), D(4 ; 2) et E(0 ; 4).
EXERCICE n°30 :
Géométrie : Correction du problème
Problème de géométrie( (
Le but de ce problème est de démontrer de plusieurs manières un même résultat : les points
de concours des droites remarquables du triangle c'est à dire l'orthocentre pour les hauteurs,le centre du cercle circonscrit pour les médiatrices des cotés et le centre de gravité pour les
médianes sont alignés sur une même droite, appelée droite d'Euler. Les trois parties de ce problème sont indépendantes. Les résultats d'une partie ne doivent pas être utilisés dans une autre partie. SoitABCun triangle et soientA?,B?,C?les les milieux respectifs des segments[BC],[CA] et[AB].Partie A : Géométrie plane
1. AB C C? B ?A ?O G HD2. (a) Les trianglesACDetABDsont rectangles respectivement enCetD. En eet,si un
triangle est inscrit dans un cercle et que l'un des côtés du triangle est le diamètre de ce cercle alors le triangle est rectangle or les deux trianglesACDetABDsont inscrits dans le cercleCdont leur côté[AD]est le diamètre, ils sont donc rectangles. (b) La droite(BH)est une hauteur du triangleABCdonc(BH)?(AC)et d'après la question précédente,ACDest rectangle enCdonc(AC)?(CD)donc(CD)et (BH)sont parallèles. On raisonne de même pour démontrer que(CH)et(BD) sont parallèles. On déduit immédiatement que le quadrilatèreCHBDest un parallè-quotesdbs_dbs32.pdfusesText_38[PDF] exercice math sti2d
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