[PDF] 1 Logique des propositions Solution: B = ce moteur est

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1Lo giquedespropositions

A-T raduct ionsenLogiquePropositi onnelle

1.Tr aduire,aussiprécisémentqu epossible,les phrasessuivantesenlogiquepropositionne lle.Indiq ueràquellephrase

correspondchaquevariablepropos itionnelle. (a)Cemot eurn'e stpasbruyant,mais ilconsommebeaucoup Solution:B=c emot eurest bruyant;C=cemote urconsommeb eaucoup ¬B·COnperd lesensde"mai s»,CCd onc"et» (b)Iln'es tpasvrai quePierreviend rasiMar ieouJeanvi ent Solution:P=P ier reviendra;M=Mariev ient;J=Jeanvient (c)Jeann'e stpasseule mentstupide,mai silest aussiméchant

Solution:J=J eane ststupide ;M=Jeanes tméchant

J·MLané gationn'apparaîtpasdan slaformelogique (d)Jevaisà laplageou aucinémaàp ie douenvoi ture

Solution:P=j evai sàlap lageàpied;B =je vaisauci némaàpie d;Q =jevaisàlaplageen voit ure ;C

=je vaisauci némaenvoit ur e ((P'Q)'(V'C)) (e)Jeanne viendraqu esiPaul nevientpas

Solution:J=J eanv iendra;P= Paulvient

Pae¬JouJae¬Psurtoutpas¬JaeP:e xempleavecA=onvalideleM 1;B=onratelas éman tiq ue alorsonabie nBae¬AouAae¬Betsurt outpas¬BaeA (f)Pierren'ani frèrenisoe ur.

¬P·¬Q

(g)Jeann 'iraaucin émaques'ilaterm iné sesdevoirs. Solution:P=J eani raauciném a;Q=Jeanat erm inésesdevoirs

¬Qae¬PAttention:QaePestuneimp licature

(h)S'ilpl eutetqu'ilya dusoleil,alorsily aunarc- en-ciel. Solution:P=i lpl eut;S= ilyadusoleil;A=ily aun arc- en-cie l (P·S)aeA (i)Ilpleu touilne pleutpas.

Solution:P=ilpleut

P'¬PEnfait XOR,ouexcl usif

(j)McXaét éélu,ouWym anaé tééluetu nenouvelleère acom mencé. McXaétéé luou Wymanaétéé lu,etune nouv elleèreacomme ncé . Solution:P=M cXa étéélu;Q= Wym anaétéélu ;R=unenouvell eèr eac ommencé

P'(Q·R)

(P'Q)·R Page2

2.Lep rin ceBeaudiscours

Lepr inceBeaudiscoursestd ansuncruelembarras.Levoiciaupi eddumano iroùlaféeAnti nomiere tientprisonniè re

lado uceprincesseVérité.

Deuxportes donnentaccèsauchâ teau.L'uneconduitaux appartementsdel aprinc esse,l'autres'ouvresurl 'antre

d'undrag on.

Lepr incesaitseuleme ntquel'undec esportess'ouvresionénonceu neproposi tionvraie,et l'autre sionénonce

uneprop ositionfausse.

Commentleprince peut-ildé livrerlaprinc esse?

Indice:lalogiquepropos iti onnell epeutnousaideràré soudrecetteénigme,àconditiondeconsidérerle sdeux

propositionssuivantes: P=l aported edroitemèneaux apparte mentsdelaprince sse; Q=la ported edroites'ouvre sionénon ceunepropositionv raie.

Chacunedecesproposit ionspeu têtrevrai eoufausse.Enconsidéranttouslesc aspossibles,onp euttrouverla

propositionquenotreprincedoi ténoncer. Solution:P=l apor tededr oitemèneauxapp artemen tsdelaprincesse Q=l apor tededr oites'ouvresi onénonce unepropositionvraie . Ondess ineuntableaudanslequelt ouslesc asdefiguresseprés entent.Pe tQpeuventchaqunêtr evraiou

fauxetlapr incess epeut setrouverderrièrelaportegauche oudroite.SiPes tvrai,al orslaprincessesetr ouve

naturellementderrièrelaportededroite,e tcelledegauchequand¬P. PQPortedelaprin cesseOndoitd irequelqu echosede...¡ 00GV1 01GF0 10DF0 11DV1

Oncher cheuneformulequialesm êmescondit ionsdevérité:PequivQ.P arexemp le:"Laportedroitemène

auxappar tementsdelaprincessessilaporte droites 'ouvres ionénonceunepropositionvraie".

