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Is the Holt-Winters forecasting procedure accurate?
- The Holt-Winters forecasting procedure is a simple widely used projection method which can cope with trend and seasonal variation. However, empirical studies have tended to show that the method is not as accurate on average as the more complicated Box-Jenkins procedure. This paper points out that these empirical studies have used
How accurate is the Holt-Winters method?
- SUMMARY The Holt-Winters forecasting procedure is a simple widely used projection method which can cope with trend and seasonal variation. However, empirical studies have tended to show that the method is not as accurate on average as the more complicated Box-Jenkins procedure.
S´eries Chronologiques
Agn`es Lagnoux
lagnoux@univ-tlse2.fr ISMAGMASTER 1 - MI00141X
Table des mati`eres
1 Introduction4
1.1 S´erie chronologique : vocabulaire et exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.1 D´efinition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.2 Description d"une s´erie chronologique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1.3 Objectifs principaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Description sch´ematique de l"´etude compl`ete d"une s´erie chronologique. . . . . . . . . . . 8
1.2.1 Correction des donn´ees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.2 Observation de la s´erie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.2.3 Mod´elisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.4 Analyse de la s´erie `a partir de ses composantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2.5 Diagnostic du mod`ele. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.6 Pr´ediction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Mod´elisation d´eterministe14
2.1 Le mod`ele additif. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2 Le mod`ele multiplicatif. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3 Les mod`eles mixtes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4 Choix du mod`ele. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3 Analyse de la tendance19
3.1 Rappels sur la r´egression lin´eaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1.1 La m´ethode des moindres carr´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.1.2 Propri´et´es et interpr´etation du coefficient de corr´elation lin´eaire. . . . . . . . . . . 20
3.2 Ajustement tendanciel lin´eaire par moindres carr´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.3 Ajustement tendanciel lin´eaire par points m´edians. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.4 Ajustements tendanciels non lin´eaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.5 Estimation non param´etrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4 Les moyennes mobiles24
4.1 D´efinitions des moyennes mobiles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.2 Propri´et´es d"un lissage par moyenne mobile. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2.1 Effet d"une moyenne mobile sur une tendance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.2.2 Effet d"une moyenne mobile sur une composante saisonni`ere. . . . . . . . . . . . . 28
4.2.3 Effet d"une moyenne mobile sur les fluctuations irr´eguli`eres. . . . . . . . . . . . . 29
4.2.4 Choix pratique de l"ordre d"une moyenne mobile. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
5 D´ecomposition d"une s´erie chronologique32
5.1 La s´erie liss´ee par moyenne mobile. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.2 Estimation de la saisonnalit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
5.3 Estimation de la tendance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.4 It´eration de la proc´edure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.5 Pr´evision des valeurs futures. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.6 Remarque : cas du mod`ele multiplicatif. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.7 Analyse des r´esidus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.8´Etude d"un autre exemple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.9 Petit r´esum´e de la proc´edure et des notations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
6 Pr´evision par lissage exponentiel46
6.1 Les lissages exponentiels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.1.1 Le lissage exponentiel simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
