[PDF] Mathématiques Exercices qui introduisent des outils

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Exercices de troisième année

Conseils

1. Pour vérifier que les exercices sont bien compris, il ne sert à rien de

lire ses corrections. Il faut être capable d"expliquer l"exercice, de le refaire juste et sans aucune aide extérieure!

2. Les définitions et les résultats du cours (dont le QuickQuiz) doivent

être connus sur le bout des doigts!

3. Il est important de respecter les points suivants en rédigeant :

?chaque étape importante doit être expliquée en français; ?les résultats utilisés doivent être cités (Pythagore, Viète, etc); ?PO : la rédaction doit être propre (qualité de l"écriture, ortho- graphe); ?AM : l"alignement et la mise en page doivent être corrects (bonne lisibilité, exercice non dispersé sur plusieurs pages); ?Rm : la syntaxe mathématique doit rigoureusement être respectée.

Nomenclature

?Exercices élémentaires : doivent pouvoir être faits sans aucune diffi- culté. ♥Objectifs de base qu"il faut maîtriser en 3 minutes. Ils seront testés dans lescontrôles de devoirs. Un générateur aléatoire de contrôles de devoirs est disponible sur https://www.vive-les-maths.net/ ♦Exercices qui introduisent des outils mathématiques utiles pour ré- soudre des exercices de réflexion. Leurs résolutions utilise principale- ment des objectifs de base. ?Exercices de réflexion : nécessitent de maîtriser les objectifs de base et les outils, mais aussi de trouver une stratégie afin de pouvoir les résoudre. Ces exercices servant de révision pour les TÉs, ilest suggéré d"indiquer ceux qui sont terminés en cochant la case ♠Exercices de compléments théoriques : à considérer comme faisant partie du cours et à réviser en tant que tel!

Table des matières

Thèmes des exercices de troisième année

3.1 Probabilités : permutations et technique des anagrammes . . . . . . . . . . . 1

3.2 Combinatoire : arrangements et combinaisons . . . . . . . . .. . . . . . . . . 2

3.3 Probabilités : vocabulaire et calculs élémentaires . . .. . . . . . . . . . . . . 4

3.4 Probabilités : probabilités conditionnelles . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 5

3.5 Probabilités : événements indépendants . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 5

3.6 Probabilités : arbre de probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 6

3.7 Probabilités : exercices préparatoires . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 7

3.8 Probabilités : problèmes de probabilité . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 8

3.9 Analyse : primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 13

3.10 Analyse : intégrales et théorème fondamental de l"analyse . . . . . . . . . . . 14

3.11 Analyse : intégrales par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 14

3.12 Analyse : intégrales par substitution . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 15

3.13 Analyse : graphe d"une primitive d"une fonction . . . . . .. . . . . . . . . . . 16

3.14 Analyse : boîte à outils pour les intégrales . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 17

3.15 Analyse : problèmes d"analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 18

3.16 Analyse : deux autres méthodes d"intégration . . . . . . . .. . . . . . . . . . 23

3.17 Analyse : recherche de stratégies pour les intégrales .. . . . . . . . . . . . . . 23

Bibliographie24

i

Cours de Mathématiques

Maths troisième année : exercices MATLycée cantonal de Porrentruy

3.1 Probabilités : permutations et technique des anagrammes

Cet objectif de base développe les compétences qui permettent de calculer des probabilités en

utilisant les formules de permutations (du chapitre "combinatoire»). Le nombre de permutations dend"objets distincts estn!

Le motmathsa5! = 120anagrammes.

Le nombre de permutations demtypes d"objets dont les multiplicités sontn1,...,nmest (n

1+···+nm)!

n1!···nm! Le motmississippia(1 + 4 + 4 + 2)!1! 4! 4! 2!=11!1!4!4!2!= 34650anagrammes. ♥Exercice 273 : calcul de probabilité à l"aide des anagrammes(5 minutes)

Activer

OB34On considère un dé bien équilibré dont les six faces sont numérotées de 1 à6.

On lance ce dé5fois. Calculer la probabilité des événements suivants. A: les jets de dés montrent tous cinq fois 1 ou 2.

