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b) Donner la forme factorisée de 15x² + x - 6. c) Donner la forme canonique de x² - 3x + 5. Première ES. IE2 second degré. S2. Exercice 1 : (3 points).
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ne sont pas non plus des trinômes du second degré 2) Forme canonique Soit la fonction définie sur par = ² avec
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Cette écriture s'appelle forme canonique du trinôme Exemple 1: Soit = ² – 3 + Ecrire le trinôme sous forme canonique = ² –
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DERNIÈRE IMPRESSION LE4 octobre 2016 à 8:57
Le second degré
Table des matières
1 La forme canonique du trinôme2
1.1 Le trinôme du second degré. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Quelques exemples de formes canoniques. . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Forme canonique du trinôme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 Racines du trinôme4
2.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.2 Le discriminant est positif. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.3 Le discriminant est nul. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.4 Le discriminant est négatif. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.5 Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Factorisation, somme et produit des racines6
3.1 Factorisation du trinôme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
3.2 Somme et produit des racines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.3 Application. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4 Signe du trinôme et inéquation du second degré8
4.1 Le discriminant est positif. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4.2 Le discriminant est nul ou négatif. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.3 Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5 Représentation de la fonction trinôme9
6 Équation paramétrique10
7 Équation, inéquation se ramenant au second degré12
7.1 Équation rationnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
7.2 Inéquation rationnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
7.3 Équation bicarrée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
7.4 Somme et produit de deux inconnues. . . . . . . . . . . . . . . . . 14
8 Quelques problèmes du second degré14
8.1 Problème de résistance équivalente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
8.2 Un problème de robinet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
8.3 Une histoire de ficelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
PAUL MILAN1PREMIÈRE S
TABLE DES MATIÈRES
1 La forme canonique du trinôme
1.1 Le trinôme du second degré
Définition 1 :On appelle trinôme du second degré ou simplement trinôme, le polynômeP(x), à coefficients réels, de la forme :P(x) =ax2+bx+caveca?=0
Exemple :Les trois polynômes suivants sont des trinômes P1(x) =x2+2x-8
P2(x) =2x2+3x-14
P3(x) =-x2+4x-5
1.2 Quelques exemples de formes canoniques
si le trinôme peut se factoriser ou non. Cette forme est obtenue à partir d"une"astuce" qui consiste à rajouter un terme puis à l"ôter de façon à obtenir le début
d"un carré parfait.Exemple :SoitP1(x) =x2+2x-8
Les deux premiers termes sontx2+2xqui est le début de(x+1)2=x2+2x+1.On ajoute 1 puis on le soustrait, ce qui donne :
P1(x) =x2+2x
+1-1-8 = (x+1)2-9 forme canonique deP1(x) on peut, à partir de cette forme, factoriser. Cela donne : = (x+1)2-32 = (x+1-3)(x+1+3) = (x-2)(x+4)Exemple :SoitP2(x) =2x2+3x-14
On factorise par le coefficient devantx2, c"est à dire ici 2. P2(x) =2?
x 2+3 2x-7? x 2+3 2x? est le début de? x+34? 2 =x2+32x+916. Cela donne : =2? x 2+32x+916-916-7?
=2? x+3 4? 2 -916-7? =2? x+3 4? 2 -12116? forme canonique deP2(x)PAUL MILAN2PREMIÈRE S
1. LA FORME CANONIQUE DU TRINÔME
on peut, à partir de cette forme, factoriser. Cela donne : =2? x+3 4? 2 -?114? 2? =2? x+34-114??
x+34+114? =2(x-2)? x+7 2?Exemple :SoitP3(x) =-x2+4x-5
On factorise par le coefficient devantx2, c"est à dire ici-1. P1(x) =-?
x2-4x+5? x2-4x? est le début de (x-2)2=x2-4x+4. Cela donne : x2-4x +4-4+5? x-2)2-4+5? x-2)2+1? forme canonique deP2(x) On ne peut factoriser cette forme car somme de deux carrés1.3 Forme canonique du trinôme
Soit un trinôme du second degré :P(x) =ax2+bx+cOn factorise para?=0, cela donne :
P(x) =a?
x 2+b ax+ca? x 2+b axest le début de? x+b2a? 2 =x2+bax+b24a2. Cela donne : =a?? x 2+b ax+b24a2 -b24a2+ca? =a? x+b 2a? 2 -b24a2+ca? =a? x+b 2a? 2 -b2-4ac4a2? Théorème 1 :La forme canonique d"un trinôme du second degré est de la forme :P(x) =a?
x+b 2a? 2 -b2-4ac4a2? ?Dans un cas concret, on n"utilise pas cette formule un peu difficile à mémori- ser, mais on retient l"astuce qui consiste à ajouter puis soustraire un terme comme nous l"avons vu dans les exemples précédents.PAUL MILAN3PREMIÈRE S
TABLE DES MATIÈRES
2 Racines du trinôme
2.1 Définition
Définition 2 :Les racines d"un trinômes ou "zéros" sont les solutions de l"équa- tion : ax2+bx+c=0 Définition 3 :On poseΔ=b2-4acappelédiscriminant L"équationax2+bx+c=0 devient en utilisant la forme canonique : a? x+b 2a? 2 -Δ4a2? =0 Le nombre de racines du trinôme dépend du signe deΔ, d"oùdiscriminant.2.2 Le discriminant est positif
Comme le discriminantΔest positif, la forme canonique se factorise en : a x+b2a-⎷
2a?? x+b2a+⎷ 2a? =0On obtient alors deux solutions :
x+b2a-⎷
2a=0 oux+b2a+⎷
2a=0Soit, en appelantx1etx2les deux solutions
x1=-b+⎷
2aoux2=-b-⎷
2aExemple :Résoudre dansR: 2x2+3x-14=0
On calculeΔ:Δ=b2-4ac=32-4×2×(-14) =9+112=121=112 Δ>0, il existe deux solutions distinctesx1etx2: x1=-b+⎷
2a=-3+114=2 etx2=-b-⎷
2a=-3-114=-72
On conclut par :S=?
-72; 2?PAUL MILAN4PREMIÈRE S
2. RACINES DU TRINÔME
2.3 Le discriminant est nul
Comme le discriminantΔest nul, la forme canonique correspond à un carré par- fait. Elle se factorise en : a? x+b 2a? 2 =0On obtient alors qu"une seule solution :x0=-b
2aExemple :Résoudre dansR: 3x2-18x+27=0
On calculeΔ:Δ=b2-4ac=182-4×3×27=324-324=0quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35[PDF] qcm ses seconde le diplome un passeport pour l'emploi
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