6.1.2 Le lissage exponentiel double. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.2 La m´ethode de Holt-Winters. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
6.2.1 La m´ethode non saisonni`ere. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.2.2 La m´ethode saisonni`ere additive. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
6.2.3 La m´ethode saisonni`ere multiplicative. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2 31 Introduction1.1 S´erie chronologique : vocabulaire et exemples1.1.1 D´efinitionLa th´eorie des s´eries chronologiques (ou temporelles) abord´ee dans ce cours est appliqu´ee de nos jours
dans des domaines aussi vari´es que l"´econom´etrie, la m´edecine ou la d´emographie, pour n"en citer qu"une
petite partie. On s"int´eresse `a l"´evolution au cours du temps d"un ph´enom`ene, dans le but ded´ecrire,ex-
pliquerpuispr´evoirce ph´enom`ene dans le futur. On dispose ainsi d"observations `a des dates diff´erentes,
c"est `a dire d"une suite de valeurs num´eriques indic´ees par le temps.Exemple: On peut songer par exemple `a l"´evolution du nombre de voyageurs utilisant le train, `a l"ac-
croissement relatif mensuel de l"indice des prix ou encore `a l"occurence d"un ph´enom`ene naturel (comme
le nombre de taches solaires).Cette suite d"observations d"une famille de variables al´eatoires r´eelles not´ees (Xt)t?Θest appel´ees´erie
chronologique(ou temporelle). Dans la suite de ce cours, nous la noterons (Xt)t?Θou (Xt,t?Θ), o`u l"ensemble Θ est appel´eespace des tempsqui peut ˆetre -discret(nombre de voyageurs SNCF quotidien, temp´erature maximale...). Dans ce cas, Θ?Z.Les dates d"observations sont le plus souvent ´equidistantes : par exemple relev´es mensuels, trimes-
triels...Ces dates ´equidistantes sont alors index´ees par des entiers :t= 1,2,...,TetTest le nombre
d"observations. On dispose donc des observations des variablesX1,X2,...,XTissues de la famille (Xt)t?Θo`u Θ?Z(le plus souvent Θ =Z). Ainsi sihest l"intervalle de temps s´eparant deux observations ett0l"instant de la premi`ere observation, on a le sch´ema suivant t0t0+h...t0+ (T-1)h
X t0Xt0+h...Xt0+(T-1)h X1X2...XT
-continu(signal radio, r´esultat d"un ´electrochardiogramme...). L"indice de temps est `a valeurs dans
un intervalle deRet on dispose (au moins potentiellement) d"une infinit´e d"observations issuesd"un processus (Xt)t?Θo`u Θ est un intervalle deR. Un tel processus est dit `a temps continu. Les
m´ethodes pr´esent´ees dans ce cadre sont diff´erentes de celles pour les s´eries chronologiques `a temps
discret et pr´esent´ees dans la suite.Dans ce cours, nous consid´ererons uniquement desprocessus stochastiques(Xt)t?Θ`a temps discret
etunidimensionnels: chaque observationXtest un r´eel. On peut ´egalement s"int´eresser `a des s´eries
chronologiques multidimensionelles, c"est `a dire tellesqueXtsoit un vecteur deRd.Les Figures
1et2pr´esentent diff´erents exemples de s´eries chronologiques.
1.1.2 Description d"une s´erie chronologique
On consid`ere qu"une s´erie chronologique (Xt) est la r´esultatnte de diff´erentes composantes fondamentales :
latendance(ou trend) (Zt) repr´esente l"´evolution `a long terme de la s´erie ´etudi´ee. Elle traduit le
comportement "moyen" de la s´erie. Par exemple, la s´erie a) de la Figure 1. a tendance `a augmenter de fa¸con lin´eaire. 4 Figure1 - Exemples de s´eries chronologiques(1) 5 Figure2 - Exemples de s´eries chronologiques (2) 6lacomposante saisonni`ere(ou saisonnalit´e) (St) correspond `a un ph´enom`ene qui se r´ep`ete `a in-
tervalles de temps r´eguliers (p´eriodiques). En g´en´eral, c"est un ph´enom`ene saisonnier d"o`u le terme de
variations saisonni`eres.Par exemple, la s´erie b) de la Figure 1. pr´esente des cyclesr´eguliers au cours du temps et de mˆeme
amplitude.lacomposante r´esiduelle(ou bruit ou r´esidu) (?t) correspond `a des fluctuations irr´eguli`eres, en g´en´eral
de faible intensit´e mais de nature al´eatoire. On parle aussi d"al´eas.Par exemple, la s´erie c) de la Figure 1. a un comportement assez irr´egulier : il y a comme une sorte de
bruit de faible amplitude qui perturbe les donn´ees.Les mod`eles pr´esent´es dans ce cours tiennent compte de ces trois composantes (tendance, saisonnalit´e
et fluctuations irr´eguli`eres).Il faut cependant remarquer que l"on pourrait envisager d"autres composantes.