B: les jets de dés montrent exactement :

deux fois 1 ou 2, et deux fois 3 ♥Exercice 274 : calcul de probabilité à l"aide des anagrammes(5 minutes) On considère un dé bien équilibré dont les dix faces sont numérotées de 1 à10. On lance ce dé4fois. Calculer la probabilité des événements suivants. A: les jets de dés montrent tous quatre fois un nombre pair.

B: les jets de dés montrent exactement :

deux fois un nombre pair, et une fois un nombre premier impair ♥Exercice 275 : calcul de probabilité à l"aide des anagrammes(5 minutes) Une urne contient dix boules dont exactement : six rouges et trois bleues. On tire5boulesavec remisede l"urne. Calculer la probabilité des événements suivants.

A: Les boules sont toutes boules rouges.

B: on a tiré exactement :

deux boules rouges, et deux boules bleues ♥Exercice 276 : calcul de probabilité à l"aide des anagrammes(5 minutes) Une urne contient onze boules dont exactement : six vertes etdeux bleues. On tire6boulessans remisede l"urne. Calculer la probabilité des événements suivants.

A: Les boules sont toutes boules vertes.

B: on a tiré exactement :

trois boules vertes, et deux boules bleues

Version 5.050 page 1 S. Perret

Lycée cantonal de Porrentruy

Maths troisième année : exercices MATCours de Mathématiques

3.2 Combinatoire : arrangements et combinaisons

Ces notions qui suivent sont déduites des formules de permutations.

Le nombre d"arrangements sans répétition

denobjets priskàkest égal àAnk=n!(n-k)!

Le nombre d"arrangements avec répétition

denobjets priskàkest égal àAnk=nk

Le nombre decombinaisons sans répétition

denobjets priskàkest égal àCnk=n!k!(n-k)!

Le nombre decombinaisons avec répétition

denobjets priskàkest égal àCnk=(n+k-1)!k!(n-1)! Les exercices qui suivent utilisent les permutations, les arrangements et les combinaisons, mais il faudra souvent réussir à combiner ces formules entre-elles pour trouver leurs réponses. ?Exercice 277 : utilisation de la calculatrice ou du cerveau

Activer

?Exercice 278 : utilisation directe d"une formule de combinatoire Les symboles de l"écriture braille sont formés d"un assemblage de six points en relief. Déterminer le nombre maximal de symboles que l"on peut ainsifabriquer. ?Exercice 279 : utilisation directe d"une formule de combinatoire On lance5dés à6faces. Combien de possibilités différentes peut-on dénombrer... a) ...si l"ordre compte? b) ...si l"ordre ne compte pas? ?Exercice 280(temps estimé pour les TEs : 5 minutes) De combien de manières 5 hommes et 4 femmes peuvent-ils s"asseoir sur un banc, si chaque femme doit être assise entre 2 hommes? ?Exercice 281(temps estimé pour les TEs : 10 minutes) Il y a quatre clous dans un mur et on dispose de 12 tableaux. L"artiste pense que l"ordre de

présentation des tableaux est important. Déterminer de combien de manières on peut décorer

ce mur en ...

1. ...accrochant un tableau à chaque clou;

2. ...n"employant pas forcément tous les clous.

?Exercice 282(temps estimé pour les TEs : 5 minutes) On distribue les 36 cartes du jeu de jass à 4 joueurs. Combien ya-t-il de donnes possibles?

S. Perret page 2 Version 5.050

Cours de Mathématiques

Maths troisième année : exercices MATLycée cantonal de Porrentruy ?Exercice 283(temps estimé pour les TEs : 10 minutes) Déterminer le nombre de façons de ranger1livre de maths,4livres de français,3livres d"italien et2livres d"anglais sachant que

1. les livres sont tous différents;

2. les livres de la même matière sont exactement les mêmes;

3. les livres de chaque matière doivent rester ensemble;

4. les livres de chaque matière sont numérotés et qu"ils doivent rester ensemble dans l"ordre.

