[PDF] Problème no 9 : Suites Points fixes attractifs. Soit r

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Lycée Louis-Le-Grand,Paris

MPSI 4- Mathématiques

A. Troesch

Problème no9 : Suites

Problème 1-

Convergence en un point fixe attractif d"une suite définie parune récurrence (Adapté de CAPES 1998)

Soitαetβdeux éléments de

Rtels queα < β, et soitI=]α,β[l"intervalle ouvert d"extrémitésαetβ. Soitf:I→R

une fonction continue surI. On noteΩ ={x?I|f(x) =x}l"ensemble des points fixes def. On suppose dans tout le problème queΩest non vide.

On appellera suite récurrente, ou, s"il faut éviter une ambiguïté, suite récurrente associée àf, une suite(xn)n?Nde

points deIvérifiant la relation de récurrence : ?n?N, xn+1=f(xn). L"objet du problème est l"étude de quelques propriétés de cessuites. Partie I - Existence et convergence des suites récurrentes

1.On définit par récurrence des sous-ensembles deIparI1=I, et :?p?N?, Ip+1=f-1(Ip).

(a) Montrer que pour toutp?N?,Ip+1?Ip.

On définitA=?

p?N?Ip. (b) Montrer queAest un sous-ensemble non vide deI, et queAest stable parf. (c)Soit(xn)n?Nune suite récurrente associée àf. i. Soitp?N?. En considérant l"existence dexn+p, montrer que pour toutn?N,xn?Ip. ii. En déduire que pour toutn?N,xn?A.

iii. En déduire que le choix d"une valeur initialex0définit une suite récurrente associée àfsi et seulement

six0?A.

2. (a) DéterminerΩetApour chacun des exemples suivants :

i.I=]0,2[et?x?I, f1(x) =⎷ x; ii.I=]0,2[et?x?I, f2(x) =x2; iii.I=]0,2[et?x?I, f3(x) = 2x-1. (b) Que vautAlorsqueIest stable parf?

3.On supposefcroissante, et soitx0un point deAtel quex0?f(x0).

(a) Montrer que la suite récurrente de valeur initialex0converge vers un point deIsi et seulement s"il existe

un point fixey?Ωtel quex0?y.

(b) Justifier que dans ce cas, la limite?de(xn)n?Nest le plus petit point fixe qui soit supérieur ou égal àx0.

(c) Préciser le comportement de la suite(xn)n?Ndans le cas où elle ne converge pas vers un point deI.

(d) Donner sans démonstration des résultats similaires lorsquex0?f(x0). 1

Partie II - Points fixes attractifs, répulsifsOn suppose dans cette partie quefest dérivable de dérivée continue surI. On admettra la définition suivante : une

fonctionhest continue en un pointade son domaineDhsi et seulement si : ?ε >0,?δ >0,?x?B(a,δ)∩Dh,|h(x)-h(a)|< ε.

(En gros : pour toute marge d"erreurε, quitte à ne pas trop s"éloigner dea, disons de moins deδ,h(x)ne s"éloigne

pas deh(a)de plus deε)

1.Inégalité des accroissements finisSoitaetbdeux éléments deI, etJl"intervalle fermé d"extrémitésaetb. On suppose qu"il existe deux réels

positifsmetMqu"on se fixe, tels que : ?x?J, m?|f?(x)|?M. A l"aide d"une intégration, montrer que :m|b-a|?|f(b)-f(a)|?M|b-a|.

2.Points fixes attractifsSoitrun point fixe deftel que|f?(r)|<1. Un tel point fixe sera ditattractif.

(a) Montrer qu"il existe un réelk?[0,1[et un réelδ >0, qu"on se fixe pour la suite, tels que la boule

B(r,δ) =]r-δ,r+δ[soit incluse dansI, et que : ?x?B(r,ε),|f(x)-r|?k|x-r|. (b) Supposons qu"il existeN?Ntel queuN?B(r,δ). Majorer|un-r|en fonction deuN,r,k,Netn.

(c) En déduire qu"une suite récurrente(xn)n?Nconverge versrsi et seulement si il existe un indiceN?Ntel

quexN?B(r,δ).

3.Points fixes répulsifsSoitrun point fixe deftel que|f?(r)|>1. Un tel point fixe sera ditrépulsif.