Desph´enom`enes accidentels(gr`eves, conditions m´et´eorologiques exceptionnelles, crash financier)
peuvent notamment intervenir. Par exemple, la s´erie d) de la Figure 1. pr´esente deux cassures.Une autre composante parfois ´etudi´ee de mani`ere sp´ecifique a trait auph´enom`ene cyclique: c"est sou-
vent le cas en climatologie et en ´economie (exemple : r´ecession et expansion...). Il s"agit d"un ph´enom`ene
se r´ep´etant mais contrairement `a la saisonnalit´e sur des dur´ees qui ne sont pas fixes et g´en´eralement plus
longues. Sans informations sp´ecifiques, il est g´en´eralement tr`es difficile de dissocier tendance et cycle.
Dans le cadre de ce cours, la composante correspondant aux ph´enom`enes accidentels sera int´egr´ee aux
fluctuations irr´eguli`eres de la s´erie et la composante tendance regroupera `a la fois la tendance et le cycle.
1.1.3 Objectifs principaux
L"´etude d"une s´erie chronologique permet d"analyser, ded´ecrireet d"expliquerun ph´enom`ene au cours
du temps et d"en tirer des cons´equences pour des prises de d´ecision (marketing...).Cette ´etude permet aussi de faire uncontrˆole, par exemple pour la gestion des stocks, le contrˆole d"un
processus chimique... Plus g´en´eralement, nous pouvons d´ej`a poser quelques probl`emes lorsqu"on ´etudie
une s´erie chronologique.Mais l"un des objectifs principaux de l"´etude d"une s´eriechronologique est lapr´evisionqui consiste `a
pr´evoir les valeurs futuresXT+h(h= 1,2,3,...) de la s´erie chronologique `a partir de ses valeurs observ´ees
jusqu"au tempsT:X1,X2,...,XT. La pr´ediction de la s´erie chronologique au tempst+hest not´eeˆXT(h)
et, en g´en´eral, est diff´erente de la valeur r´eelleXT+hque prend la s´erie au tempsT+h. Pour mesurer
cette diff´erence, on d´efinira l"erreur de pr´edictionpar la diff´erenceˆXT(h)-XT+h"en moyenne" avec
l"id´ee que plushest grand, plus grande est l"erreur. L"intervalle de pr´ecision, d´efini par les valeursˆX(1)
T(h) etˆX(2)
T(h), est susceptible de contenir la valeur inconnueXT+h. La qualit´e de la pr´ediction pourra ˆetre
mesur´ee en se basant sur 80% des observations, puis en simulant une pr´ediction sur les 20% d"observations
restantes. Cette technique est aussi utile pour : - les s´eries qui contiennent des "trous" - mesurer l"effet d"un ph´enom`ene accidentel (erreur,...)Un autre probl`eme int´eressant est lad´etection de ruptures r´esultantes, par exemple, d"un change-
ment de politique (´economique). Ces ruptures peuvent ˆetre de deux ordres : une rupture de niveau (par
exemple, le cours du PNB espagnol a ´et´e fortement modifi´e en raison de le crise p´etroli`ere de 1973) ou
une rupture de pente. La pr´evision de ces dates de rupture est bien ´evidemment tr`es importante.