5. les livres de chaque matière sont numérotés et qu"ils doivent rester ensemble dans l"ordre,

croissant ou décroissant, indépendamment de chaque matière. ?Exercice 284(temps estimé pour les TEs : 10 minutes)

Triominosest un jeu créé par Allan Cowen lorsqu"il était adolescent. Il ressemble àDomino

(http://www.google.ch/patents/US331652) créé en 1885 par Frank H. Richards. Le jeu consiste à prendre des pièces en forme de triangles dont les sommets portent des

numéros allant de 0 à 5 et de les disposer de manière à ce que lesarêtes adjacentes aient les

mêmes numéros. La version à 5 joueurs possède56pièces sous la contrainte : les 3 numéros

ne décroissent pas dans le sens des aiguilles d"une montre. Chaque pièce est unique. La version à 6 joueurs, nommée Triominos excel, possède76pièces sans contrainte.

1. Déterminer si la contrainte énoncée plus haut permet de fabriquer plus de56pièces.

2. Déterminer si, en enlevant cette contrainte, on peut fabriquer plus de76pièces.

?Exercice 285(temps estimé pour les TEs : 20 minutes)

À la loterie suisse à numéro, le joueur doit choisir 6 numérossur 42, plus 1 numéro chance

parmi 6. Les gains sont attribués selon le rang obtenu : le rang est donné par le couple de nombresx+yoùxest le nombre de bons numéros sur les 42 (xva de0à6), etyest le nombre de bon numéro chance (yvaut0ou1); tous les rangs en dessous du rang3 + 0ne rapportent rien.

1. Combien de grilles doit-on remplir si l"on veut être sûr d"avoir le rang6 + 1?

2. Quelles sont les probabilités d"atteindre chaque rang?

3. Quelle est la probabilité de ne rien gagner?

4. Si vous êtes très malchanceux, quel rang allez-vous atteindre?

?Exercice 286(temps estimé pour les TEs : 5 minutes) En utilisant le triangle de Pascal, développer les expressions suivantes. a)(x+y)

5b)(x+ 2)6c)(x-1)7d)(x-y)8

Version 5.050 page 3 S. Perret

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Maths troisième année : exercices MATCours de Mathématiques

3.3 Probabilités : vocabulaire et calculs élémentaires

Les exercices qui suivent servent à se familiariser avec le vocabulaire des probabilités. Voici

quelques formules de probabilités utiles pour faire des calculs élémentaires. IP(A?B) =IP(A) +IP(B)siAetBsont des événements incompatibles

IP(A) =?

ω?AIP(ω)

IP(A?B) =IP(A) +IP(B)-IP(A∩B)dans le cas général ?Exercice 287 : univers et probabilité

Activer

QQ69

Activer

QQ70 On lance une fois deux pièces de monnaie. On noteppour pile etfpour face.

1. Décrire l"universΩ

1associé si on considère que l"ordre est important.

2. Décrire l"universΩ

2associé si on considère que l"ordre n"est pas important.

3. Vérifier avec les formules de combinatoire le nombre d"éléments de chaque univers.

4. Décrire les probabilités des issues élémentaires de chaque univers.

5. Calculer la probabilité que la première pièce tombe sur pile, et la deuxième sur face.

6. Calculer la probabilité qu"au moins une pièce tombe sur pile.

?Exercice 288 : événements et probabilités

L"expérience consiste à lancer un dé pipé à 6 faces dont les probabilités des événements

élémentaires sont les suivantes.

IP = 0.8,IP?? =IP?? =IP?? =IP?? = 0.05 Décrire les événements suivants et calculer la probabilitéqu"il aient lieu. a) L"événementAest "le résultat est un nombre impair». b) L"événementBest "le résultat est plus grand que3». c) L"événementCest l"événement complémentaire àA. d) L"événementDest défini parD=A?B. Déterminer si les événementsAetBsont incompatibles. ?Exercice 289 : calculs élémentaires de probabilités

Dans un canton, il y a40

?000voitures dotées de plaques numérotées de1à40?000. En n"observant que les voitures de ce canton, calculer la probabilité de voir une voiture dont le numéro de plaque commence par1. Quelle supposition implicite est sous-jacente à cet exercice? ?Exercice 290 : calculs élémentaires de probabilités On s"intéresse à la somme obtenue en jetant deux dés bien équilibrés à 6 faces. Déterminer la probabilité de chaque somme possible.