Premièrelignedutableau:siPestfauxla princesse estdonc derrièrelaportegauche.SiQestaussif aux,alors

quandonprononcel aph raseci-dessus,cell e-cies tvraie.Alors,comme laportedroites'ouvressiellemèneau x

appartementsdelaprincesse,ellen es'ouv rirapas .Laportegauches'ouvreetleprincepeu tsauverlaprin cesse .

Deuxièmelignedutableau:siPestfaux,l aprincessees tdoncde rrièrelaportegauche.SiQestvrai,al ors

quandonditlav éri téonouvrira laporte dedroitequidonnesur led ragon.Ilfautdoncmentir .SiPetQontdes

valeursdevéritédi érentes,l'opérateur¡produitunepropositionfau sse.Alors, quandonprononcelaphrase proposée,laportedegauches 'ouvrir a.

Troisièmelignedutableau:siPestvrai,l aprincessees tdoncd errièrelaportedroite.SiQestfaux,al orsilfaut

mentirpourouvrirlapor tededroit e.Commel'opérateur ¡produitunrésultatfauxqu andPetQn'ontpasla

mêmevaleurdev érité,laphrasep roposéem archera.

Quatrièmelignedutableau:siPestvrai,al orslaprincess eestderr ièrela portedroite.Enplus,siQestvrai,i l

fautdirela véritépourouvr ircet teporte.Sionprononcela phraseprop osée,etPetQsonttousles deuxvrais,

alorslaphras eproposé eseravraieetlap ortedelaprincesses' ouvrira. Danstousles casdefigureon ouvredoncl aported elapri ncesseenpron onçan tlaphrase. Page3

3.Par milesdiscours suivants, lesquelssontdesraisonnem entcorrects?

(a)SiLuc etteam enti,alorsHugoestcoupab le. OrHugon'estpascoupable .DoncLucett en'apas menti.

Solution:L:Lu cet teamentiH:Hugoestcou pabl e

Prémisse1:LaeH(SiLucett eamenti,alorsHugoestcou pabl e.)

Prémisse2:¬H(Hugon'est pascoupable.)

Conclusion:¬L(Lucetten'apasmenti.)

LHLaeH¬H¬LLesdeux prémissessont vraies

11100F

10010F

01101F

00111V

Pourunraison nement ,sidanstoutesleslignesdutableaudevér itéoùle sprémisse ssontvraieslaconc lusion

l'est,c'estunraisone mentvalide.Ceci estdonc unraisonnementvalide. (b)SiLucet teame nti,alorsHugoestcoupable .or Lucetten'apasmenti.D oncHugon'es tpascoup able.

Solution:L:Lu cet teamentiH:Hugoestcou pabl e

Prémisse1:LaeH(SiLucett eamenti,alorsHugoestcou pabl e.)

Prémisse2:¬L(Lucetten'apasmenti.)

Conclusion:¬H(Hugon'est pascoupable.)

LHLaeH¬L¬HLesdeux prémissessont vraies

11100F

10001F

01110V

00111V

Ilyaun casd efigu reoùles deuxp rémiss essontvraies,m aisl aconclusi onestfausse,le raisonnementn'est

doncpasvalid e.

B-L atâ chedeSéle ctiondeWason

1.On cherch eàtesterdeshypothèses fait essurlescartesd'un paquet.Ily aci-dessousunensemblede4cart estirées

decep aquet.S urchaquecartefigureune lettred' uncôtéetunchi redel' autrecôt é: Règle:S'ilyau nAs urunefacealors ily aun 4surl' autr eface

Laquelleoulesquellesd ec escartesest-ilnécessairederetour nerpour décidersi larègleestvraieou fausse?

Solution:Aae4.

Onregard elatabledevérité del'i mplication:

A4Aae4

001 011 100
111
- c arteA:A=1,ilfaut que 4=1p ourque larègle soitvraie,s ionaunecar teavec Ailfautqu' ilyaitun4 derrière - car te4:4=1,queA=1 ouA=0 lar ègleest vrai,onn'a pasbesoi nde regarder s'ily aun4

- pas carte4: 4=0,ilfautqueA nes oitp aségalà1p ourque larèglesoit vraie,ilfau tr egarderl escartes

quiontunch i redi

érentde4

- pas carteA: A=0,que4=1ou4=0l arè glee sttoujou rsvraie,onn 'apasb esoi nderegar ders'i lyaune lettredi

érentedeA

Donconregarde A(i lfautqu'ilyaitun 4)et 7(ilnefaut pasqu'ily aitunA).