Il existe encore bien d"autres objectifs imm´ediats relatifs `a l"´etude des s´eries chronologiques. Par exemple,
si deux s´eries sont observ´ees, on peut se demander quelle influence elles exercent l"une sur l"autre. En
7notantXtetYtles deux s´eries en question, on examine s"il existe par exemple des relations du type
Y t=a1Xt+1+a3Xt+3.Ici, deux questions se posent : tout d"abord, la question de lacausalit´ei.e. quelle variable (ici (Xt))
va expliquer l"autre (ici (Yt)), ce qui am`ene la deuxi`eme question, celle dud´ecalage temporel: si une
influence de (Xt) sur (Yt) existe, avec quel d´elai et pendant combien de temps la variable explicative (Xt)
influence-t-elle la variable expliqu´ee (Yt)?Un dernier probl`eme important de la macro´econom´etrie est de d´eterminer les relations persistances (de
long terme) des autres relations (de court terme).1.2 Description sch´ematique de l"´etude compl`ete d"une s´erie chronologique
Comme nous venons de le voir, l"un des objectifs principaux de l"´etude d"une s´erie chronologique est la
pr´evision des valeurs futures de cette s´erie. Pour cela, on a besoin de connaˆıtre ou tout au moins de
mod´eliserle m´ecanisme de production de la s´erie chronologique.Notons que les variablesXtne sont le plus souvent ni ind´ependantes (on peut s"attendre en effet `a
ce que des observations relativement proches dans le temps soient li´ees) ni identiquement distribu´ees
(dans la plupart des cas, le ph´enom`ene ´evolue, se modifie au cours du temps ce qui entraˆıne que les
variables le d´ecrivant ne sont pas ´equidistribu´ees). Cela n´ecessite des m´ethodes statistiques de traitement
et de mod´elisation sp´ecifiques puisqu"en particulier dans un cadre standard (celui de la description d"un
´echantillon) les m´ethodes statistiques classiques sontbas´ees sur des hypoth`eses d"ind´ependance.
Sch´ematiquement, les principales ´etapes de traitement d"une s´erie chronologique sont les suivantes :
1. correction des donn´ees
2. observation de la s´erie
3. mod´elisation (avec un nombre fini de param`etres)
4. analyse de la s´erie `a partir de ses composantes
5. diagnostic du mod`ele - ajustement au mod`ele
6. pr´ediction (= pr´evision)
1.2.1 Correction des donn´ees
Avant de se lancer dans l"´etude d"une s´erie chronologique, il est souvent n´ecessaire de traiter, modifier les
donn´ees brutes. Par exemple, - ´evaluation de donn´ees manquantes, remplacement de donn´ees accidentelles,... - d´ecoupage en sous-s´eries;- standardisation afin de se ramener `a des intervalles de longueur fixe. Par exemple, pour des donn´ees
mensuelles, on se ram`ene au mois standard en calculant la moyenne journali`ere sur le mois (total des observations sur le mois divis´e par le nombre de jours dumois);- transformation des donn´ees : pour des raisons diverses, on peut ˆetre parfois amen´es `a utiliser des
donn´ees transform´ees. Par exemple en ´economie, on utilise la famille de transformations de Box-
Cox : Y t=1λ?(Xt)λ-1?, λ?R?.
1.2.2 Observation de la s´erie
Une r`egle g´en´erale en Statistique Descriptive consiste`a commencer par regarder les donn´ees avant d"ef-
fectuer le moindre calcul. Ainsi, une fois la s´erie corrig´ee et pr´etrait´ee, on trace son graphique c"est `a
dire la courbe de coordonn´ees (t,Xt) (cf. Figure3repr´esentant le trafic SNCF sur diff´erentes ann´ees).
L"observation de ce graphique est souvent une aide `a la mod´elisation de la s´erie chronologique et permet
de se faire une id´ee des diff´erentes composantes de la s´erie chronologique que nous avons rapidement
mentionn´ees en Section1.1.2.
8Figure3 -´Evolution du trafic voyageur SNCF de 1960 `a 1980 (`a gauche) et ´evolution annuelle (`a droite)
L"observation du graphique de gauche de la Figure3indique par exemple que le nombre de voyageurs
SNCF a augment´e de mani`ere r´eguli`ere au cours du temps. De mani`ere g´en´erale, la courbe peut indi-
quer un "mouvement" `a moyen terme de croissance ou d´ecroissance (lin´eaire, quadratique...) r´ev´elant la
pr´esence d"une composante d´eterministe dans la s´erie appel´eetendance(outrend) qui exprime donc
l"´evolution g´en´erale `a moyen ou long terme de la s´erie,du ph´enom`ene ´etudi´e. Par exemple, si on admet le
sc´enario d"un r´echauffement de la plan`ete, la courbe des temp´eratures moyennes indique un mouvement
de croissance `a moyen terme.Le graphe de la s´erie peut encore faire apparaˆıtre une p´eriodicit´e dans les valeurs observ´ees r´ev´elant
la pr´esence d"un ph´enom`ene ditsaisonnier. Les variations saisonni`eres sont li´ees au rythme impos´e par
les saisons m´et´eorologiques (production agricole, consommation de gaz, vente de bois avant l"hiver...)