S. Perret page 4 Version 5.050

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3.4 Probabilités : probabilités conditionnelles

Les exercices qui suivent servent à se familiariser avec la notion de probabilité conditionnelle.

Il faut penser qu"une probabilité conditionnelle est une probabilité calculée dans un univers

plus petit défini par l"événement qu"on utilise comme condition : la probabilité queAait lieu

sachant queBa eu lieu, notéeP(A|B), est la probabilité que l"événementAait lieu dans un nouvel univers qui est l"événementB(on parle d"univers restreint). La formule ci-dessous provient du fait qu"une probabilité est une proportion et doncP(A|B)

représente la proportion de l"événementAdans l"événementB(et au cas oùAsortirait de

B, on prend l"intersectionA∩Bà sa place). L"écriture équivalente de droite permet d"écrire

la même formule d"une manière différente (qui a l"avantage d"être plus générale, car elle est

aussi vraie si la probabilité deBest nulle (alors que la fraction de la formule de gauche est indéterminée)).

IP(A|B) =IP(A∩B)IP(B)

IP(B)?= 0??IP(A∩B) =IP(A|B)IP(B)

?Exercice 291 : probabilité conditionnelle

On jette deux dés équilibrés. Quelle est la probabilité qu"au moins l"un d"entre eux montre

un 6, sachant que les deux chiffres montrés sont différents? ?Exercice 292 : probabilité conditionnelle Un sac contient vingt jetons; la moitié sont noirs, les autres blancs. Cinq jetons portent en plus une marque spéciale et trois de ceux-là sont noirs. On tire au hasard un jeton du sac.

Quelle est la probabilité que ce jeton

a) soit noir si l"on sait qu"il porte une marque? b) ne porte pas de marque si l"on sait qu"il est blanc?

3.5 Probabilités : événements indépendants

Les exercices qui suivent servent à se familiariser avec la notion d"événements indépendants.

Deux événements sont dit indépendants lorsqu"ils ne s"influencent pas mutuellement.

Aest indépendant deB

IP(A|B) =IP(A)

(relation a priori asymétrique)??AetBsont indépendants

IP(A∩B) =IP(A)IP(B)

(relation symétrique) ?Exercice 293 : indépendance On jette une pièce de monnaie deux fois de suite. Les événementsAetBsuivants sont-ils indépendants? A: Le même côté sort deux fois.B: Le nombre de piles est inférieur à deux. ?Exercice 294 : indépendance On tire au hasard une carte d"un paquet de 52 cartes à jouer ordinaires. Les événementsA etBsuivants sont-ils indépendants? A: La carte tirée est un as.B: La carte tirée est un pique.

Version 5.050 page 5 S. Perret

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Maths troisième année : exercices MATCours de Mathématiques

3.6 Probabilités : arbre de probabilité

?Exercice 295 : arbre de probabilité On considère deux urnesUetVextérieurement identiques. L"urneUcontient2boules noires et1blanche etVcontient1boule noire et3blanches. On choisit d"abord au hasard une des deux urnes, puis on extrait d"elle successivement2boules (sans remettre la première dans l"urne).

On considère les événements suivant.

A: La seconde boule tirée est noire.

B: Deux boules de la même couleur sont tirées. C: La première boule tirée était blanche.

D: L"urneUa été sélectionnée.

Après avoir dessiné l"arbre, calculer les probabilités suivantes. a) IP(A)b) IP(B)c) IP(A|C)d) IP(A|D)e) IP(D|A) ?Exercice 296 : arbre de probabilité Me voici sur une plage isolée d"Hawaii. Je souhaite y prendreun bain de vagues, c"est-à-dire passer les brisants, nager tranquillement au large puis rentrer en me faisant ramener par une vague. Mais on me le déconseille fortement. Les vagues sont en effet ici colossalement fortesquotesdbs_dbs43.pdfusesText_43

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