2.Im aginezquevousêtesunp olicier.Vot remission consisteàvousas surer quevosconcitoyensrespecten tlaloi.Les

quatrecartesci-d essousvousdonnentd esinformationssurdespersonnesc onsommantu neboissondansunbar.Sur unedesdeu xfacesfigure l'âgedelapers onneetsurl'aut relaboissonqu 'elleconsom me. Règle:Siunepe rson neboit del'alcoolal orselledoitavoirplusde18 ans Page4

Laquelleoulesquellesd ece scartesest-ilnécessairederetour nerpour vérifierqu etoutlemonderesp ectelaloi?

Solution:AaeM

idem:

- si majeu r:M=1,queA=0ouA=1larègl ees tvraie,alc ooln'apasd' importan ce ,silap ersonne estmajeure

onn' apasbesoind eregarde r - si nonmaje ur:M=0, alorsalcooldoitêtredi érentde1,silape rsonnen 'es tpasmaj euree llenedoitpas boired'alcool - si alcool,A= 1alorsmajeurdoitê tredi érentde0,q'ilboit del'aco olil doitêtremaje ur - si pasalcool ,A=0alors majeurn'apasd'i mportanc e,queM=0ou M=1larègleestvraie

Donconregarde 14ans etWhisky

C-F orm ulesetéquivalences

1.Par milesexpress ionssuivan tes,lesquellessontdesformulesbi enforméesdeL

p

N.B.:Ilarri veq uel'ons 'abstiennedenote rlapairede parenthès elaplusexterne;maisausensstrict ,ondoitt rouver

exactementautantdepairesdeparen thèsesqu'ily adeconn ecteursbinaires . (a)¬(¬P'Q)

Solution:bienformée

(b)P'(Q) Solution:malformé e,parenthèsesserve ntpourencadrerlesargumentsd'unopér ateurbinaire (c)¬(Q)

Solution:malformé e,idemprécédent

(d)(Pae((PaeQ)))

Solution:malformé e,tropdeparenthèses

(e)(P'(Q'R))

Solution:bienformée

(f)((PaeP)ae(QaeQ))

Solution:bienformée

(g)≠P'Q'R

Solution:malformé e

(h)((P 28
aeP 3 )aeP 4

Solution:bienformée

(i)(¬P'¬¬P)

Solution:bienformée

(j)(P 2 ae(P 2 ae(P 2 aeP 2

Solution:bienformée

(k)(Pae(PaeQ)aeQ) Page5 Solution:malformé e,onauneparenthèseq uip ren d3argument s,ambigu (l)(P'P)

Solution:bienformée

(parenthèseslesplusexternessystém atiquement omises):

Solution:Ilsutde dessin erlestablesdevéritépourle sdeuxformu lesetvoirqu'àla finelle sdonnentlemême

résultat.

D-C onnect eurssu

sants

1.Mon trerquelesconnecte urs·et¬sontsusants,c'est-à-dir equetouteformulecomprenantd'autresconn ecteurs

(',ae,¡)es téquivalen teàuneformulenecomprenantque·et¬.

Solution:

P'Qveutdire:Jen eveuxpaslecas oùPe tQsontt ouslesd euxfaux. (P'Q) 111
110
011 000

¬(¬P·¬Q)

101001

101010

110001

010110

Solution:

PaeQveutdire:Je neveuxpasavoir lec asoùj'ai P,maisp asQ. (PaeQ) 111
100
011 010

¬(P·¬Q)

11001
01110
10001
10010
Page6

Solution:

P¡Qveutdire:Je veuxavoirlecas oùPe tQsont touslesdeuxvr ais,oulecasouPet Qsontt ouslesd eux faux.Alors,pourf ormulercela,on réutilise laformuletrouvéepour'. (P¡Q) 111
100
001 010

101110101001

011001101010

010011110001

110000010110

E-T auto logies

1.Mon trerquelesformuless uivantess ontdestautol ogies.

Solution:Ilsutde dessin erlestablesdevéritéetdet rouverpourc haqueformullequ' ellees ttoujoursvraie.

F-Table devéritécompos it e

1.Cal culerlatabledevéritéc omposite delaformulesu ivante enécrivantunecolonnep arsous-formule.

(1)((p·(qaer))'(raep)

Solution:

((p·(qaer))'(raep))

0001 01010

0001 10100

0010 01010

0011 10100

1101 01011

110 111111

101 001011

1111 11111

Page7quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45

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