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DEVOIR DE MATHEMATIQUES 1S VERTE 23/03/2012 1 HEURE

EXERCICE I : ( 6 points)

On considère la suite () définie par = 2 -

1° Calculer

2° Etudier le sens de variation de cette suite.

3° Montrer que cette suite est majorée par 2.

Corrigé On considère la suite () définie par = 2 -

1° Calcul des premiers termes

= 2 -1

0 + 1= 2 - 1 = 1;= 2 -1

1 + 1=3

2 = 2 -1

1 + 2= 2 -1

3 =5 3

2° Pour tout de

- = 2 -1 + 1 + 1 - 2 -1 + 1 = -1 + 2+1 + 1=(- - 1 + + 2) + 1)( + 2)=1 + 1)( + 2) ⋆ ≥ 0 ⟹ + 1 ≥ 1 + 2 ≥ 2⟹ + 1 > 0 + 2 > 0⟹1 + 1)( + 2) > 0 ⟹ - > 0

Ainsi la suite (

) est strictement croissante.

3° Pour tout de

≥ 0 ⟹ + 1 ≥ 1 ⟹ + 1 > 0 ⟹ 1 + 1 > 0 ⟹ -1 + 1< 0 ⟹ 2 -1 + 1< 0 ⟹ < 2

Ainsi, pour tout de ,

< 2, la suite () est majorée par 2

EXERCICE III : (8 points)

1° On considère la suite () définie par

= 6 = 2- 5 ( ∈ ) a) Calculer b) A l"aide de la calculatrice, déterminer

2° On considère la suite

(!) définie par != 2+ 5 ( ∈ )

Etudier le sens de variation de la suite

3° Montrer que les suites

() et (!) sont égales. Corrigé On considère la suite () définie par = 6 = 2- 5 ( ∈ ) et la suite (!) définie par != 2+ 5 ( ∈ )

1°

= 2 - 5 = 2 × 6 - 5 = 7 = 2 × - 5 = 9

La calculatrice donne

= 4101

2° Pour tout de

- !=(2- 5)-(2- 5)= 2- 2= 2× 2 - 2= 2(2 - 1)= 2 ⋆ 2 > 0 ⟹ 2 > 0 ⟹ !- !> 0

Ainsi la suite (!

) est strictement croissante.

3° Montrons que la suite (!

) a les mêmes caractéristiques que la suite () = 2 + 5 = 1 + 5 = 6 =

· Pour tout de

= 2+ 5 2! - 5 = 2(2+ 5)- 5 = 2 × 2+ 10 - 5 = 2- 5 = 2!- 5

La suite(!

) a le même premier terme que la suite () et elle vérifie la même relation de récurrence,

Ainsi les suites (

) et (!) sont égales.

Extrait DS 2012

EXERCICE II : ( 7 points )

On considère la fonction & définie sur [-1;+∞[ par &())= 2 +* Une partie de sa courbe représentative est donnée en annexe.

Soit la suite

() telle que = &(), c"est-à dire = 2 +* pour ∈ .

1° Représenter graphiquement sur l"annexe les quatre premiers termes de la suite. On laissera apparents

les traits de construction.

Emettre quatre conjectures.

2° Calculer

3° Etudier le sens de variation de la suite.

4° a) Montrer que pour tout

∈ , on a : > 2. b) Montrer que la suite () est majorée.

5° On considère l"algorithme :

Données

Initialisation

entrer un réel , =0 =14/3

Traitement Tant que |-2|≥,

Affecter à la valeur +1

Affecter à

la valeur 2+*

FinTantque

Affichage Afficher

a) En faisant fonctionner l"algorithme avec , = 0,5 ; préciser la valeur affichée pour . On détaillera

les différentes étapes. b) Un utilisateur a fait fonctionner l"algorithme avec , = 0,01 et a obtenu comme valeur = 399.

Interpréter cette valeur obtenue.

Corrigé

On considère la fonction & définie par &())= 2 +*

Soit la suite

() telle que = &(), c"est-à dire = 2 +* pour ∈ .

1° Emettre quatre conjectures :

La suite

() semble décroissante, minorée par 2 , majorée par 5 et convergente vers 2.

2° Calculer

= 2 +8

2 × 0 + 3=14

3;= 2 +8

2 × 1 + 3=18

5; = 2 +8

2 × 2 + 3=22

7

3° Etudier le sens de variation de la suite.

Pour tout

de - = 2 +8 2 ( + 1)+ 3 - 2 +8

2 + 3 =8

2 + 5-8

2 + 3=8(2 + 3)- 8(2 + 5)

2 + 3)(2 + 5)= ⋯ =-16

2 + 3)(2 + 5)

≥ 0 ⟹ 2 + 3 ≥ 32 + 5 ≥ 5⟹ 2 + 3 > 02 + 5 > 0⟹-16

2 + 3)(2 + 5)< 0 ⟹ - < 0

Ainsi la suite

() est strictement décroissante.

4° a) Montrer que pour tout

∈ , on a : 2

Pour tout

de 0 ⟹ 2 0 ⟹ 2 3 3 ⟹ 2 3 0 ⟹8

2 3 0 ⟹ 2 8

2 3 2 ⟹ 2

Ainsi pour tout

∈ , on a : 2

4.b. Montrer que la suite

est minorée.

La suite

) est décroissante, donc elle est majorée par son premier terme.

5° On considère l"algorithme :

Données

Initialisation

entrer un réel , 014/3

Traitement Tant que |2|,

Affecter à la valeur 1

Affecter à

la valeur 2*

FinTantque

Affichage Afficher

5a. En faisant fonctionner l"algorithme avec

, 0,5

14/3,0

|14/32|0,5

0 1 1 →

2 22 8

5 22 1,6 0,5

1 1 2 →

2 228

72231,140,5

2 1 3 →

2 22 8

9 223 0,88 0,5

3 1 4 →

2 "4 → 228

112230,72

0,5

4 1 5 →

2 "5 → 22 8
13 223 0,61
0,5

5 1 6 →

2* "6 → 228

152230,53

0,5

6 1 7 →

2 "7 → 22 8
17 223 0,47
0,5

Arrêt

Affichage : 89

5b. Le plus petit entier

tel que | 2| 0,01 est : 399

EXERCICE III : (10 points)

On considère la fonction & définie sur par &) ) 3 et la suite ) définie par = -2 = &() c"est-à-dire : = -2 + 3 ( ∈ )

1. Dans le repère orthonormé en annexe ,

a) Tracer la droite Δ représentant la fonction & et la droite < d"équation = = ) b) En utilisant ces droites, placer les termes ; ;4 de la suite sur l"axe des abscisses.

Laisser apparents les traits de construction.

c) Emettre des conjectures.

2.a. Calculer

2.b. Déterminer une valeur approchée à 10

> près de

à l"aide de votre calculatrice.

2.c. Recopier et compléter l"algorithme pour qu"il donne :

la valeur du terme de rang et la somme des termes de

Données

Initialisation

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