[PDF] EXTRAIT D’ANNALES DES ÉPREUVES DE MATHÉMATIQUES AU

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EXTRAIT D"ANNALES DES ÉPREUVES

DE MATHÉMATIQUES AU

BACCALAURÉAT DU TCHAD SÉRIE D DE

1997 - 2021

Mathématiques au Bac Tchad Série D 2016

Corrigé

Exercice 1

1.Résolvons dansCl"équation :

z 2-?

1+⎷

2? z+⎷2.

Cette équation a pour discriminant :

1+⎷

2??

1-⎷2?

2.

Et ses solutions sont :

1+⎷

2+1-⎷2

2=1et1+⎷

2-1+⎷2

2=⎷2.

L"ensemble des solutions est donc :S=?

1 ;⎷

2?

2.Résolvons dansCles équations :

z+1 z=1etz+1z=⎷2.

•Résolvons l"équationz+1

z=1.

L"équationz+1

z=1est équivalente àz2+1=z, soitz2-z+1=0.

Son discriminant estΔ= (-1)2-4=-3= (i⎷

3)2et ses solutions sont1+i⎷3

2et1-i⎷

3 2

L"ensemble des solutions est alors :S=?

1+i⎷

3

2;1-i⎷

3 2?

•Résolvons l"équationz+1

z=⎷2.

Elle est équivalente àz2+1=⎷

2z, soitz2-⎷2z+1=0.

Son discriminant estΔ=?

2?

2-4=-2=?

i⎷2?

2et ses racines sont :

2+i⎷2

2=⎷

2

2(1+i)et⎷

2-i⎷2

2=⎷

2

2(1-i)

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https://tchadeducation.com1 SoitSl"ensemble des solutions de cette équation. AlorsS=? ⎷2

2(1+i);⎷

2

2(1-i)?

3.SoitP(z)le polynôme définie par :

P(z) =z4-?

1+⎷

2? z3+?

2+⎷2?

z2-?

1+⎷2?

z+1. a) ExprimonsP(z) z2en fonction deu=z+1z.

On a, en supposons bien sûrz?=0:

P(z) z2=z4-?

1+⎷

2? z 3+?

2+⎷2?

z 2-?

1+⎷2?

z+1 z2 =z2-?

1+⎷

2? z+2+⎷2-?

1+⎷

2? z+1z2 =z2+2+1 z2-?

1+⎷2??

z+1z? +⎷2.

Si on poseu=z+1

z, alorsu2=z2+2+1z2et donc :P(z)z2=u2-?

1+⎷2?

u+⎷2. b) RésolvonsP(z) z2=0. P(z) z2=0équivaut àu2-?

1+⎷2?

u+⎷2=0.

Or, d"après1.l"équationu2-?

1+⎷

2? u+⎷2=0a pour solutionsu=1etu=⎷2.

D"autre part, d"après2.on a :

u=1équivaut àz+1 z=1, soitz=1+i⎷ 3

2ouz=1-i⎷

3 2. u=⎷

2équivaut àz+1z=⎷2, soitz=⎷2

2(1+i)ouz=⎷

2

2(1-i).

Ainsi l"équation

P(z) z2=0admet quatre solutions et l"ensemble de ces solutions est : S=?

1+i⎷

3

2;1-i⎷

3

2;⎷

2

2(1+i);⎷

2

2(1-i)?.

Exercice 2

(Un)est la suite définie par :?????U 1=2 U n+1=2Un-1

3?n?N?

1.Déterminons le réelatel que la suite(Vn), définie parVn=Un-a,?n?N?, soit une suite géomé-

trique.

Pour toutn?N?, on a :

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https://tchadeducation.com2 Ainsi,(Vn)ne peut être une suite géométrique que si-1 a+a=0, soita=13.

Dans la suite on supposea=1

3; doncVn=Un-13est une suite géométrique de raison 2 et de premier

termeV1=U1-1

3=2-13=53.

2.ExprimonsVnen fonction den, puisUnen fonction den.

Pour tout entier naturel non nuln, le termeVnd"une suite géométrique de raison2et de premier terme

V 1=5

3estVn=53×2n-1.

V n=Un-1

3doncUn=Vn+13.

D"où l"expression deUnen fonction :Un=Vn+1

3=53×2n-1+13=13?

5×2n-1+1?

3.ExprimonsSn=U1+U2+···+Unen fonction den.

Ona :Sn=U1+U2+···+Un=V1+1

3+V2+13+···+Vn+13car pour toutn?N?,Un=Vn+13.

DoncSn=V1+V2+···+Vn+1

3+13+···+13????

ntermes égaux à1

3=V1+V2+···+Vn+n×1

3. OrV1+V2+···+Vnest la somme denpremiers termes d"une suite géométrique de premierV1=5

3et de

raisonq=2. Donc pour toutn?N?,V1+V2+···+Vn=V1×1-qn

1-q=53×1-2n1-2=53(2n-1).

FinalementSn=5

3(2n-1)+n3=13?

5 (2n-1)+n? S n=1 3? 5 (2n-1)+n?

4.Calculons la limite de la suite(Un)et celle de la suite(Sn).

Comme2>1, alorslimn→+∞2n-1=limn→+∞2n= +∞et commelimn→+∞n= +∞, par opération,

lim n→+∞Un=limn→+∞Sn= +∞.

Problème

Soitfla fonction définie sur]0 ;+∞[par

f(x) =x-1+2lnx x.

Notons(Cf)sa courbe représentative dans un repère orthonormé du plan (unité graphique : 2 cm).