(a) Montrer qu"il existe un réelδ >0, qu"on se fixe pour la suite, tel queB(r,δ) =]r-δ,r+δ[soit inclus dans

I, et que :

?x?B(r,ε),|f(x)-r|?|x-r|.

(b) Montrer qu"une suite récurrente(xn)n?Nconverge versrsi et seulement si elle est stationnaire de valeurr,

c"est-à-dire s"il existe un indiceN?Ntel que pour toutn?N,xn=r.

4.Un exempleOn considère la fonctionf4définie surI=]0,2[par :?x?]0,2[,f4(x) =1

⎷5(4-x2). (a) DéterminerA. (b) Montrer quef4a un seul point fixe, et qu"il est répulsif. (c) Déterminer les points fixes def4◦f4.

(d) Préciser, suivant la valeur initiale, le comportement des suites récurrentes(xn)n?Nassociées àf4.

On étudiera notamment la convergence de(xn)n?N, ainsi que celle de(x2n)n?Net(x2n+1)n?N, en précisant

la valeur des limites en cas de convergence. Partie III - Estimation de la vitesse de convergence en un point attractif

Étant donné deux suites(un)n?Net(vn)n?N, telles que(vn)n?Nne s"annule pas, on rappelle queun=O(vn)si la suite?u

n vn? n?Nest bornée. On admettra le résultat suivant (formule de Taylor-Young à l"ordre 2) : 2

Soitr?I. Alors, sifest dérivable2fois et de dérivée seconde continue surI, alors pour toute suite

(un)n?Nde limiter, il existe une suite(εn)n?Nde limite nulle telle que : f(un) =f(r) + (un-r)f?(r) +1

2(un-r)2f??(r) + (un-r)2εn.

On se propose d"étudier la vitesse de convergence d"une suite récurrente(xn)n?Nnon stationnaire, convergeant vers un

point fixe attractifr. On suppose dans la suite de cette partie quefest deux fois dérivable surI, de dérivée continue.

1. Soitkcomme dans la question II-2. Montrer que|xn-r|=O(kn).

2.Dans cette question, et uniquement dans cette question,fest définie surRparf(x) =x

2+ 2.

(a) Montrer quefest deux fois dérivable, de dérivée seconde continue, et admet un et un seul point fixer.

Montrer que|f?(r)|<1.

(b) Soit(xn)n?Nune suite récurrente associée àf. Exprimerxnen fonction denetx0.

(c) En déduire l"existence d"une constanteλque l"on déterminera telle quexn-r≂+∞λ(f?(r))n

Nous cherchons dans la question suivante à généraliser ce résultat à des fonctionsfplus générales.

3.On suppose quef?(r)?= 0.

(a) Montrer, grâce à la formule de Taylor rappelée dans l"énoncé, qu"on a : ?j?N, xj+1-r=f?(r)(xj-r)(1 +Rj),oùRj=O(kj). (b) En déduire que :?n?1, xn-r= (f?(r))n(x0-r)n-1? j=0(1 +Rj). (c) i. Montrer que pour toutj?N,ln(|1 +Rj|)est défini. ii. Justifier queln(|1 +Rj|)≂+∞Rj. iii. En déduire qu"il existe un réelMtel que :?j?N,|ln(|1 +Rj|)|?Mkj. iv. En déduire que la suite? n? j=0|ln(|1 +Rj|)|? n?Nest définie, majorée, puis qu"elle converge. v. En déduire que la suite n? j=0(1 +Rj)? n?Nconverge vers une limite non nulle.

On admettra pour ce faire que si

n? k=0|ak|? n?Nconverge dansR, alors? n? k=0a k? n?Naussi. vi. En déduire qu"il existe une constanteλtelle quexn-r≂+∞λ(f?(r))n.

4.On suppose quef?(r) = 0et quef??(r)?= 0.

(a) Montrer qu"il existe une suite(Sj)j?Nde limite nulle telle que : ?j?N, xj+1-r=f??(r)

2(xj-r)2(1 +Sj).

