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Il faut relier les 9 points avec seulement 4 lignes droites sans lever son crayon. Un exemple d'une mauvaise réponse est donné à droite. Dessinez les 9 points
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ABUn croisement
Cinq croisements
Six croisements
1 2 3 4 5 6 2 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 56mn 3 4 5 6 3 3 2 4 64
2 4 8 125
4 8 16 246
6 12 24
367
9 18 36
54
cr( K n ) 0 1 3 9 18 36 60 100 150 225 315 441 588
45678910121314151611n
a b f g ec d 3 2 4 6 1 532 4 6 1 53
2 4 6 1 5 7 1 1 22
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Logique & calcul
© Pour la Science - n° 424 - Février 2013 D essinez cinq points sur une feuille, puis essayez de les joindre deux à deux par des courbes en évitant que deux courbes ne se croisent : vous n'y arrivez pas. Et si vous tentiez plutôt de joindre trois points A, B, C à trois autres D, E, F sans croisement ? Vous n'y arrivez pas non plus !Et l'on peut démontrer ces impossibilités
(voir l'encadré 2)Le premier problème revient à établir
que K 5 (le graphe à cinq noeuds où cha cun est relié à tous les autres) n'est pas un graphe planaire, c'est-à-dire qu'on ne peut pas le dessiner sur le plan sans croi sement. Le second consiste à démontrer que K 3, 3 (le graphe obtenu en reliant trois points à trois autres de manière systé matique) n'est pas un graphe planaire.C'est un vieux problème de divertissement
mathématique popularisé par l'AméricainSam Loyd en
1903, mais dont l'origine est
sans doute plus ancienne. On le présente en général sous la forme suivante : trois maisons s'abonnent chacune au gaz, à l'électricité et à l'eau ; les canalisations reliant les maisons et les fournisseurs peuvent-elles ne pas se croiser ?Derrière leur aspect innocent, ces
énigmes cachent des problèmes difficiles,
des conjectures que personne ne sait prou- ver et des questions algorithmiques ayant un réel intérêt pratique pour le dessin des circuits électroniques ou la représentation optimale de réseaux en informatique.Il est tout à fait remarquable que les deux graphes non planaires envisagés plus haut (K 5 et K 3, 3 ) soient caractéristiques de la " non-planéarité ». Un théorème démontré par le Polonais Casimir Kuratowski en 1929affirme en effet qu'un graphe est planaire si et seulement si l'on ne peut en extraire aucun graphe de type K 5 ou K 3, 3 (un graphe B est extrait d'un graphe
A si, en enlevant des
arcs et des noeuds àA, on trouve le dessin
de B, voir la figure aDit autrement
: si un graphe n'est pas planaire, on y trouve l'un des deux graphes K 5 ou K 3, 3 (ou les deux), et si c'est impossible alors il est planaire.Des cercles tangents
Un théorème très surprenant sur les graphes planaires a été démontré par l'Allemand PaulKoebe en
1936. Il indique qu'un graphe est
planaire si et seulement si c'est " un graphe de pièces de monnaie », c'est-à-dire si et seulement si l'on peut trouver des pièces de monnaie de diamètres variés qui, serrées lesquotesdbs_dbs45.pdfusesText_45[PDF] exercices gratuits écrits professionnels
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