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1.Soitgla fonction définie sur]0 ;+∞[par

g(x) =x2+2-2lnx. a) Étudions la limite degen0et en+∞.

•lim

x→0+g(x) =lim x→0+?x2+2-2lnx?= +∞carlim x→0+lnx=-∞ •limx→+∞g(x) =limx→+∞?x2+2-2lnx?=limx→+∞x2? 1+2 x2-2lnxx2? = +∞carlimx→+∞2x2=0et lim x→+∞lnx x2=0(croissance comparée). b) Étudions les variations degsur]0 ;+∞[et dressons son tableau de variation

La fonctiongest dérivable car somme des fonctions dérivables sur]0 ;+∞[et sur cet intervalle,

g ?(x) =2x-2×1 x=2x2-2x. Commex>0, le signe de la dérivée est donc celui du trinôme2x2-2=2(x-1)(x+1)ou encore celui dex-1puisquex+1>1>0. Ce trinôme s"annule donc en1. Nous pouvons en déduire que :

Pour tout réelx?]0 ; 1[,g?(x)<0;

Pour tout réelx?]1 ;+∞[,g?(x)>0.

Donc la fonctiongest strictement décroissante sur l"intervalle]0 ; 1[et strictement croissante sur l"intervalle

]1 ;+∞[. De plus,g(1) =3. On obtient le tableau de variations suivant de la fonctiong. x Signe deg?(x)

Variations

deg

01+∞

-0+ 33
c) Déduisons de ce qui précède le signe degsur]0 ;+∞[. g(1) =3représente le minimum de la fonctiongsur l"intervalle]0 ;+∞[. Nous pouvons en déduire que pour toutx>0,g(x)>0. 2. a) Étudions la limite defen0et en+∞.

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•lim

x→0+f(x) =lim x→0+? x-1+2lnxx? =-∞carlim x→0+lnx=-∞

•limx→+∞f(x) =limx→+∞?

x-1+2lnx x? = +∞carlimx→+∞lnxx=0.

b) Justifions quefest dérivable sur]0 ;+∞[, déterminons la dérivéf?defsur]0 ;+∞[et montrons

que f ?(x) =g(x) x2.

La fonctionfest la somme des fonctions dérivables sur]0 ;+∞[, en l"occurrence la fonctionx?-→x-1

et la fonctionx?-→2lnx x, donc elle est dérivables sur]0 ;+∞[.

Pour toutx?]0 ;+∞[,f?(x) =1+2(((1

x×x-1×lnx x2))) =x2+2-2lnxx2.

On remarque : pourx>0,f?(x) =g(x)

x2. c) Vérifions quef?a le même signe quegsur]0 ;+∞[

Le dénominateur def?étant strictement positif, doncf?est du signe de son numérateur, c"est-à-dire deg.

d) Dressons le tableau de variation defsur]0 ;+∞[.

Nous venons de voir que, pour toutx?]0 ;+∞[,g(x)>0; on en déduit quef?(x)>0et par conséquent

la fonctionfest strictement croissante sur]0 ;+∞[. On obtient alors le tableau de variations suivant : x Signe def?(x)

Variations

def

01+∞

0 e) Démontrons que la droite(D)d"équationy=x-1est asymptote à(Cf).

Commepour toutx?]0;+∞[,f(x)-(x-1) =2lnx

Donc la droite(D)d"équationy=x-1est asymptote à(Cf)au voisinage de+∞. f) Étudions la position de(Cf)par rapport à(D).

La position de(Cf)par rapport à(D)est donnée par le signe de la différence :f(x)-(x-1) =2lnx

x. Cette différence a le même signe quelnx, carx>0.Donc :

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Sur]0 ; 1[,lnx<0,(Cf)est en dessous de(D),

Sur]0 ;+∞[,lnx>0,(Cf)est au dessus de(D),

(Cf)et(D)se rencontrent au point de coordonnées(1 ; 0). g) Déterminons l"équation réduite de la tangente(T)de(Cf)au point de coordonnées(1 ; 0) Une équation réduite de(T)au point de coordonnées(1 ; 0)est :y=f?(1)(x-1) +f(1). Or on af?(1) =3etf(1) =0. Donc(T)a pour équation réduitey=3x-3. h) Traçons(D),(T)et(Cf).

0 1 2 3 4-10

-11 23
?Cf? (D)(T) O

3.On désigne parhla fonction définie sur]0 ;+∞[par

h(x) =(lnx)2. a) Calculonsh?(x).

La fonctionhest dérivable comme une puissance de fonction dérivable sur]0 ;+∞[et pour toutx?

]0 ;+∞[, on a : h ?(x) =2×1 x×lnx=2lnxx.

b)αétant un réel donné strictement supérieur à 1, calculons l"aireA(α)de la partie du plan limitée par

(Cf),(D)et les droites d"équationsx=1etx=α.

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L"aireA(α)exprimée en unités d"aire, de la partie du plan limitée par(Cf),(D)et les droites d"équations

x=1etx=αest donnée par :

A(α) =?

1[f(x)-(x-1)]dx·u.a ( puisque(Cf)est au dessus de(D)sur]1 ;α[?]1 ;+∞[).

DoncA(α) =?

12lnx xdx·u.a=? lnx)2?α

1·u.a.

Une unité d"aire étant égale à4cm2, l"aire recherchée est :A(α) =4(lnα)2cm2. c) Calculonslimα→+∞A(α). On a :limα→+∞A(α) =limα→+∞4(lnα)2= +∞.

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