(b) En déduire que pour toutn?2, x n-r=2 f??(r)(( f??(r)2(x0-r)n-2? j=0|1 +Sj|2-j-1))2 n (1 +Sn-1). (c) En s"inspirant de la question III-2(c), montrer que la suite? n-2? j=0|1 +Sj|2-j-1? n?2converge et que sa limite est non nulle. (d)On note, pour toutn?2,πn= limm→+∞m j=n-1|1 +Sj|2-j-1. Soitε >0. i. Montrer qu"il existeNtel que pour toutn?N, et toutj?n-1,

2nln(|1 +Sj|2-j-1????1

2j+1-nε.

3 ii. En déduire que pour toutn?N,|2nlnπn|?2ε. Que dire de la suite(2nlnπn)n?2?

iii. Montrer qu"il existe une constanteλ?]0,1[, dépendant dex0, telle quexn-r≂+∞2λ2n

f??(r).

Partie IV - Un exemple : les suites de Héron

Soita >0. Pour tout entierp?2, on définit une fonctionfpsurI=]0,+∞[parfp(x) =1 p? (p-1)x+axp-1?

1. Vérifier que la fonctionfpsatisfait aux hypothèses de la partie III, question 4.

2. Étudier les variations defp.

3. Montrer que quelle que soit la valeur initialex0>0, la suite récurrente associée àfpexiste, qu"elle vérifie

x n?a1 p. pour toutn?1, et qu"elle converge versa1p

Étant donné une suite récurrente(xn)n?Nnon stationnaire associée àfp, on noteλ0(x0)la constante donnée par

III-3(d)iii telle quexn-r≂+∞2

f??(r)(λp(x0))2n.

4.Dans cette question, on suppose quep= 2.

(a) Montrer que pour toutn?N, on peut écrirexnsous la formeun vn, où(un)n?Net(vn)n?Nsont définies par u

0=x0,v0= 1et les relations :

?n?N, un+1=u2n+av2netvn+1= 2unvn. (b) Exprimer pour toutn?N,un+1+⎷ a·vn+1en fonction deun+⎷a·vn. (c) Exprimerun+⎷ a·vn,un-⎷a·vnpuisxnen fonction dex0,⎷aetn. (d) En déduire queλ2(x0) =2|x0-⎷ a| x0+⎷a.

5.On ne suppose plus quep= 2. Un nombre réelr >0étant donné, on associe, à tout entier naturelq >1, la

fonctiongqdéfinie sur]0,+∞[pargq(x) =?1 2? x q+r2qxq?? 1 q.

(a) i. Montrer que, quelle que soit la valeury0>0, la suite récurrente(yn)n?Nassociée àgqexiste.

ii. Donner l"expression deynen fonction dey0,r,petn. Indication : Exprimer et reconnaître une relation de récurrence pour(yqn)n?N. iii. Justifier que q-1?

iv. En déduire que si(yn)n?Nn"est pas stationnaire, il existe deux constantes non nullesμqetC, que l"on

explicitera en fonction der,qety0, telles queyn-r≂+∞C(μq)2n. (b) i. Soitkla fonction définie sur[0,1

2]park(x) =x21 +x+ ln(1-x2). Déterminer les variations dek, puis

son signe. ii. En déduire les variations de la fonctionhdéfinie sur[0,1

2]parh(x) = ln(1-x)-1xln(1-x2).

Soit(up)p?2la suite définie parup=?p-1

p? p-1 , et soit, pour toutp?2,vp=up+1up. iii. Montrer, à l"aide de la question précédente, que(vp)p?2est croissante de limite 1. iv. En déduire que pour toutp?2,up?1 2. (c) On poser=a1 p. Montrer que pour toutx?a1p,fp(x)?gp-1(x).

Indication : on pourra éleverfp(x)à la puissancep-1, à l"aide de la formule du binôme, en ne gardant que

les termes extrémaux. N"oubliez pas la question précédente. (d) On suppose quex0> a1 p. Soit(xn)n?Net(yn)n?Nles suites récurrentes de même valeur initialex0, associées respectivement àfpetgp-1. i. Montrer que pour toutn?N,a1 p< xn?yn. ii. En déduire une majoration explicite deλp(x0). (e) On suppose maintenant que0< x0< a1 p. Montrer queλp(x1) =λp(x0)2. En déduire une majoration explicite deλp(x0). 4quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45

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