ou encore par des activit´es ´economiques et sociales (fˆetes, vacances, soldes,...). Elles sont de nature
p´eriodique c"est `a dire qu"il existe un entierp, appel´e p´eriode, tel queSt=St+p, pour touttet cette
composante est donc enti`erement d´etermin´ee par sesppremi`eres valeursS1,S2, ...,Sp. Lorsqu"on veut
mettre en ´evidence ce ph´enom`ene `a l"aide d"un graphique, on peut d´ecouper la s´erie en sous-s´eries de
longueur de p´eriodePdu saisonnier et repr´esenter ces sous-s´eries sur un mˆemegraphique (cf. Figure
3`a droite). Sur ce graphique, on voit bien une similarit´e des diff´erentes courbes annuelles li´ee aux saisons
m´et´eorologiques : on constate par exemple un pic au mois dejuin...Bien entendu, on constate sur les deux figures des fluctuations plus ou moins importantes que l"on
appelleirr´egularit´esoumouvements r´esiduels. Ces fluctuations irr´eguli`eres sont dues `a des facteurs
exceptionnels pour la plupart impr´evisibles (exemple : gr`eve, risque de guerre...), ont souvent un effet de
courte dur´ee et de faible intensit´e et sont de nature al´eatoire (ce qui signifie ici dans un cadre purement
descriptif qu"elles ne sont pas expliqu´ees). On regroupe donc g´en´eralement ces variations dans une com-
posante al´eatoire repr´esentant les effets non expliqu´esou encore l"erreur au mod`ele. Nous remarquons aussi un ph´enom`ene accidentel : sur l"unedes courbes de la Figure3de droite (il s"agit
de l"ann´ee 1963), on voit un pic "anormalement" ´elev´e au mois d"avril. On peut ´egalement s"int´eresser `a
l"impact de mai 1968 sur le nombre de voyageurs.Les mod`eles pr´esent´es dans la section suivante tiennentcompte uniquement des trois premi`eres compo-
santes (tendance, saisonnalit´e et fluctuations irr´eguli`eres); les ph´enom`enes accidentels ´etant int´egr´es au
terme de fluctuations irr´eguli`eres. 91.2.3 Mod´elisationUnmod`eleest une image simplifi´ee de la r´ealit´e qui vise `a traduireles m´ecanismes de fonctionnement
du ph´enom`ene ´etudi´e et permet de mieux les comprendre. Un mod`ele peut ˆetre meilleur qu"un autre
pour d´ecrire la r´ealit´e et bien sˆur, plusieurs questions se posent alors : comment mesurer cette qualit´e?
comment diagnostiquer un mod`ele? Nous pr´esentons dans cette section une petite liste qui sert `a r´esumer
et classifier les diff´erents mod`eles envisag´es dans ce cours. On distingue principalement deux types de mod`eles :- lesmod`eles d´eterministes. Ces mod`eles rel`event de la Statistique Descriptive. Ilsne font interve-
nir que de mani`ere sous-jacente le calcul des probabilit´es et consistent `a supposer que l"observation
de la s´erie `a la datetest une fonction du tempstet d"une variable?tcentr´ee faisant office d"erreur
au mod`ele, repr´esentant la diff´erence entre la r´ealit´eet le mod`ele propos´e :quotesdbs_dbs14.pdfusesText_20[PDF] homogénéité
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