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EXERCICE: Vrai ou Faux ? ( 11 points )

1.

C"est faux .

Soient: P

i , le prix du gaz en avril 2018 ( prix initial ), P , le prix du gaz en juillet 2018 ( prix final ), r 1 = 0, 4%, le taux de croissance en mai 2018, r 2 = 2, 1%, le taux de croissance en juin 2018, r 3 = 7, 45%, le taux de croissance en juillet 2018.

Nous avons:

P = (1 + r

1 ) (1 + r 2 ) (1 + r 3 ) P i = (1, 004 ) (1, 021 ) (1, 0745 ) P i

1, 1014 x P

i

Ainsi:

l"augmentation cumulée sur ces trois mois sera d"environ 10, 14 Comme: 10, 14% 9, 95%, l"augmentation cumulée sur ces trois mois ne sera pas de 9, 95%.

Donc l"affirmation est fausse

2.

C"est faux .

Pour le justifier, nous allons prendre un contre exemple

Prenons la suite (U

n U n = - (3 n U n = (3 n 2 freemaths fr, 2019Corrigé - SciencesPo - Mathématiques - 2019

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Nous avons: lim U

n n = lim n +(3) n Or: U 0 = 0 U 3 27.

Et donc:

U 3 < U 0

Ainsi:

la suite (U n ) tend vers + et n"est pas croissante .

Donc l"affirmation est fausse

3.

C"est vrai .

Pour le justifier, nous allons avoir recours à une démonstration p ar récurrence

Nous allons montrer par récurrence que:

" pour tout entier naturel n: U n = 3 n + n - 1, sachant que U n 1 = 3 U n - 2 n + 3 " .

Initialisation: U

0 = 0, d"après l"énoncé . Et: U 0 = 3 0 + 0 - 1 = 0, car U n = 3 n + n - 1

Donc vrai au rang " 0 ".

Hérédité:

n = 3 n + n - 1 et montrons qu"alors: U n 1 = 3 (n 1 + (n + 1 ) - 1 .

Supposons: U

n = 3 n + n - 1, pour un entier naturel n fixé . (1 ) 3 freemaths fr, 2019Corrigé - SciencesPo - Mathématiques - 2019

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(1 ) => 3 U n = 3 ( 3 n + n - 1 => 3 U n - 2 n + 3 = 3 ( 3 n + n - 1 ) - 2 n + 3 => 3 U n - 2 n + 3 = 3 n 1 + 3 n - 3 - 2 n + 3 => 3 U n - 2 n + 3 = 3 n 1 + n + 0 => 3 U n - 2 n + 3 = 3 n 1 + n + (1 - 1 ) => 3 U n - 2 n + 3 = 3 n 1 n + 1 ) - 1 => U n +1 = 3 n 1 n + 1 ) - 1 . Conclusion: Pour tout entier naturel n, nous avons bien: U n = 3 n + n - 1

Donc l"affirmation est vraie

4.

C"est faux .

En effet, résolvons dans ¨ l"équation:

ln (4 x + 5 ) + ln ( x + 1 ) = 1. (1 ) Préalablement, notons que l"ensemble de définition est: ] - 1 ; + [ . (1 ) <=> ln (4 x + 5 ) + ln ( x + 1 ) = 1 <=> ln ( (4 x + 5 ) ( x + 1 ) ) = ln e <=> ( 4 x + 5 ) ( x + 1 ) = e <=> 4 2 + 9 + ( 5 - e ) = 0. = 81 - 4 x 4 x (

5 - e ) <=> = 1 + 16 e > 0 .

D"où l"équation (1 ) admet 2 solutions distinctes qui sont: - 9 - 1 + 16 e 8 - 9 + 1 + 16 e 8 4 freemaths fr, 2019Corrigé - SciencesPo - Mathématiques - 2019

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Or: ' +car: ' < - 1 . Et: Ainsi: l"équation (1 ) ne possède pas exactement deux solutions dans ] - 1 ; + [ .

Elle admet qu"une seule solution

Donc l"affirmation est fausse

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